ФЭУ / Экономика предприятий / Системы одновременных уравнений
(автор - student, добавлено - 21-02-2013, 19:58)
СКАЧАТЬ:
Пример 1. Требуется: Оценить следующую структурную модель на идентификацию: y1 = b13 y3 + a11 x1 + a13 x3 y2 = b21 y1 + b23 y3 + a22 x2 y3 = b32 y2 + a31 x1 + a33 x3 Исходя из приведенной формы модели уравнений y1 = 2 x1 + 4 x2 + 10 x3 y2 = 3 x1 - 6 x2 + 2 x3 y3 = - 5x1 + 8x2 + 5 x3 найти структурные коэффициенты модели. Решение. Модель имеет три эндогенные (y1,y2,y3) и три экзогенные переменные (x1 , x2 , x3). Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации. Первое уравнение. Н: эндогенных переменных – 2 (y1,y3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2). Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо. Д: в первом уравнении отсутствуют y2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы: Det A = -1*0-b32* a22 ≠ 0 Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемоВторое уравнение. Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3), отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3). Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо. Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы: Det A = a 11 * a 33 - a 31 * a13 ≠ 0 Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо. Третье уравнение. Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2). Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо. Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы: Det A = - 1 * a22 - b21* 0 ≠ 0 Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо. Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов. 2. Вычислим структурные коэффициенты модели: Из третьего уравнения приведенной формы выразим x2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы): у3 + 5х1 - 5х3 x2 = Данное выражение содержит переменные у3 , х1 и х3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ): у3 + 5х1 - 5х3 у1 = 2 x1 + 4 + 10 x3 8 у1 = 0,5 у3 + 4,5 x1 + 7,5х3 - первое уравнение СФМ; Во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и х3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа: Первый этап: выразим x1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения: у1 - 4х2 - 10х3 x1 = = 0,5 у1 – 2х2 - 5х3 2 Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х3, которого нет в СФМ. Выразим из третьего уравнения ПФМ: у3 + 5х1 - 8х2 x3 = Подставим его в выражение x1 : у3 + 5х1 - 8х2 x1 = 0,5 у1 – 2х2 – 5 = 0,5 у1 – у3 + 6х2 - 5 x1 5 0,5 у1 - у3 + 6х2 x1 = Второй этап: аналогично, чтобы выразить х3 через искомые у1, у3 и х2, заменим в выражении х3 значение х1 на полученное из первого уравнения ПФМ: у3 + 5 (0,5у1 - 2х2 - 5х3) - 8х2 x3 = = 5 = 0,2 у3 +0,5у1 – 3,6х2 - 5х3 Следовательно, x3 = 0,033 у3 + 0,083у1 – 0,6х2 Подставим полученные х1 и х3 во второе уравнение ПФМ: 0,5 у1 - у3 + 6 х2 у2 = 3 - 6х2 + 2 (0,033у3 + 0,083у1 – 0,6 х2) 6 у2 = 0,416у1– 0,434у3 – 4,2х2 – второе уравнение СФМ Это уравнение можно получить из ПФМ и другими путями. Подставим полученные х1 и х3 во второе уравнение ПФМ: 0,5 у1 - у3 + 6 х2 у2 = 3 - 6х2 + 2 (0,033у3 + 0,083у1 – 0,6 х2) 6 у2 = 0,416у1– 0,434у3 – 4,2х2 – второе уравнение СФМ Это уравнение можно получить из ПФМ и другими путями. 3. Из второго уравнения ПФМ выразим х2 , так как его нет в третьем уравнении СФМ: - у2 + 3х1 + 2х3 х2 = = - 0,167у2 + 0,5х1 + 0,0333х3 6 Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ: у3 = - 5х1 + 8 (- 0,167у2 + 0,5х1 + 0,0333х3) + 5х3 у3 = - 1,336у2 - х1 + 7,664х3 - третье уравнение СФМ. Таким образом, СФМ примет вид: у1 = 0,5 у3 + 4,5 x1 + 7,5х3 у2 = 0,416у1– 0,434у3 – 4,2х2 у3 = - 1,336у2 - х1 + 7,664х3 Пример 2. Изучается модель вида y = a1 + b1 (С + D) + ε1 C = a2 + b2 y + b3 y-1 + ε2 y - валовой национальный доход; y-1 - валовой национальный доход предшествующего года; С - личное потребление; D - конечный спрос (помимо личного потребления); ε1 и ε2 – случайные составляющие. Для данной модели была получена система приведенных уравнений: y = 8,219 + 0,6688 D + 0,2610 y-1 C = 8,636 + 0,3384 D + 0,2020 y-1 Требуется: Провести идентификацию модели. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели. Решение. Решение. 1. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две предопределенные переменные (D и у-1). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1. Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1+1=2: D +1>Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована. 2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов. Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение C = 8,636 + 0,3384 D + 0,2020 y-1 подставим значения D и y-1, имеющиеся в условии задачи. Полученные данные занесем в таблицу. Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем новую переменную Ĉ+ D (см. табл.) Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную Ĉ+ D через Z. Решаем уравнение у = a1 + b1 Z Система нормальных уравнений составит: Σу = na1 + b1 Σ Z ΣуZ = a1 Σ Z + b1 Σ Z2 248, 4 = 9 a1 + 350,4 b1 13508,71 = 350,4 a1 + 21142,02 b1 Итак, первое уравнение структурной модели представляется в следующем виде: y = 7,678 + 0,512 (С + D) Требуется: Построить модель вида : y1 = f (y2,х1), y2 = f (y1,х2), рассчитав соответствующие структурные коэффициенты. Решение. Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид: y1 = b12 y2 + a11 х1 + ε1 y2 = b21 y1 + a22 х2 + ε2 В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1+1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы. Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов. С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму: y1 = δ11 х1 + δ12 х2 y2 = δ21 х1 + δ22 х2 в которой коэффициенты при х определяют методом наименьших квадратов. Для нахождения значений δ11 и δ12 запишем систему нормальных уравнений: Σy1 х1 = δ11 Σ х12 + δ12 Σ х1х2 Σy1 х2 = δ11 Σ х1 х2 + δ12 Σ х22 При ее решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т.е. матрица исходных данных составит: Применительно к таким исходным данным находим необходимые суммы: Σy1 х1 = 1600 Σ х12 = 180 000 Σ х1х2 = -1900 Σy1 х2 = -37 Σ х22 = 96 Система нормальных уравнений: 1600 = 180 000 δ11 – 1900 δ12 - 37 = - 1900 δ11 + 96 δ12 Решая ее, получим: δ11 = 0,00609 δ12 = - 0,26481 Итак, имеем y1 = 0,00609 х1 – 0,26481 х2 Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов δ21 и δ22 : Σy2 х1 = δ21 Σ х12 + δ22 Σ х1х2 Σy2 х2 = δ21 Σ х1 х2 + δ22 Σ х22 Σy2 х1 = - 160 Σy2 х2 = 10,2 - 160 = 180 000 δ21 – 1900 δ22 10,2 = - 1900 δ21 + 96 δ22 Следовательно, δ21 = 0,00029 δ22 = 0,11207, тогда второе уравнение примет вид: y2 = 0,00029 х1 – 0,11207 х2 Приведенная форма модели имеет вид: y1 = 0,00609 х1 – 0,26481х2 y2 = 0,00029 х1 + 0,11207 х2 Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели: y1 = 0,00609 х1 – 0,26481х2 y2 - 0,00029 х1 х2 = 0,11207 y2 - 0,00029 х1 y1 = 0,00609 х1 – 0,26481 = 0,11207 = -2,36290 y2 + 0,00678 х1 Итак, первое уравнение СФМ: y1 = - 2,36290 y2 + 0,00678 х1 y2 = 0,00029 х1 + 0,11207 х2 y1 + 0,026481 х2 х1 = 0,00609 y1 + 0,26481 х2 y2 = 0,00029 + 0,11207 х2 = 0,00609 = 0,04762 y1 + 0,12468 х2 Второе уравнение СФМ: y2 = 0,04762 y1 + 0,12468 х2 Итак, структурная форма модели имеет вид: y1 = - 2,36290 y2 + 0,00678 х1+ ε1 y2 = 0,04762 y1 + 0,12468 х2 + ε2 Пример 4. Рассматривается следующая модель: Ct = a1+ b11 Yt + b12Ct-1+ U1 (функция потребления) It = a2+ b21 rt + b22 It-1+ U2 (функция инвестиций) rt = a3+ b31 Yt + b32Mt + U3 (функция денежного рынка) Yt = Ct + It + Gt (тождество дохода) Требуется: В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров. Как изменится ваш ответ на вопрос 1, если из модели исключить тождество дохода? Решение: Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое уравнение на идентификацию. Модель включает четыре эндогенные переменные (Ct, It, Yt, rt ) и четыре предопределенные переменные – две экзогенные переменные (Mt , Gt ) и две лаговые эндогенные переменные (Ct-1 , It-1). Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели. 1 уравнение. Это уравнение включает две эндогенные переменные (Ct, Yt ) и одну предопределенную переменную (Ct-1 ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1 > 2. уравнение сверхидентифицировано. 2 уравнение. Это уравнение включает две эндогенные переменные (It, rt) и не включает три предопределенные переменные. Как и первое уравнение, оно сверхидентифицировано. 3 уравнение. Уравнение 3 тоже включает две эндогенные переменные (Yt, rt) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано. 4 уравнение. Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели: В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4-1=3. 1 уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: -1 b21 b22 0 0 А = 0 -1 0 b32 0 1 0 0 0 1 Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой матрицы не равен нулю: -1 b21 0 Det A´= 0 -1 0 ≠ 0 1 0 1 Достаточное условие идентификации для 1 уравнения выполняется. 2 уравнение. Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение: -1 b11 b12 0 0 А = 0 b31 0 b32 0 1 -1 0 0 1 Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой матрицы не равен нулю: -1 b21 0 DetA´ = 0 -1 0 ≠ 0 1 0 1 Достаточное условие идентификации для 2 уравнения выполняется. 3 уравнение. Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение: -1 b12 0 0 0 А = 0 0 -1 b22 0 1 0 1 0 1 Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой матрицы не равен нулю: -1 0 0 DetA´ = 0 -1 0 ≠ 0 1 1 1 Достаточное условие идентификации для 3 уравнения выполняется. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК. Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде: Ct = A1+ A2 Ct-1 + A3 It-1 + A4 Mt + A5 Gt + V1 ; It = B1+ B2 Ct-1 + B3 It-1 + B4 Mt + B5 Gt + V2 ; Yt = D1+ D2 Ct-1 + D3 It-1 + D4 Mt + D5 Gt + V3 ; rt = E1+ E2 Ct-1 + E3 It-1 + E4 Mt + E5 Gt + V4 ; где V1, V2 , V3 , V4 - случайные ошибки. Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных Ŷt,řt, используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных. Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями: Ct = a1+ b11 Ŷt + b12Ct-1+ U1* , где U1* = U1 + b11 V1 ; It = a2+ b21 řt + b22 It-1+ U2 * , где U2* = U2 + b21 V2 ; rt = a3+ b31 Ŷt + b32Mt + U3* , где U3* = U3 + b31 V3 Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры a1 b11 b12 a2 b21 b22 a3 b31 b32 2. Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная Gt). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу – переменная Yt станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной It от эндогенной переменной rt (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной It-1. Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнения на идентификацию. Похожие статьи:
|
|