ФИМ / Прикладная механика / Лекция №12 по теоретической механике
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:06)
СКАЧАТЬ:
Лекция 12 1. Переход к малым колебаниям. 2. Уравнения колебания. 3. Вынужденные колебания. 4. Другие виды вынужденных колебаний. 1 вопрос. Переходом к малым колебаниям называется приближённый метод описания явления колебания, связанный с линеаризацией системы уравнения. Формально этот переход производится следующим образом: встречающиеся при описании системы функции обобщённых координат раскладываются в ряды вблизи положений равновесия = 0, = 0…. = 0, после чего отбрасываются члены высшего порядка малости. Например для перехода к малым колебаниям в выражение для потенциальной энергии + члены высшего порядка, где – обобщённые координаты жёсткости. Следует исключить слагаемое, состоящее из членов высшего порядка малости и оставить только квадратичную форму. Чем меньше значения будут принимать в процессе движения обобщённые координаты, тем меньшую погрешность мы допустим, делая переход к малым колебаниям. Если же уравнение механической системы уже является линейными, то линеаризация не требуется. 2 вопрос. Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы (обобщённая координата q) с идеальными голономными стационарными и удерживающими связями вблизи положения устойчивого равновесия q = 0. Для описания движения используем уравнение Лагранжа 2-го рода , Обобщённую силу будем считать f времени и назовём обобщённой вынуждающей силой. Если в системе действует вынужденная сила, то возникающие колебания называются вынужденными. Если же такая сила отсутствует, то колебания называются свободными. 3 вопрос. Выписываем производные, входящие в уравнение Лагранжа 2го рода: , делим на . Введём обозначения: или или , тогда уравнение – уравнение вынужденных колебаний при наличии сопротивлений. 4 вопрос. При отсутствии сопротивления, когда , уравнение вынужденных колебаний примет вид . Уравнение свободных колебаний при наличии сопротивления или уравнения затухающих колебаний, получаются в виде (уравнение свободных колебаний) , где – циклическая частота колебаний. Решение этого уравнения: , где A – амплитуда. В частном случае, если диссипативная обобщённая сила пропорциональна обобщённой скорости , а обобщённая возмущающая сила периодически изменяется с течением времени. , то движения механической системы описывается дифференциальным уравнением: , |
|