СКАЧАТЬ:  laba-2.zip [37,67 Kb] (cкачиваний: 32)

Задача 14. Найти  максимальное значение критерия оптимальности, выраженного в виде линейной формы:  при ограничениях:

 (1)

Решить геометрическим и аналитическим способом.

Решение.

Геометрический способ.

Из системы ограничений (1) выразим  в зависимости от  и построим графики полученных зависимостей.

Построим вектор направления целевой функции. Из начала координат проводим вектор i(2;2). Из начала координат перемещаем перпендикулярно вектору i прямую q по всей области.

 Последняя точка пересечения прямой q с областью Д определяет максимум целевой функции, который достигается при x₁=3, x₂=7,5.

Ответ: L_max(3;7,5)=21.

Аналитический способ.

Преобразуем систему ограничений (1) в систему уравнений (2)

 (2)

Сначала узнаем, совместна ли система, для чего определим ранг матрицы.

Т.к. ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и равен 3, то будет 3 базисных переменных и 1 свободная.

Пусть  будет свободной переменной,  а остальные – базисные.

Выразим все переменные в системе уравнений (2) и целевую функцию через свободную.

 (3)

Свободная переменная , подставим это значение в систему (3) и в целевую функцию

 и

Т.к. коэффициент перед   неотрицателен, то дальнейшее увеличение целевой функции возможно.

Пусть  будет свободной переменной,  а остальные – базисные.

 (4)

Свободная переменная , подставим это значение в систему (4) и в целевую функцию

 и

Т.к. коэффициент перед   неотрицателен, то дальнейшее увеличение целевой функции возможно.

Пусть  будет свободной переменной,  а остальные – базисные.

Выразим все переменные в системе уравнений (2) и целевую функцию через свободную.

 (5)

Свободная переменная , подставим это значение в систему (5) и в целевую функцию

 и

Т.к. коэффициент перед   неотрицателен, то дальнейшее увеличение целевой функции возможно.

Пусть  будет свободной переменной,  а остальные – базисные.

Выразим все переменные в системе уравнений (2) и целевую функцию через свободную.

 (6)

Свободная переменная , подставим это значение в систему (6) и в целевую функцию

 и

Т.к. коэффициент перед   отрицателен, то дальнейшее увеличение целевой функции невозможно. Значит найденное значение целевой функции и будет максимальным.

Ответ: максимальное значение целевой функции равно 21 при