ФИМ / ТНГМ / Шпаргалка по Теоретической механике
(автор - student, добавлено - 1-12-2012, 23:22)
СКАЧАТЬ:
1.СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Для задания движения точки можно применять один из следую¬щих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный. 2. Векторный способ задания движения т о ч к и. Пусть точка М движется по отношению к некоторой си-стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор r, проведенный из на¬чала координат О в точку М. При движений точки М вектор r будет с течением времени изме¬няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, r является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу¬мента t: r =r (t)(1) Равенство (1) и определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор r и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора r, т. е. годограф этого век¬тора, определяет траекторию движущейся точки. Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора r будет: rx=x, ry=y, rz=z , где х, у, г — де¬картовы координаты точки. Тогда, если известны единичные векторы (орты) I, j, k координатных осей, получим для Гвыра-жение r=хi+yj + zk.(2). 3. Координатный способ задания движе¬ния точки. Положение точки можно непосредственно опре¬делять ее декартовыми координатами x, у, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви¬жения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент вре¬мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости X=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). (3) Уравнения (3) представляют собой уравнения движения точки $ прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Если движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, получим, в этом случае два уравнения движения; X=f1(t), y=f2(t). (4) Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет опре¬деляться одним уравнением (законом прямолинейного движения точки) x=f(t). 4. Естественный способ задания движе¬ния точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех слу¬чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля¬ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz . Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель¬ное направления отсчета (как на координатной оси). Тогда положение точки М на тра¬ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди¬натой s, которая равна расстоянию от точки О' до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим зна¬ком. При движении точка М перемещается в положения М1,М2 следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент вре¬мени надо знать зависимость s=f(t).(6) 5.Вектор скорости точки. Рассмотрим движение точки относительно прямоуголь¬ной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точ¬ки заданы как функции времени: (1) Разложим радиус-вектор r по ортам декартовой системы координат: (2) Зная, что вектор скорости V равен пер¬вой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разло¬жение скорости по ортам i,j, к: (3) С другой стороны, разложение вектора скорости V по ортам i,j, k можно представить так: (4) где Vх., Vх , Vx –проекции вектора скорости V на оси координат. Сравнивая формулы (3) и (4), находим (5) Таким образом, проекции скорости на неподвижные де¬картовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки. Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки на координатные оси равны скорости проекции этой точки те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его мо¬дуль: (6) Для определения направления вектора скорости восполь¬зуемся направляющими косинусами: (7) где Vx, Vy, Vz, и V определяются равенствами (5) и (6). 6.Вектор ускорения точки. Ускорение - физическая величина, характеризующая бы¬строту изменения скорости точки во времени. Пусть точка в момент времени t находится в положении М и имеет скорость V (t), а в момент t1= t + дл.t приходит в поло¬жение М1 и имеет скорость V1 (рис. 2.8). Тогда за промежуток времени At = t1— t вектор скорости получает векторное прираще¬ние Дл = V1—V, которое определяет изменение вектора скорости и по величине, и по направлению. Для определения приращения скорости дл.V перенесем вектор V1 параллельно своему направле нию в точку М. Далее, соединпе концы векторов V и V1, получим дл.V. Разделив вектор дл.V на соответствующий промежуток време¬ни дл.t, получим вектор (1) который называется вектором среднего ускорения за промежуток времени t. Вектор среднего уско¬рения характеризует особенности движения точки тем точнее, чем меньшему промежутку времени он соответствует. Поэтому естествен¬но рассмотреть предел, к которому стремится среднее ускорение, если соответствующий промежу¬ток времени At стремится к нулю. Этот предел называют ускорением точки в данный момент времени: (2) Так как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то (3) Таким образом, ускорение точки в данный момент вре¬мени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени. Установим теперь положение вектора ускорения а отно¬сительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами V, V1, AV , при At—0) будет поворачи¬ваться вокруг вектора V, т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, ив пределе займет определенное предельное положе¬ние. Это предельное положение плоскости МАВ называется со¬прикасающейся плоскостью в точке М траектории. Для плоской кривой эта плоскость есть плоскость самой кривой. Как видно из рис. 2.8, вектор среднего ускорения аср на¬правлен так же, как и AV, т.е. в сторону вогнутости траектории точки, и все время находится в плоскости треугольника МАВ. 7.Определение скорости точки при координатном способе задания движения. Рассмотрим движение точки относительно прямоуголь¬ной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точ¬ки заданы как функции времени: (1) Разложим радиус-вектор r по ортам декартовой системы координат: (2) Зная, что вектор скорости V равен пер¬вой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разло¬жение скорости по ортам i,j, к: (3) С другой стороны, разложение вектора скорости V по ортам i,j, k можно представить так: (4) где Vх., Vх , Vx –проекции вектора скорости V на оси координат. Сравнивая формулы (3) и (4), находим (5) Таким образом, проекции скорости на неподвижные де¬картовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки. Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки на координатные оси равны скорости проекции этой точки те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его мо¬дуль: (6) Для определения направления вектора скорости восполь¬зуемся направляющими косинусами: (7) где Vx, Vy, Vz, и V определяются равенствами (5) и (6). 8.Определение ускорение точки при координатном способе задания движения. Вывести формулы для определения ускорения точки при координатном способе задания её движения Рассмотрим движение точки М относительно неподвиж¬ной прямоугольной декартовой системы координат (см. рис. 2.5). В этом случае ее движение задано следующим образом: (1) Разложим радиус-вектор точки по ортам осей Oxyz: (2) Дифференцируя равенство (2) дважды по времени, полу¬чим (3) Или, обозначая вторые производные по-времени двумя точками, получим разложение ускорения по осям декартовой системы координат в следующем виде: (4) С другой стороны, известно, что (5) Сравнивая равенства (4) и (5), находим формулы для вычисления проекций ускорения на оси декартовой системы координат: (6) Так как Vx= х, Vy= у, Vz= z, то формулы (6) можно пред¬ставить еще и так: О) Т.е. проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответ¬ствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки. По этим проекциям определяем величину и направление вектора ускорения: (8) (9) Если во все время движения точка остается в одной плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах нужно положить z = 0. 9.Определение скорости точки при естественном способе задания движения. Определим скорость точки, предполагая, что ее движе¬ние задано естественным способом. Поэтому будем полагать, что известны траектория движения и закон движения точки по траек¬тории s = s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r (t) Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой S, то ради¬ус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда (1) Найдем теперь вектор скорости V точки: (2) Известно, что Далее, так как направлен i пределе (при дел. S-»0) совпадает с касательной к траектории в точке М, то вектор есть единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направлен¬ный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обо¬значая орт касательной Т°, запишем формулу (2) в виде (3) Эта формула определяет вектор скорости при естествен¬ном способе задания движения точки Умножая скалярно обе части равенства (3) на т° и учитывая, что получим (4) т.е. проекция вектора скорости точки на направление касатель¬ной к траектории равна первой производной по времени от кри¬волинейной координаты s пo времени. Тогда формулу (3) можно записать так: (5) Из формулы(5) следует что модуль скорости V=|Vt|. Если Vt > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и VT=V Если же Vт < 0, точка движется в от¬рицательном направлении и Vт = — V. Таким образом, модуль век¬тора скорости IVI (или V) точки равен модулю ее проекции на направление касательной (6) В качестве примера применения формулы (6) рассмотрим скорость точки М при ее движении по окружности радиуса R (рис. 2.7). Скорость точки М в случае ее движения в положительном направлении отсчета расстояний будет иметь численное значение (7) так как Величина (8) называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R. Таким образом, при движении по окружности (9) Направлена скорость по касательной к окружности, следователь¬но, перпендикулярно радиусу ОМ. 10.Касательное и нормальное ускорения точки. an= v*dфи/dt*ds/dt=v*(1/p)*v=sqr(v)/p. a тангенцальное=dv/dt=sqr(d)s/dsqr(t); an= sqr(v)/p, Ab=0. Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения ско¬рости или второй производной от расстояния'(криволинейной коор¬динаты) S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины а тангенцальное и ап называют касательным и нормальным ускорениями точки. При движении точки М в одной плоскости касательная М тангенцальное поворачивается вокруг бинормали Mb с угловой скоростью омега=dфи/dt. Тогда второе из равенств (19) дает еще одну, часто используемую в инженерной практике формулу для вычисления ап: an= v*омега. 11. Кинематика поступательного движения. 12.Скорости и ускорения точек т.т. при его поступательном движении. 13. Уравнение поступательного движения тела. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная е теле во все время движения, остается параллельной своему пер¬воначальному направлению. При поступательном движении точки тела могут дви-гаться по любым траекториям. Рассмотрим движение тела отно¬сительно некоторой системы координат (рис. 2.19). Возьмем в теле точку А. Векторное уравнение движения тонкий имеет вид Возьмем в теле другую точку В, определяемую радиус-вектором rв. Векторное уравнение движения точки В имеет вид (2)При движении тела радиус-векторы ra и rв изменяются с течением времени и по модулю, и по направлению. Вектор АВ имеет постоянный модуль и по¬стоянное направление, что следует из определения абсолютно твердо¬го тела и его поступательного движения. Как видно из уравнения (2), траекторию точки В можно получить параллельным перено¬сом траектории точки А. Направ-ление и величина этого переноса определяются вектором АВ. Таким образом, при по¬ступательном движении твердого тела все его точки описыва¬ют одинаковые траектории, которые при параллельном перено¬се совпадают. Дифференцируя равенство (2) по времени, найдем (3)Далее, учитывая, что , а вектор АВ не изменяется во времени ни по величине, ни по направлению и, следовательно, производная имеем (4)При вторичном дифференцировании равенства (4) най¬дем (5)Так как точки А и В были выбраны произвольно, то фор¬мулы (4) и (5) показывают, что при поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для любого момента времени. Из этих свойств поступательного движения следует, что изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-либо одной из его точек. Следовательно, при изучении поступательного движения твердого тела можно при-менять все формулы, рассмотренные выше при исследовании движения одной точки. 14.Вращательного движение твердого тела. 15. Уравнение вращательного движение твердого тела вокруг неподвижной оси. 16. Угловая скорость и угловое ускорение вращающегося тела. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают кон-центрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим вопрос о зада¬нии уравнения, или закона вращательного движения. Пусть ось Oz является неподвиж¬ной осью, вокруг которой вращается тело. Проведем через ось Oz две плоскости: под¬вижную Р и неподвижную Q (рис. 2.20). По¬ложение вращающегося тела может быть опре¬делено двугранным углом ф между этими плос¬костями. Назовем угол ф углом поворота тела и условимся считать положительным, если, глядя с положительного конца оси z, угол ф виден отложенным от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практических задачах этот угол выражают числом оборотов N тела. Так как один оборот тела соответствует 2П радиан, то получаем зависимость (1)При вращении тела угол поворота изменяется с течением времени, т.е. (2)Равенство (2) называется уравнением, или законом вра-щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Рассмотрим теперь основные кинематические величины, характеризующие вращательное движение тела. Этими величи¬нами являются угловая скорость тела омега и угловое ускорение е.Угловой скоростью тела называется физическая вели¬чина, характеризующая быстроту изменения угла поворота 0 называют угловой скоростью тела в данный момент времени (5)Мы вновь пришли к равенству (3). Итак, угловая ско¬рость тела равна первой производной по времени от угла пово¬рота тела. Значение угловой скорости омега для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зави-симости от того, возрастает или убывает угол поворота тела.Если то тело в данный момент времени вращаетсяв положительном направлении отсчета угла поворота ф, т. е. про¬тив движения часовой стрелки.Размерность угловой скорости В технике угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обо¬значают буквой п. Замечая, что п об/мин соответствует п/60 об/с и что 1 оборот соответствует 2П радианам, получим: (6)Угловым ускорением называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела во времени: (7)Эту меру быстроты изменения угловой скорости можно получить как предел приращения угловой скорости к прираще¬нию времени: (8)Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скоро¬сти или второй производной от угла поворота. Размерность углового ускорения Если знаки угловой скорости и углового ускорения одинаковы, то вращение тела в данный момент ускоренное, если же знаки омега и е различны, вращение замедленное. 17. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Пусть вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением (1) Найдем распределение скоростей точек тела при его вращении. Воспользуемся при этом естественным способом за¬дания движения точки. Рассмотрим движение какой-нибудь точ¬ки М тела. При вращении тела точка М будет описывать окруж¬ность, радиус которой обозначим R (рис. 2.21). Составим уравнение движения точки М по ее траекто-рии. За начало отсчета примем начальное положение Мо, а за по¬ложительное направление дуги s - направ-ление отсчета угла поворота ф. Тогда урав¬нением движения точки М по ее траектории будет (2) а следовательно, проекция скорости точки М на направление касательной определится следующим образом: (3) или (4) Эту скорость точки М, в отличие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Та¬ким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего¬ся твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Вектор V скорости точки М направлен по касательной к окружности, которую описывает точка М, т.е. перпендикулярен к радиусу этой окружности. Модуль V вектора скорости V равен (5) Так как угловая скорость со является кинематической ха¬рактеристикой всего тела в целом, то из формулы (5) следует, что скорости точек тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения. Ускорение точки М находим, определив сначала каса-тельное и нормальное ускорения: Тогда модуль полного ускорения точки М (7) Угол, образованный вектором ускорения точки М с ра-диусом описываемой точкой окружности, определяется так: (8) Из формулы (8) следует, что ускорения точек вращающе¬гося тела образуют в данный момент один и тот же угол а с ра¬диусами описываемых ими окружностей. В частном случае рав¬номерного вращения Е=0, поэтому А=0 и, следовательно, полное ускорение по модулю равно нормальному и направлено к оси вращения. 18. Плоско- параллельное движение твердого тела. 19.Уравнение движения плоской фигуры. Движение абсолютно твердого тела называется плос¬копараллельным (или плоским), если все точки этого тела дви¬жутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Примером плоскопараллельного движения твердого тела может служить движение колеса по прямолинейному рельсу или движение шатуна кривошипно-ползунного механизма. Рассмотрим плоскопараллельное движение произвольно¬го твердого тела. Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости xОy. Пересечем рас¬сматриваемое тело плоскостью Q, параллельной неподвижной плоскости хОу (рис. 2.24). В результа¬те в сечении получим некоторую фи¬гуру S. Из определения плоскопарал¬лельного движения твердого тела сле¬дует, что плоская фигура S перемеща¬ется с данным телом и остается во все время этого движения в плоскости Q. Следовательно, любой отрезок АС, взятый в теле и перпендикулярный к плоскости хОу, будет дви¬гаться параллельно своему первоначальному положению, т.е. поступательно. Скорость и ускорение любой из точек отрезка АС будут параллельны плоскости хОу. Но тогда для определения движения всех точек тела, лежащих на отрезке АС, достаточно знать движение одной точки этого отрезка, а за такую точку можно взять точку А плоской фигуры S. Отсюда следует, что для определения плоскопараллельного движения твердого тела необ¬ходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно неподвижной плоскости хОу, т.е. достаточно знать движение плоской фигуры S в ее плоскости. Итак, задание плоскопараллельного движения твердого тела и изучение этого движения сводится к заданию движения одного сечения тела. Поэтому в дальнейшем плоскость Q будем совмещать с плоскостью чертежа, а вместо всего тела изображать только плоскую фигуру - сечение тела 5, и изучать движение точек этого сечения в его плоскости. Строго говоря, рассматривая движение плоской фигуры 5 в ее плоскости, мы рассматриваем движение всей плоскости, неизменно связанной с движущейся фигурой относительно неподвижной плоскости, так что вопрос сводится к рассмотрению движения подвижной плоскости отно¬сительно неподвижной. Положение сечения S в его плоскости определяется положением двух точек этого сечения или положе¬нием отрезка прямой, соединяющей эти две точки, например, отрезка АВ. Т.е. кинематика плоскопараллельного движения тела сводится к кинематике движения отрезка прямой в плоскости. Пусть- две точки плоской фигуры, находящейся в плоскости xOy (рис 2.25, а). Расстояние d ме¬жду этими точками определяется следующим равенством: (1) Так как это расстояние неизменно, то из четырех коор¬динат х1А, у1А и х1В, у1В независимых только три, т.е. положение отрезка на плоскости вполне определяется тремя независимыми параметрами. В качестве таких независимых параметров можно взять координаты одной из точек, например, координаты х1А и у1А точки А и угол ф, который отрезок АВ образует с осью X1. Точку А, выбранную для определения положения сече¬ния S, будем в дальнейшем называть полюсом. Проведем через этот полюс координатные оси Ах и Ау, неизменно связанные с плоской фигурой и движущиеся вместе с ней относительно не¬подвижных осей координат Ох1у1 . Для того, чтобы знать поло¬жение плоской фигуры, или, что то же самое, положение под¬вижных осей координат Оху относительно неподвижных осей ОХ1у1 достаточно задать координаты Х1А, у1А полюса А и угол ф, который составляет подвижная ось Ах с неподвижной Ох1. При этом условимся считать угол поворота ср положительным, когда он отложен от оси ОХ1 в направлении, обратном движению часо¬вой стрелки (рис. 2.25, б). При движении тела величины x1A,y1A и ф будут изменяться с течением времени. Чтобы знать закон дви¬жения тела, т.е. знать его положение в пространстве в любой мо¬мент времени, надо знать зависимости: (2) Уравнения (2), полностью определяющие положение плоской фигуры в любой момент времени, называются уравне¬ниями плоскопараллельного движения твердого тела. В заключение отметим, что частными случаями движе¬ния плоской фигуры в ее плоскости являются поступательное и вращательное. Определения, свойства этих движений и соответ¬ствующие формулы изучены нами ранее. 20.Определение скоростей точек плоской фигуры Выше было показано, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при кото¬ром все точки тела движутся со скоростью полюса Va, и из вра¬щательного движения вокруг полюса. Покажем теперь, что ско¬рость любой другой точки В тела геометрически складывается из скоростей, которые она получает в каждом из этих движений. Пусть плоская фигура движется относительно непод-вижной системы координат Оху. В этой системе положения по¬люса А и произвольной точки B определяются соответственно радиус-векторами ra и rb. Между этими векторами ra и rb и век¬тором р = АВ (рис. 2.29) в любой момент времени имеет место следующее соотношение: (1) Вектор р = AB определяет положение произвольной теч¬ки В относительно системы Ах1у1 перемещающейся вместе с полюсом А поступательно. Подчеркнем еще раз, что движение се¬чения по отношению к осям Ах1У1 представляет собой вращение вокруг полюса А. Дифференцируя обе части равенства (1) по времени, по¬лучим (2) В полученном равенстве (2) . Что же касается , то это - скорость, которую точка В получает при вращении вокруг полюса A. Обозначим эту скорость через (3) Вектор р = АВ есть постоянный по модулю вектор, из-меняющийся при движении фигуры только по направлению. Для него справедлива формула (а) п. 2.16, т.е. (4) Тогда формула распределения скоростей примет вид 5) или (6) Следовательно, скорость Vb любой точки плоской фигу¬ры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости VA другой, произвольно выбранной и принятой за плюс, точки А и скорости Vba точки В в ее вращении вме¬сте с плоской фигурой вокруг этого полюса. Вектор Vba направ¬лен перпендикулярно АВ в сторону вращения фигуры, а по моду¬лю эта скорость определяется так: (7) Таким образом, определив вращательную скорость Vba точки В вокруг полюса А и зная скорость VA этого полюса, мы можем найти искомую скорость Vb точки В как диагональ парал¬лелограмма, построенного на скоростях VA и VBa (рис. 2.30). 21.Определение ускорений точек плоской фигуры Пусть плоская фигура (S) движется относительно непод-вижной системы координат Оху. В этой системе положения по¬люса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами rА и rB (рис. 2.39).Скорость произвольной точки В можно определить с по¬мощью формулы распределения скоростей (1)где р =АВ радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку В. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим (2) Здесь , т.е. соответственно равны ускорениям полюса А и точки В. Производная есть вектор углового ускорения фигуры, направленный (как и (О) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме того, согласно формуле дифференцирования век-тора, постоянного по модулю (см. формулу (а), п. 2.16), . Тогда последнее слагаемое формулы (2), раскрыв двойное векторное произведение, можно представить так (3) результате равенство (2) окончательно можно записать так: (5) Введем обозначения: (6)Векторы Atba и Anba представляют те касательное и нормальное ускорения, которые имела бы точка В, если бы фигура (S) совер¬шала только вращение вокруг полюса А. Вопрос о направлении этих векторов изучен нами ранее, однако, пользуясь правилом составления векторного произведения, легко убедиться, что Anba имеет направление, совпадающее с вектором SA (от точки к полюсу), а Atba - перпендикулярно ВА. Модули этих векторов определяются так: (7) Используя обозначения (6), окончательно находим фор¬мулу распределения ускорений (8) или (9) где (10)Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигу¬ры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса. Так какмодуль ускорения точки В при вра- щении фигуры вокруг полюса А находится так: (И)Угол M., который образует вектор Aba с направлением ВА, определяется из следующего равенства: (12)Этот угол M одинаков для всех точек плоской фигуры. Получен¬ные результаты позволяют построить вектор Ab.. 22.Мгновенный центр скоростей. 1, Пусть скорости Va и Vb любых двух течек А к В парал¬лельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к VA, а следовательно, и к VA (рис. 2.34). Из теоремы о проекциях ско¬ростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что но а = B, поэтому VB = VA и, следовательно, Vb = VA . Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фи¬гуры называется мгновенно поступатель-ным. Так как перпендикуляры, восстанов¬ленные из точек А и В к скоростям этих то¬чек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Уг¬ловая скорость со плоской фигуры в этот момент равна нулю. 2. Пусть скорости VA и Vb точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным ско¬ростям. В этом случае при VA не = Vb мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 2.35, а и б. Справедливость построения следует из пропорции (6) предыдущего параграфа. Е этом случае для нахождения мгно¬венного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей Va и Vb. 3. Е практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по не-которой неподвижной кривой MN (рис. 2.36). В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые ско¬рости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка каса¬ния Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры. В качестве примера на рис. 2.37 показано распределение скоро¬стей точек колеса, которое катится без скольжения по неподвиж¬ному прямолинейному рельсу. 23. Использование мгновенного центра скоростей для определения скоростей точек тела. Другой простой и наглядный способ определения скоро¬стей точек тела при плоскопараллельном движении основан па понятии о мгновенном центре скоростей. Формула распределения скоростей, полученная ранее, основывалась на представлении о перемещении плоской фигуры в виде геометрической суммы поступательного перемещения по¬люса и вращательного перемещения вокруг полюса (теорема 1). Упрощение картины распределения скоростей можно получить, основываясь на представлении перемещения плоской фигуры по теореме Эйлера - Шаля (теорема 2). Докажем теорему. При всяком непоступательном перемещении плоской фигуры существует единственная точка этой фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент вре¬мени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Для доказательства восстановим из точки А плоской фигуры перпендикуляр AN к направлению скоро¬сти Va так, чтобы угол 90 между Va и ли¬нией AN был отсчитан в сторону вращения плоской фигуры (рис. 2.32). Тогда, по до¬казанной ранее формуле, вектор скорости любой точки В, лежащей на перпендику¬ляре AN, (1) а величина скорости Vb в силу того, что Va и Vb лежат на одной прямой, будет (2) Изменяя расстояние точки В от точки А, можно найти при ф не = 0 такую точку Р, чтобы VPA = -VA, тогда (3) при этом (4) Таким образом, теорема доказана. 24.МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение аА какой-нибудь точки А фигуры и величины омега и эпсолон, следующим путем: 1) находим значение угла из формулы tg µ =ε/ω²; 2) от точки А под углом µ, к вектору аА проводим прямую АЕ (рис. 168); ври этом прямая АЕ должна быть отклонена от аА в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ε ; 3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный АQ=аА/sqrt(ε²+ ω4). Построенная таким путем точка Q и будет мгно¬венным центром ускорений. 25. Сложное движение точки. До сих пор мы рассматривали движение точки относи-тельно одной заданной системы отсчета, которую считали непод¬вижной. Однако часто при решении задач механики приходится исследовать движение точки одновременно относительно двух (или более) систем координат, при этом одна из них считается основной или условно неподвижной, а другая определенным об¬разом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой, называют составным или сложным. Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся по отношению к друг другу системах координат: Oxyz и O1x1y1z1зависимости от условия задачи, одну из этих систем, например, O1X1y1z1 примем за основную, услов¬но неподвижную и назовем абсолют-ной системой координат (рис. 2.56). Движение, совершаемое точкой М относительно неподвижной системы координат О1Х1у1z1 называется абсолютным Траектория этого движения называется абсолют¬ной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и ускоре¬ние - абсолютным ускорением. Абсолютные скорость и ускоре¬ние обозначаются Va, aa Другую систему, Oxyz, которая движется относительно системы O1X1y1Z1 назовем относительной. Движение точки М относительно подвижной системы координат Oxyz называется относительным движением. Такое движение будет видеть Наблюдатель, связанный с подвижными осями и перемещающийся вместе с ними. Траектория точки, опи¬сываемая в относительном движении, называется относительной траекторией. Понятно, что относительная траектория точки не остается неподвижной, а перемещается в пространстве вместе с подвижной системой координат. Скорость точки М относительно подвижной системы координат называется относительной скоростью, а ускорение -относительным ускорением. Относительные скорости и ускоре¬ния обозначаются так: vr и аr. Из определения относительного движения следует, что при вычислении vr и ar необходимо мысленно движение осей Oxyz остановить, т.е. рас-сматривать оси Oxyz как неподвижные и воспользоваться прави¬лами и формулами кинематики точки. Движение, совершаемое подвижной системой координат Oxyz вместе с неизменно связанным с ней пространством и движущейся в нем точкой относительно неподвижной системы O1X1y1Z1 называется переносным движением. Скорость той точки т пространства, связанного с под-вижной системой координат, с которой в данный момент сов¬падает рассматриваемая точка М, называется переносной ско¬ростью, а ускорение - переносным ускорением. Переносные ско¬рость и ускорение обозначают соответственно Ve и ае Так как разные, неизменно связанные с подвижной сис¬темой отсчета, точки в общем случае имеют разные траектории, то говорить о переносной траектории точки М нельзя. Основная задача кинематики сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движение точки и пе¬реносное движение, т.е. движение подвижной системы коорди¬нат, найти абсолютное движение точки и, следовательно, опреде¬лить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении. 26. Абсолютное, относительное, переносное движение точки. 1.Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж¬ной системе- отсчета (к осям Oxyz), ^называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается vот), а ускорение — относительным ускорением (обозначается аот). Из определения следует, что при вычислении vот и аот можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как непод¬вижные). * 2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно¬шению к неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М пере¬носным движением. Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается vnep), а ускорение этой точки т — переносным уско¬рением точки М (обозначается апер). Таким образом, vnep=Vm, апер=аm Если представить себе, что относительное движение точки про¬исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М. 3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О1Х1У1Z1 называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекто¬рией, скорость — абсолютной скоростью (обозначается Vаб) и уско¬рение — абсолютным ускорением (обозначается ааб). 27.Теорема о сложении скоростей. Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к ус¬ловно неподвижной системе O1X1y1Z1. Положение точки М в под¬вижной системе координат определяется радиус-вектором р, в неподвижной - радиус-вектором г. Положение начала G подвиж¬ной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором г0 (см. рис. 2.56). Векторы r, r0 и р связаны сле¬дующим соотношением: (1) Разложим радиус-вектор р по ортам подвижной системы коорди¬нат. В результате получим (2) Подчеркнем еше раз, что х, у, z — координаты точки М в подвижной системе Oxyz, a i, j, к - орты этой системы, которые являются функциями времени. Абсолютная скорость точки М получается, как обычно, дифференцированием по времени радиус-вектора r, определяемо¬го формулой (2). В результате дифференцирования получим (3) Проанализируем теперь получившееся равенство (3). Если бы х, у и z были постоянными, мы получили бы скорость точки m, неизменно связанную с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка М, т.е. переносную скорость. Из определения переносной скорости при х, у, z = const следует, что Va = Ve. Но из формулы (3) в этом случае (т.е. при х, у, z = const) получим (4) С другой стороны, для скоростей точек в общем случае движения свободного твердого тела мы получили следующее выражение: (5) где Vo - абсолютная скорость начала О подвижной системы ко¬ординат, ф - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат. Далее, если бы i,j, k r0 были постоянными, т.е. система координат Oxyz стала бы неподвижной, то по определению отно¬сительной скорости Va = Vr но из формулы (4), в этом случае мы получили бы (6) Поэтому формула (3) с учетом (4) - (6) приводит к теореме о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геомет¬рической сумме переносной и относительной скоростей этой точки: (7) Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что абсолютная скорость точки по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах перенос¬ной и относительной скоростей. 28.Теорема о сложении ускорений. Для тоге, чтобы найти абсолютное ускорение точки, про¬дифференцируем равенство (3) предыдущего параграфа по вре¬мени. В результате получим (1) Если х, у, z, постоянны, то их первые и вторые произ-водные равны нулю и первые четыре слагаемых формулы (1) да¬ют ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, т.е. переносное ускорение (2) С другой стороны, ускорение точки свободного твердого тела (3) Заметим, что формулу (3) можно получить, дифференцируя фор¬мулу (5) предыдущего параграфа. Следующая группа, состоящая из трех слагаемых, представляет относительное ускорение (4) Наконец, чтобы выяснить смысл последней группы слагаемых в соотношении (1) вспомним, что Тогда, заменяя в этой формуле р на Vr с компонентами х, у, z, получим (5) Ускорение, определяемое равенством (5). называют по¬воротным, или ускорением Кориолиса: (б) В формуле (6) омега е = омега, здесь мы ввели новее обозначение, чтобы подчеркнуть связь со с переносным движением. Итак, имеем (7) Формула (7) выражает следующую теорему о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового ускорений. При использовании формулы (7) необходимо помнить, что переносное ускорение следует вычислять методами кинема¬тики твердого тела при различных случаях его движения. Относительное ускорение определяется в относительной системе координат по правилам кинематики точки, при этом под¬вижная система координат считается неподвижной. В частном случае поступательного переносного движе-ния омега е = 0 и, следовательно, Ас = 0. В этом случае (8) Этот результат аналогичен теореме о сложении скоростей. |
|