ФИМ / Прикладная механика / Лекция №7 по теоретической механике
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:00)
СКАЧАТЬ:
Лекция №7 1. Связи и их уравнения. 2. Классификация связей. 3. Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы. Идеальные связи 4. Принцип возможных перемещений. 5. Общие теоремы динамики. 1. Тела, ограничивающие свободу перемещения точек данной механической системы, называется связями. В аналитической механике связи задаются уравнениями или неравенствами, в которые входят время координат всех или части точек системы и их производные по времени. В частности, для одной точки уравнение связи может иметь вид: f(x,y,z)=0 , где f(x,y,z) - заданная функция координат. Например, связь в виде идеального стержня, ограничивающего перемещение материальной точки M(x,y,z) записывается уравнением: x2+y2+z2=l2 При свободном движении системы двух материальных точек M1 (x1,y1,z1) и M2 (x2,y2,z2) соединенных между собой идеальным стержнем. Уравнение связи из условия неизменности расстояния между точками будет иметь вид: (x2-x1)2+( y2-y1)2+( z2-z1)2=l2 Рассмотрим также две материальные точки, соединенные нерастяжимым стержнем, движущиеся в одной плоскости. Написать уравнение связи: выберем в качестве плоскости движения точки XY, тогда z1=0 и z2=0 – это уравнение связи. Если точки, соединены стержнем, то расстояние между ними всегда l: (x2-x1)2+( y2-y1)2=l2 Вывод: аналитическая механика позволяет описать поведение системы, минимальным количеством уравнения не вводя при этом неизвестные реакции связи. Этот метод аналитической механики нашел широкое применение в инженерной механики. 2. Связь называется голономной, если в уравнение связи входят координаты точек механической системы: f(x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0 Если в уравнении связи кроме координат входят еще и ее производные по времени и это дифференциальное уравнение не может быть проинтегрировано, то такая связь называется не голономной Связь называют удерживающей, если она выражается математическим уравнением, и неудерживающей, если она выражается неравенством. Связь называется стационарной, если в уравнение если в уравнение связи время явно не входит, если же в в уравнение связи время входит явным образом, то связь называется нестационарной. Примером нестационарной связи является нить длина которой изменяется по заданному закону. 3. Виртуальным перемещением точки называется такое бесконечно малое элементарное перемещение d , которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями, например, для связи в виде идеального стержня, виртуальное перемещение d всегда перпендикулярно радиусы сферы, по которой может перемещаться точка. Виртуальное перемещение механической системы – это совокупность виртуальных перемещений точек этой системы. Виртуальной работой силы называется, работа силы на виртуальном перемещении в точке ее приложения. Связь называется идеальной если сумма работ реакций этой связи на любом виртуальном перемещении системы равна 0. Примером является шероховатая поверхность для катка, качающегося без катка, при отсутствии трения. 4. Для равновесия механической системы с идеальными м стационарными связями необходимо и достаточно чтобы сумма всех активных сил, приложенных к точкам системы была равна 0: Доказательство необходимости: Пусть дана механическая система в равновесии. Нужно доказать, что , так как находится в равновесии, то равнодействующая сил и равнодействующая сил реакции связи приложенных к точке системы удовлетворяют условию равновесия статики: + = 0 Сообщаем системе виртуальное перемещение и умножим обе части каждого равенства на виртуальное перемещение к точке на и суммируем по всем точкам системы: , так как связи идеальные, то => => , необходимость доказана. Докажем достаточность: , доказать что механическая система в равновесии Доказательство: Предположим, что при заданных условиях система не находится в равновесии, то есть при действии на систему активных сил, хотя бы одна точка точно получила перемещение . + ≠ 0 , так как для стационарной связи достаточное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. = , ( + ) >0 суммируем ко всем точкам , так как связи идеальные => => - это противоречит условию => система находится в равновесии. 5. При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы = 0. Рассмотрим движение К-ой точки системы: mk = + = - mk Мысленно зафиксируем время t и дадим системе виртуальное перемещение умножим скалярно каждое уравнение на и сложим их: по определению идеальных связей последняя сумма равна 0 , следовательно , сумма Похожие статьи:
|
|