ФИМ / Прикладная механика / Лекция № 13. по теоретической механике Вынужденные колебания механической системы
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:07)
СКАЧАТЬ:
Лекция № 13. Вынужденные колебания механической системы 1. Вынужденные колебания механической системы 2. Динамическое гашение колебаний 3. Главные координаты 1. Вынужденные колебания механической системы Вынужденные колебания механической системы с двумя степенями свободы под действием гармонических вынужденных сил частоты , для которой обобщенные силы запишутся в следующем виде: , где F1, F2 – амплитуды вынуждающих сил по обобщенным координатам q1 и q2. Тогда уравнения колебаний с учетом обобщенных сил запишутся следующим образом: Общее решение складывается из общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. Частное решение будем искать в виде: Подставим в уравнения колебаний и после математических преобразований получим Определитель этой системы Решение последней системы дает: Вывод: 1. Вынужденные колебания системы являются гармоническими. 2. Амплитуды не зависят от начальных условий, а определяются вынуждающей силой 3. При При изменении частоты вынуждающей силы система дважды попадает в резонанс. 2) Динамическое гашение колебаний Анализ выражений для амплитуды позволяет сделать вывод для еще одного метода борьбы с вибрациями – динамическое гашение колебаний. Если амплитуда второй вынуждающей силы F2 = 0 и C22 – a22p2 = 0, то B1 = 0, т.е. будут отсутствовать колебания по первой обобщенной координате. Таким образом, если необходимо устранить колебания некоторого тела m1, находящегося на упругом основании жесткостью С1 под действием вынужденной силы , то можно добавить к системе второе тело массой m2 на упругом элементе жесткостью C2, называемым в этом случае динамическим элементом. q1, q2 – обобщенные координаты F2 – вынуждающая сила на 2-ой обобщенной координате. То для прекращения колебаний тела массой m1 достаточно подобрать параметры m2 и c2 так, чтобы выполнялось равенство: С22 – a22p2 = 0. Обобщенный коэффициент инерции равен массе тела. Обобщенный коэффициент жесткости равен коэффициенту жесткости упругого элемента. Тогда С22 – m2p2 = 0. Отсюда следует, что Т.е. собственная частота колебаний динамического гасителя должна быть равна частоте вынуждающей силы. При таком подборе m2 и c2 динамический гаситель попадает в резонанс, а колебания m1 прекращаются. 3) Главные координаты Описание процесса колебания в механической системе с двумя степенями свободы упрощается, если в качестве обобщенных координат выбраны главные координаты. Главными колебаниями механической системы называются обобщенные координаты ŋ1 и ŋ2, выбранные так, чтобы выражения кинематической и потенциальной энергии содержали только квадраты обобщенных скоростей и координат. Переход от обычных обобщенных координат q1 и q2 к главным всегда возможен, если , где M1 и M2 – коэффициенты. В главных координатах система уравнения Лагранжа 2-го рода распадается на два уравнения . Решение этих уравнений запишется в виде: где A1, A2 – амплитуды; B1, B2 – начальные фазы, k1, k2 – частоты колебаний. , . Это собственная частота системы, так как значения частоты зависят только от параметров системы, а не от выбора координат. Таким образом, каждая из главных координат меняется по гармоническому закону с частотой, равной одной из собственных частот системы. |
|