ФИМ / Прикладная механика / Лекция №5. по теоретической механике Общие теоремы динамики
(автор - student, добавлено - 24-11-2012, 23:59)
СКАЧАТЬ:
Лекция №5. Общие теоремы динамики 1. Теорема об изменении количества движения. 2. Динамика точки переменной массы. 3. Теорема Эйлера. 4. Теорема об изменении момента количества движения. 5. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. 6. Теорема об изменении кинетической энергии. 1. Теорема об изменении количества движения Теорема: производная по времени от количества движения механической системы равна сумме всех внешних сил, действующих на систему. (*) Теорема в интегральной форме: изменения количества движения механической системы за какой-либо промежуток времени равно сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени. Интегрируем уравнение (*) Следствие №1: Внутренние силы, действующие между точками механической системы, не влияют на изменение количества движения системы. Следствие№2: Если главный вектор внешних сил равен о, то количество движения системы не изменяется (закон сохранения количества движения). Следствие №3: Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна 0, то проекция количества движения системы на эту ось постоянна. Теорема об изменении количества движения применяется для исследования движения тел переменной массы и сложных сред, а также в изучении явления удара. 2. Динамика точки переменной массы Рассмотрим движение материальной точки массой m(t) являющейся функцией времени. В некоторой момент времени t к точке присоединяется частица С массой dm, которая движется со скоростью u. а) Рассмотрим момент времени t и dt, масса точки в этот момент времени будет mt и dm, а скорость v+dv. dm б) Для исследования движения точки воспользуемся уравнением теоремы изменения количества движения, где mQ – приращение количества движения (*) Где Подставим эти значения в уравнение (*) Тогда - отклонение скорости присоединенной частицы уравнение Мещерского – реактивная сила – скорость изменения массы 3. Теорема Эйлера Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения. Воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы для исследования установившегося движения жидкости, заключенного между сечениями жидкости, с площадью сечения S1 и S2. V2 Изменение количества движения dQ=Q(t+dt)-Q(t). Разделим объем на части , где – секундная масса - масса жидкости, проходящая за 1 секунду, j – плотность жидкости Тогда v1 и v2 – скорости частиц жидкости Из условия несжимаемости жидкости, ее количество, проходящее через каждое сечение m1=m2=m. Тогда по теории об изменении количества движения Внешние силы разделим на и mv1 Fпов mv2 Fоб Теорема Эйлера: Сумма главного вектора объемных сил, главного вектора поверхностных сил mv1 +(-mv2)=0 и секундных количеств движения направленных внутрь объема равна 0. 4. Теорема об изменении момента количества движения Теорема: Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра. /Fk Выполним суммирование по всем точкам и получим Следствие№1: Внутренние силы, действующие между точками механической энергии, не влияют на изменение кинетической энергии механической системы. Следствие№2: Если главный момент внешних сил системы относительно какого-либо центра равен 0, то кинетический момент системы относительного этого центра не изменяется. 5. Теорема об изменении кинетического момента механической системы Проектируя полученное равенство на ось z, получим теоремы для системы. Теорема: Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси, равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно этой оси. Следствие: Если сумма моментов внешних сил относительно какой-либо оси равна 0, то кинетический момент системы относительно этой оси постоянна. Теорема: производная по времени от кинетического момента относительно центра масс в системе отсчета, которая движется поступательно вместе с центром масс, равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно центра масс. 6. Теорема об изменении кинетической энергии Теорема: изменение кинетической энергии механической системы, на котором перемещение равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом же перемещении. Рассмотрим движение произвольной точки / *drk скалярно Проинтегрируем обе части: Просуммируем и получим уравнение: Теорема в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощности внутренних и внешних сил действующих на систему. Следствие: Если механическая система является консервативной, то полная механическая энергия системы равна суме кинетической и потенциальной энергии, при ее движении она остается постоянной. |
|