ФИМ / Прикладная механика / Лекция №8 по теоретической механике Метод обобщенных координат
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:01)
СКАЧАТЬ:
Лекция №8 Метод обобщенных координат План: 1. Обобщенные координаты точки. 2. Обобщенные координаты механической системы. Обобщенные скорости. 3. Обобщенные силы. 1. Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, подчиненную n-голономным связям. f1(x1, y1, z1, … xn, yn, zn, t)=0 (8.1) Связи называются голономными, если их уравнения могут быть записаны в виде не содержащих производных от координат. Системе при этом можно придать произвольные возможные перемещения, описываемые вариациями координат: x1, y1, z1, … xn, yn, zn Варьируя уравнения связи мы получим n-уравнений, связывающие их между собой: …+ … =0 (8.2) i=1…n. Таким образом не все из 3n вариаций оказываются независимыми. Независимыми будут только (3n-h) вариаций. ОПР. Число независимых между собой вариаций координат точек механической системы называется ее числом степеней свободы. Для голономной механической системы число степеней свободы будет = 3n-h/ На практике число степеней свободы определяется следующим образом: если в системе вообще не возможно движение, то у нее нет вообще степени свободы. Если движение возможно, то мысленно фиксируется какая-либо одна меняющаяся координата. Если после этого движение становится не возможным, то у системы одна степень свободы. Если движение еще остается возможным значит у системы больше одной степени свободы, тогда фиксируется вторая координата и т.д. Минимальное количество независимых координат, которые следует зафиксировать для прекращения возможных движений и будет числом степени свободы. Например: у точки, движущейся по прямой линии одна степень свободы, у точки на плоскости – 2, у точки в пространстве – 3. У свободного тела в пространстве (летящий самолет) – 6 степеней свободы. Можно выбирать некоторые параметры, описывающие однозначно положение системы. Например: математический маятник: Вместо того, чтобы рассматривать две его координаты X и Y и уравнения связи: х2+у2=ℓ2 можно ввести один параметр – угол его отклонения от вертикали φ и этот параметр будет описывать положение маятника. 2. Обобщенной координатой называется независимые между собой параметры однозначно определяющие положение ОПР. Число обобщенных координат для голономной системы равно ее числу степени свободы: Обозначим их q1, q2, … qs. Физически это могут быть: линейные перемещения, углы поворота и другие величины. Обобщенными координатами могут быть: углы поворота, углы Эйлера при сферическом движении. Производные по времени от обобщенных координат называется обобщенными скоростями. (8.3) i=1…S Итак, если положение механической системы определяется S-обобщенными координатами, то радиус-вектор rk всех точек могут быть выражены через обобщенные координаты и время: (8.4) k=1, … n Эта система векторных равенств равносильна системе 3n скалярных уравнений: (8.5) При подстановке этих выражений для xk, yk, zk в уравнение (8.1) последние должны обращаться в тождества. Например: для рассмотренного выше математического маятника декартовые координаты можно выразить через обобщенную координату φ: x=ℓ*sinφ y=ℓ*cosφ и при подстановке этих выражений в уравнения связи: ℓ2sin2φ+ℓ2cos2φ=e2 ℓ2(sin2φ+cos2φ)=e2 ℓ2=e2 Пользуясь равенством (8.4) можно выразить вариации декартовых координат и радиус-вектор через вариации обобщенных координат, варьируя уравнения связи: или: (8.7) Вывод: обобщенные координаты выгодны тем. Что: - они не зависимы; - их введение освобождает нас от необходимости удовлетворять уравнениям связи. 3. Введем новые понятия: 1) возможная работа силы - это ее работа на возможном перемещении точки ее приложения (8.8) 2) возможная мощность силы – это ее мощность на возможную скорость точки ее приложения (8.9) Возможные работа и мощность для системы сил записываются как соответствующие суммы: (8.9) Используя соотношения для возможных работы и мощности преобразуем выражения (8.11) (8.12) обобщенная сила соответствует обобщенной координате qj Тогда: (8.13) Для системы с одной степенью свободы работа: (8.14) Таким образом, обобщенная сила равна коэффициенту при вариации обобщенной координаты в выражении возможной работы и коэффициенту при возможной скорости в выражении мощности. Обобщенная сила не обязательно является силой. Ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты. Похожие статьи:
|
|