ФИМ / Прикладная механика / Лекция №11 по теоретической механике Введение в теорию колебаний
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:05)
СКАЧАТЬ:
Лекция 11 Введение в теорию колебаний 1. Колебания в природе и технике. 2. Определение положений равновесия. 3. Устойчивость в положении равновесия. 4. Теорема Лагранжа - Дирихле. 1.Колебания в природе и технике. Среди всех разнообразных видов движения встречающихся в природе и технике занимают периодические процессы, в частности колебательные, волновые, к ним относятся звук, свет, работа человеческого сердца, и технические колебания, называемые вибрациями. Колебательные движения применяются широко в технике: виброуплотнение, виброперемешивание, виброизмельчение и другие технологические процессы. С другой стороны, процессы колебаний имеют серьезные негативные последствия вплоть до разрушения зданий и сооружений (землетрясение), но небольшие сооружения (мосты) разрушаются строем солдат. С 1878 – 1888 разрушалось 250 мостов. Часто разрушаются крылья самолетов, линии электропередач. Все это привело к необходимости изучения теории колебаний. Мы ограничимся рассматриванием малых колебаний механических систем с одной или двумя степенями свободы. 2.Определение положений равновесия. Из опыта видно, что колебания всегда возникают вблизи положения равновесия. Вопрос о поиске положения равновесия для механических систем с голономными стационарными идеальными и удерживающими связями решается на основе принципа Лагранжа для механической системы с s - степенями свободы, описываемый обобщенными координатами q1 , q2 ,…, qs . В положении равновесия все обобщенные силы равны 0. Q1 = 0, Q2 = 0, Qs = 0 . Мы будем рассматривать прежде всего системы, в которых действуют только потенциальные и диссипотивные силы. Диссипотивные силы, как силы пропорциональные скоростям точек, не влияют на положение равновесия. Таким образом положения равновесия будут определяться только потенциальными силами, т.е. но основании принципа Лагранжа для консервативных механических систем. = 0, = 0, = 0, где П = П(q1 , q2 ,…, qs) – потенциальная энергия системы. Последнее уравнение можно рассматривать как систему s – уравнений относительно s – неизвестных q1 , q2 ,…, qs . Решение этой системы и определяет положение равновесия. 3.Устойчивость в положении равновесия. Не все положения обладают тем свойством, что вблизи этих положений могут возникать колебания, т.е. являться устойчивыми. Некоторые положения равновесия не реализуемы практически, т.е. не устойчивые. Устойчивое неустойчивое безразличное равновесие равновесие равновесие Если точкам системы придать некоторое малое отклонение от положения равновесия или некоторые малые скорости, то при устойчивом равновесии система будет двигаться, оставаясь вблизи этого положения, а при неустойчивом уйдет от положения равновесия. Но более строгое определение понятие устойчивости дано в трудах Ляпунова. В теории устойчивости Ляпунова сформулирован и доказан ряд теорем, позволяющих решить вопрос об устойчивости или не устойчивости положения равновесия. 4.Теорема Лагранжа - Дирихле. Достаточное условие устойчивости для консервативных механических систем дает теорема Лагранжа – Дирихле, которая может быть получена как следствие из общей теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема Лагранжа – Дирихле: если в положении равновесия консервативных механических систем потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво. Для того, чтобы установить факт устойчивости данного положения равновесия системы достаточно убедиться в том, что в этом положении потенциальная энергия имеет минимум. Для системы с одной степенью свободы это делается элементарно по известному математическому правилу, которое гласит так: если первая, не равная нулю, производная имеет четный порядок (2, 4 и т.д.), то по ее знаку легко определить минимум или максимум имеет функция. Производная положительная, значит минимум, если отрицательная, значит максимум. Если первая, не равная нулю, производная имеет нечетный порядок, то функция в этой точке не имеет ни минимум, ни максимум. Таким образом, если вторая производная от потенциальной энергии оказывается в положении равновесия положительной, то такое положение равновесия устойчиво. |
|