ФИМ / Прикладная механика / Лекция №9 по теоретической механике Дифференциальные уравнения механической системы в обобщенных координатах или уравнение Лагранжа второго рода.
(автор - student, добавлено - 25-11-2012, 00:02)
СКАЧАТЬ:
Лекция №9 Дифференциальные уравнения механической системы в обобщенных координатах или уравнение Лагранжа второго рода. 1. Принцип возможных перемещений 2. Принцип возможных скоростей лагранжа 3. Принцип лагранжа в обобщенных силах 4. Принцип лагранжа для консервативных механических систем 5. Принцип дагранжа. Диссипативные силы 6. Физический смысл фиссипативной функции 1. Принцип Лагранжа имеет несколько формулировок и относительно к механической системе, находящейся в равновесии. Из статики известно, что для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы система сил, действующих на каждую точку механической системы была уравновешена, т.е. =0, k=1..n И чтобы в начальный момент времени механическая система находилась в покое, чтобы начальные скорости всех точек были нулевыми, будем считать , что эти условия выполняются. Дадим формулировки принципов, считая наложенные на систему связи голономными стационарными идеальными и удерживающими, тогда принцип возможных перемещений сформулируется таким образом: Для того, чтобы механическая система находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы возможная работа всех активных сил на любых возможных перемещениях была равна нулю. δА=0 или δ =0 2. для того, чтобы механическая система находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы возможная мощность всех активных сил на любых возможных скоростях была равна нулю. N=0 или Докажем ее необходимость. Если система находится в равновесии, то =0 , k=1..n Домножим на соответствующее возможное перемещение и просуммируем δ + δ =0 Поскольку по условию идеальных связей первая сумма равна нулю, то вторая сумма также равна нулю. δ =0 Необходимость доказана. Докажем ее достаточность. Пусть на любых возможных скоростях v =0. Покажем, что система остается в равновесии. Доказательство проведем от противного. Предположим, что система выйдет из равновесия, следовательно, у ее точек появится ускорение а и хотя бы одно из которых не будет равняться нулю. Поскольку начальная скорость равна нулю, то появившееся ускорение должно быть касательным, а а = =0. При v=0, т.е. должны лежать в касательных плоскостях поверхностей связей, но в этих же плоскостях лежат и возможные скорости, имеющие произвольное направление. Выберем в качестве набора возможных скоростей те, которые совпадают с ускорением по направлению набора возможных скоростей те, которые совпадают с ускорением по направлению. В этом случае v a >0 для точек с ненулевыми ускорениями. Домножим на массу и просуммируем >0 Если m = , тогда >0 Вторая сумма равна нулю из условия идеальности связей. Отсюда следует, что ≥0 Пришли к противоречию, следовательно механическая система в действительности остается в равновесии. Принцип доказан. 3. Принцип Лагранжа в обобщенных силах. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы с соответствующими связями необходимо и достаточно, чтобы возможная работа δА=0 на любых возможных перемещениях при нулевых скоростях (при любых начальных скоростях) δА= =0 В частности для системы с одной степенью свободы =0 Здесь возможны два случая: а) может быть δ =0, т.е. обобщенная координата имеет в данном положении механической системы стационарное значение б) δ ≠0, тогда =0, т.е. обобщенная сила равна нулю. Определение: Будем считать, переходя к системам с произвольной степенью свободы, что обобщенная координата в данном положении механической системы не имеет стационарного значения. Обобщенные координаты не зависимы между собой. Каждую из них можно менять не меняя остальные. Например: зафиксируем все ординаты кроме . Тогда все вариации кроме δ будут равны нулю и равенство =0 =0 => =0 Принцип Лагранжа в обобщенных силах: В положении равновесия механической системы все обобщенные силы равны нулю и это равенство содержит в себе в обобщенном виде все уравнения статики (уравнение проекции сил и момента проекции сил). =0. 4. принцип Лагранжа для консервативных сил. Механическая система является консервативной, если все действующие в ней силы потенциальны, а связи стационарны, но для потенциальных сил обобщенные силы определяются равенством Подставим в равенство =0 и получим следующий принцип: в положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия имеет стационарное значение или минимальное или максимальное. Отметим, что =0 для простых механизмов, преобразующих движение, и при условии пренебрежения потерями на трениях механизмов, то уравнение примет вид: Или Т.е. во сколько раз уменьшается скорость, во столько раз увеличивается сила и наоборот. Это золотое правило механики. F F v v оно было известно еще Архимеду, хотя он писал не о скоростях, а о перемещении. Значит золотое правило механики является частным случаем принципа Лагранжа. 5. Диссипативной называются силы сопротивления, пропорциональные скоростям движения точек Где - постоянная, большая нуля, это коэффициент сопротивления. Название этих сил происходит от латинского dissipatio- рассеивание. Поскольку при наличии таких сил происходит рассеивание механической энергии, в частности превращение в тепловую энергию. Вычислим обобщенную Диссипативную силу (*) Для него воспользуемся формулой И учтем формулу (*) Где k=1,..,n Функция в квадратных скобках называется диссипативной С учетом этого 6. Рассмотрим физический смысл диссипативной функции. Суммарная мощность диссипативных сил равна Или =-2D Суммарная мощность диссипативных сил равна удвоенной величине диссипативной функции, взятой с противоположным знаком. Если в механической системе действуют еще и потенциальные силы, т.е. , то То на основе кинетической энергии в дифференциальной форме Е-полная механическая энергия Таким образом удовлетворяющее значение диссипативной функции определяет быстроту убывания (рассеивания) полной механической энергии. Похожие статьи:
|
|