ВАРИАНТ 1.

1. Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

         Y1 = a1  + b12 Y2  + ε1

         Y2 = a 2 + b21 Y1 + c21X1 +ε2

         Y3 = Y2 +X2

Ей соответствует следующая приведенная форма:

         Y1 = - 1,25 + 22 X1 + 0,67 X2 +ν1

         Y2 = 2-4X1 + 10 X2 + ν2

         Y3 = -30 + 12 X1 + 8X2+ ν3

Известны также следующие данные:

         n             1     2    3     4     5     6    

        Y1            3     2    4     1     5     3

        X1            2     3    5     6    10    8

        X2            4    7     3     6     5     5

Задание:

1.Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.

2. Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Решение.

1. В данной модели две эндогенные переменные (у₁ и у₂) и две предопределенные переменные   (ε₁ и ε₂). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при у₂ и ε₂ наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержатся одна эндогенная переменная у₁.

Переменная у₂ в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной ε₂.

В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1+1=2: D +1>Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной ε₂.

Для этого в приведенное уравнение подставим значения у₂ и ε₁, имеющиеся в условии задачи.

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную Ĉ+ D через Z.

Решаем уравнение

                              у = a₁ + b₁ Z

Система нормальных уравнений составит:

             Σу = na₁ + b₁ Σ Z

             ΣуZ = a₁ Σ Z + b₁ Σ Z²

                               248, 4 = 9 a₁ + 350,4 b₁

                              13508,71 = 350,4 a₁ + 21142,02 b₁

Итак, первое уравнение структурной модели представляется в следующем виде:

          y = 7,678 + 0,512 (С + D)

2.Рассматривается система уравнений вида:

Y1 = βX  +  γY2 +ε1

Y2 = δY1 +ε2

Проверить, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить константу?

Решение:

Модель имеет две эндогенные (y₁,y₂) и две экзогенные переменные (ε₁ , ε₂).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y₁,y₂),

     отсутствующих экзогенных – 1 (ε₁).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствует ε₁. Выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение  точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y₁, y₂),

     отсутствующих экзогенных – 1 (ε₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствует ε₁.

Если в число регрессоров второго уравнения включить константу, то ответ не изменится.