7.  Анализ и синтез цифровых АСР при случайных воздействиях

При использовании детерминированных методов расчета АСР в качестве входного воздействия мы использовали ступенчатое возмущение, а настройки регулятора выбирались так, чтобы обеспечить заданный запас устойчивости (степень демфирования) системы, который можно оценить по форме кривой переходного процесса в замкнутой АСР с помощью показателей качества регулирования, например, степени затухания Т (31), характеризующей колебательность переходного процесса.

Поскольку в реальных условиях на АСР действуют случайные возмущения, более правомерным является расчет АСР на реальные, т.е. случайные возмущения, представляющие случайные процессы. При этом в качестве показателя качества функционирования АСР обычно используются дисперсия выходной величины с²_у или отношение

2 / 2

дисперсии выхода к дисперсии входного возмущения с_у с_х ,

характеризующее степень подавления системой случайного возмущения, а

0                                                                           2/2 целью расчета системы является минимизация с_у или отношения с с_х .

Задача анализа цифровых АСР при случайных воздействиях заключается в нахождении с²_у (сЦ&1) при заданных параметрах

настройки регулятора. При решении задачи синтеза требуется определить параметры настройки регулятора, минимизирующие с²_у при ограничениях

на запас устойчивости системы.

7.1.   Основные характеристики случайных процессов [8, 9, 7]

Случайной функцией времени (случайным, стохастическим процессом) х(1) называется функция, в любой момент времени представляющая случайную величину. Дискретным аналогом случайного процесса является временная последовательность (временной ряд)

х_г = х(гТ), г = 0,1,2, к, где Т - по-прежнему период отсчетов сигнала (интервал дискретности, период квантования).

Если случайная величина х(1₀) в произвольный момент времени !₀ (или произвольный член временного ряда х_{ ) имеет нормальное распределение, то статистические свойства случайного процесса (временного ряда) полностью определяют четыре характеристики: математическое ожидание, дисперсия, ковариационная (корреляционная) функция, спектральная плотность мощности. Причем две последние характеристики содержат одну и ту же информацию о случайном процессе во временной и частотной областях, а дисперсию можно получить из корреляционной функции.

Будем считать случайные процессы (временные ряды) стационарными (т.е. процессами, указанные характеристики которых не зависят от астрономического времени) и эргодическими (для которых усреднение одной характеристики по времени дает такие же результаты, как усреднение по множеству характеристик).

Математическое ожидание Математическое ожидание случайного процесса характеризует его истинное среднее значение:

Мх = М {х(1)}

(М - символ операции нахождения математического ожидания) Математическое ожидание временного ряда:

М_х = М {х_г}

Оптимальной оценкой математического ожидания стационарного эргодического временного ряда является среднее арифметическое отсчетов:

₁                              N

х = М_х =—Тх_г,                                                       (208)

N 1=1

N - число членов временного ряда.

Рекуррентная оценка среднего арифметического:

х = х ₁ + — (х — х ₁),                                             (209)

п п—1 1^ п п—1

х_п, х_п—1 - значения среднего арифметического в текущий и предыдущий моменты времени.

Дисперсия

Дисперсия случайного процесса (временного ряда) - это математическое ожидание квадрата отклонения случайного процесса (временного ряда) от его математического ожидания. Другими словами, дисперсия - это средний квадрат отклонения случайного процесса (временного ряда) от его математического ожидания:

О, = °; = М {х(1)—М, ]²},                                              (210)

или для временного ряда

= М — М, ]²}

Оптимальной оценкой дисперсии временного ряда является среднее арифметическое квадратов отклонений измеренных значений от оценки математического ожидания:

^ 1 N                                                       1 N

а² = 3=                У (х — х)² =                      У (х² — х²)                      (211)

^{х х} N — 1 м '                                  N — 1 ы ^г

Рекуррентная формула для оценки дисперсии:

₂                                                                           N — 2 ₂ 1 г _ \2 а =    а . +     (х — X . )

^п N _— 1 ' N

Итак, математическое ожидание характеризует истинное среднее значение случайного процесса (временного ряда), а дисперсия - его случайный разброс относительно математического ожидания.

Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайного процесса, вводят дополнительную характеристику - среднеквадратическое отклонение (СКО) случайного процесса, определяемое как положительное значение корня квадратного из дисперсии:

=Щ, •

Корреляционная (ковариационная) функция

Случайные процессы могут иметь одинаковые математические ожидания и дисперсии и отличаться скоростью изменения. Медленно изменяющиеся процессы называют низкочастотными, быстро изменяющиеся - высокочастотными. Для характеристики скорости изменения случайного процесса (или, что то же, степени связи соседних значений случайного процесса) вводится понятие корреляционной функции случайного процесса. Корреляционная функция К_х (т) есть

математическое ожидание произведения двух значений случайного процесса, сдвинутых относительно друг друга на промежуток времени (сдвиг, лаг) т:

К_х (т) = М {х(1 + т) х(()}                                                              (212)

Данное определение предложено Н. Винером (инженерное определение корреляционной функции).

Если, вместо абсолютных значений случайного процесса в определении корреляционной функции использовать их отклонения от математического ожидания (центрированный случайный процесс), получаем ковариационную функцию С_х (т):

С, (т) = М {[х(< + т) — М, ][х(<) — Мх ]}                                                 (213)

Ковариационная функция связана с корреляционной через квадрат математического ожидания случайного процесса:

Сх (т) = К (т) — М\                                                                        (214)

Для центрированных процессов, математическое ожидание которых равно нулю:

М [х(() — М_х ] = 0, ковариационная функция равна корреляционной.

Сопоставляя (210), (213), (214), получаем

Сх(0) = В_х = К (0) — Мх²,                                                                   (215)

или

К (0) = В + М².

х\ /       х       х

Таким образом, дисперсия есть значение ковариационной функции при т = 0, а начальное значение корреляционной функции равно сумме дисперсии и квадрата математического ожидания.

Корреляционные функции вещественных стационарных процессов являются четными функциями т, т.е.

Я_х (т) = К (—т),

т.к. знак (направление) сдвига т не имеет значения, поэтому их можно строить только при т > 0. Кроме того, корреляционная функция стационарного процесса является функцией, убывающей от В _х + М² до МX и имеющей при этом монотонный или колебательный характер. Физически это означает, что степень связи между двумя сечениями случайного процесса с ростом т падает и при определенном значении т эти сечения не зависят друг от друга (не связаны или не коррелированны между собой). Если же корреляционная функция не стремится к установившемуся значению, это признак нестационарности процесса. Корреляционная функция периодического (осциллирующего) процесса также имеет осциллирующий характер. Чем медленнее убывает корреляционная функция, тем сильнее связь между соседними значениями случайного процесса. Предельные случаи (рис.75): корреляционная функция постоянной величины (линия 1) - прямая линия параллельная оси абсцисс (т.е. степень связи между двумя значениями, отстоящими на любой промежуток времени, постоянна), и корреляционная функция белого шума (линия 4).

Белым шумом называется процесс, текущее значение которого не зависит от предыдущих, т.е. значения белого шума не коррелированны между собой. Дисперсия непрерывного белого шума бесконечна. Белый шум есть математическая абстракция, к которой процессы, происходящие

Линиям 2 и 3 на рис. 75 соответствуют корреляционные функции низкочастотного и высокочастотного процессов.

Корреляционная функция временного ряда определяется следующим образом:

К. (кТ) = М [х_н1 ■ х,] где к - число периодов квантования во временном сдвиге (лаге) т:

т= кТ .

Экспериментальная оценка корреляционной функции находится по выражению:

1         N—к—1

Я^(к) = Т ^х,+к ■ х ^{,                                                                                       (216)}

N — к г=0

где N - число членов временного ряда.

С ростом лага к точность вычисления оценки (216) падает, т.к. уменьшается число членов ряда, по которому считается оценка. При к=0

оценка Я (0) считается как среднее арифметическое N отсчетов, а при к=^2 среднее арифметическое считается всего по двум точкам, т.е. весьма неточно. Поэтому для того, чтобы оценка корреляционной функции была достаточно точной, должно выполнятся условие к_тах << N, например,

к_тах=(0.01-0.05)К

Спектральная плотность мощности Корреляционная функция характеризует случайный процесс во временной области. Спектральная плотность мощности (спектр мощности) описывает поведение случайного процесса в частотной области.

Спектральная плотность мощности 8_х (а) есть предел отношения

мощности АЫ случайного процесса на выходе узкополосного фильтра с полосой Аа к величине этой полосы при Аа ^ 0 :

8_х (а) = Нт

^Аа^° А а

Таким образом, физический смысл спектра мощности - это скорость изменения (плотность распределения) мощности сигнала по частоте.

Спектр мощности есть неотрицательная функция частоты: 8 (а) > 0.

Чем более низкочастотным является случайный сигнал, тем быстрее затухает его спектральная плотность. На рис. 76 кривая спектральной плотности 2 соответствует более низкочастотному сигналу, чем кривая 3.

Спектральная плотность белого шума - прямая параллельная оси абсцисс (линия 4), т.е. мощность белого шума распределяется равномерно по всему частотному диапазону. Спектральная плотность мощности постоянной величины (линия 1) есть импульс в начале координат, т.к. вся мощность этого сигнала сосредоточена на нулевой частоте.

Наиболее часто для определения спектральной плотности мощности используются два описываемых ниже способа.

Коррелограммный способ (Преобразование Фурье корреляционной функции)

В англоязычной литературе корреляционная функция называется коррелограммной, что и объясняет название способа.

Спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны парой прямого и обратного преобразования Фурье:

ад

€ (ю) = I К (т)е---ат

ад ад

К = — Iя (ю)е^]ютСю

2п —ад

Экспериментальная оценка спектра мощности рассчитывается на интервале конечной длительности 1_р, поэтому бесконечные пределы

интегрирования в формулах следует заменить конечными:

*р/²

€(ю) =| К(т)е~^ю’Ст                 (217)

^—р/²

С учетом формулы Эйлера:

е ^1ЮТ = 008 ЮТ — ] 81П ют

получаем для (217):

{р/2 {р/2 §_х(ю) = | К_х(т)со8ютСт — } | М_х(т)81псотс1т.              (218)

^—?р/2                                           -Тр/2

Второй интеграл в правой части (218) равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, следовательно,

$_х(ю) = | К(т)С08ЮтСт,

^—р/²

или для вещественных данных

!у_х(ю) = 2 | М_х(т)со8ютСт.

о

При вычислении оценки спектральной плотности мощности на ЦВМ дискретным аналогом формулы (217) является выражение

$(ю) =± »(С) $Ме -’~^т,

г=—Ь

где Ь - максимальный лаг при вычислении оценки корреляционной функции;

^(1) - корреляционное окно - специальная функция, с помощью которой осуществляется «взвешивание» ординат корреляционной функции с целью улучшения оценки спектральной плотности мощности. В частном случае при ^(1) = 1 имеем прямоугольное корреляционное окно.

Считая, что о = кАю, к = 0, N — 1 (к - номер ординаты оценки спектра мощности, N - количество отсчетов временного ряда), окончательно получаем следующую формулу для вычисления оценки спектральной плотности мощности:

1                                          _— -2Л-к _______

§_х(кАю) = УН 0€( ,к = 0,N — 1                                                                   (219)

г =— Ь

Определение спектральной плотности мощности преобразованием Фурье параметрической модели временного ряда Многие встречающиеся на практике временные ряды удовлетворительно описываются следующим конечно-разностным уравнением, называемым моделью авторегрессии - скользящего среднего (АРСС):

х + ах , + к + ах = Ъ₀и + Ъи , +... + Ъи ,

п        1 п—1                   р п— р   0 п         1 п—1                  д п—д “

Р               Ч

или х = —У а х . + У Ъи, .              (220)

п              г п—г^^ г к—г                                                  V /

' п—г      г' к

г=1        г=0

Первая сумма в правой части (220) называется авторегрессионной частью модели АРСС и характеризует зависимость временного ряда в текущий момент х_п от прошлых значений временного ряда х_п-1, взвешенных с коэффициентами а_г. р - порядок авторегрессии (АР).

Вторая сумма в правой части (220) соответствует модели скользящего среднего.

и_п - белый шум, возбуждающий модель АРСС, с нулевым математическим ожиданием и дисперсией <с_и².

д - порядок модели скользящего среднего (СС).

Модель скользящего среднего представляет взвешенную с коэффициентами Ъ_г сумму текущего и_п и прошлых и_п-1 значений шума (коэффициент Ъ₀ без потери общности можно считать равным единице).

Модель (220) можно представить как выход некоторого динамического звена (формирующего фильтра), на входе которого действует белый шум.

Взяв ^-преобразование модели АРСС (220), можем найти дискретную передаточную функцию формирующего фильтра:

₍₂)== ад,

и(2) Л(г)

где

В(2) = 1 + У Ъг2~’

г=1

Р      ’

А( 2) = 1+ У а2^г

г =1

полиномы от 2 порядков д ир соответственно.

Частными случаями модели АРСС являются модели авторегрессии (# = 0) и скользящего среднего (р = 0).

Учитывая, что, как известно из теории управления, спектры мощности выходного и входного сигналов динамического звена связаны через квадрат его АЧХ, а также, что спектр мощности дискретного белого шума на входе формирующего фильтра равен

8 (о) = с²Т,

и V /            и ⁵

получаем для спектральной плотности мощности временного ряда, описываемого моделью АРСС (220), следующее выражение:

где А(ую), В(ую) - изображения Фурье полиномов А( 2), В( 2).

7.2.   Определение дисперсии выходной величины в цифровой АСР [10,11]

Считаем, что возмущающее воздействие в цифровой системе представляет случайную временную последовательность, описываемую моделью АРСС (220). Спектральная плотность мощности этого воздействия определяется соотношением (221).

Для удобства дальнейших выводов перейдем из частотной плоскости в плоскость 2. Аналогом соотношения (221) в плоскости 2 является выражение:

€ (2) = ег²Т ^В(2) •^В(2 ₁⁾                                                                        (222)

х^{ч/ м}Л/ \ Л/ — 1 \                                                                                ^{У 7}

^А(2) •^{А(2 )}

(Напомним, что такой переход осуществляется с помощью подстановки

2  = е^1юТ).

Например, для модели авторегрессии первого порядка АР1 (р = 1,

4 = 0):

х = —а. х . + и ,

п            1 п—1     п ⁵

имеем:

В( ую) = 1; А( ую) = 1 + а_хе “^ю,

А(2) = 1 + а₁2^_1, А(2^_1) = 1 + а₁2.

Тогда согласно (221) и (222)

гг²Т

⁸‘(ю) = , + ₂ ^ _т + 3 ’                                                                                      <²²³)

1 + 2а₁ С08 ют + а₁

8, (2) = ^СТ

1+ 2а₁(2 + 2 ) + а₁

Как отмечалось, спектральные плотности выходной и входной случайных последовательностей динамической системы связаны через квадрат её АЧХ. Переходя в плоскость 2 выражение для спектра мощности выхода системы, можно записать следующим образом:

8, (2) = К (2 )|² 8, (2) = К (2 )К (2-)8, (2),                                                                (224)

где 8, (2), 8, (2) - спектральные плотности временных рядов на выходе и

входе системы,

К _{с с} (2) - дискретная передаточная функция замкнутой системы.

В разделе 7.1. также отмечалось, что корреляционная функция и спектр мощности связаны парой преобразований Фурье (или при переходе в выражении (222) в плоскость 2 - парой ^-преобразования). Поэтому корреляционная функция выходной величины цифровой системы может быть найдена с помощью обратного ^-преобразования спектральной плотности выходной величины, которое определяется следующим образом:

К,(к) = _П I8, (2)2‘^-1А

^ПИ-'

или с учетом (224)

к, (к) = |К (2 )|² 8, (2)2‘-У2,                                                                (225)

N=

где | - круговой интеграл по контуру 2 = 1, т.е. интеграл, в котором

интегрирование осуществляется по замкнутому контуру, т.к. при изменении частоты от 0 до 2п/Т конец вектора 2 = е^1оТ описывает в

плоскости 2 окружность с единичным радиусом.

Согласно (215) дисперсия выходной величины равна

с² = К (0) - М²

,            , ^ У              V

или с учетом (225) окончательно получаем:

(Ниже для простоты считаем М = 0).

Для нахождения интеграла (226) можно использовать два способа: численное интегрирование и использование итерационной процедуры.

Численное вычисление интеграла (226) в частотной области Для перехода в частотную область опять воспользуемся подстановкой 2 = е^1юТ.

Тогда учитывая, что

и

2  ¹й2 = ]Тйю ,

а также то, что в силу периодичности подинтегральной функции интеграл в пределах периода 0 ^ 2п/Т равен удвоенному интегралу в пределах

полупериода 0 ^ п/Т, получаем:

(227)

В частности, при численном интегрировании методом прямоугольников, обозначая

ю = /Аю; п/Т = ИАю,

откуда Аю = п/ИТ (Аю - шаг квантования по частоте, N - число интервалов дискретности), сводим интеграл (227) к сумме:

В качестве примера запишем выражение (228) для системы второго порядка, на входе которой действует случайная последовательность, описываемая моделью АР1.

При ю = гАо, Ао = п/ ^, юТ = гя/N, поэтому модель (223) принимает форму

о1Т

8_Х (гАо) =

1 + 2а₁ соз(г ж/ N) + а\

Пусть

а₂ 2² + а₁2+а₀

С ⁽²⁾ = С,² + Со^,

э( 2) = а₂ 2² + а₁2+а₀.

Тогда

|о(2)|^! = 0(2) Э( 2-■) = (а0+а;+а;)+(а0 а_+ад )(2+2-■)+а_а а ,(2² + 2~'-)

Переходя в последнем выражении с помощью подстановки

2^к + 2~^к = 2соз(коТ) = 2со§(кгп/ N) в частотную область, получаем

\о( угАо)² = (а² + а² + а ₂²) + 2(а₀ а₁ + а₁а₂)со§(гп/ N) + 2а₀ а₂ со§(2гп/ N).

(230)

Действуя аналогично, находим

|С (7'гАо)|² = (с₀² + с₁²) + 2с₀с₁ со§(гп/N)                                                              (231)

и

|Р( 7гАо)|²

|С (угАо)|

В общем случае для полинома р-го порядка

Д²⁾ = 1^^а_к²

к=0

квадрат его модуля можно определить по выражению:

Р^{— 2}

\и⁽ ]1^Аю)\ =Ё + ²⁽Ё ^йЛ+1^{) со}^'^п/ ^И) + ²⁽Ё ^йк^йк+2⁾ С08⁽²г^п/ ^И) +

к=0 к=0 к=0

р              р         р^—к

+ 2й₀й_р ео8(рп/N) = Ё й2 + 2Ё со8(к'п/N)Ё йй

8+к

к=0

Подставляя, (230) и (231) в (232), а (229) и (232) в (228), получаем искомое выражение для дисперсии выходной величины <г².

Вычисление интеграла (226) с использованием итеративной процедуры Определение дисперсии о² по выражению (226) сводится к

решению интеграла вида:

В( 2 ) В( 2-¹) 2ц'2=1 А( 2) А( 2-¹)

где полиномы А( 2) и В( 2) имеют вид

А( 2) = а₀ 2^п + а₁2^{п 1} + к + а В( 2) = Ъ₀ 2^п + Ъ₁2^п— + к + Ъ₀

Обозначим

А*( 2) = 2^ПА( 2-¹),

^Ак ⁽²⁾ = ^а0 ² + ^а1 ² + к + ^а_к

В_к (2) = Ъ02+ъу^—1+к+Ъ\

^Ап⁽²⁾ = ^{А( 2)}; ^Вп⁽²⁾ = ^{В( 2)}

Полиномы А_к (2), В_к (2) определяются с помощью рекуррентных соотношений:

^А_к—1⁽²⁾ =^{2 —1 [}А^(2)—а ^А*^(2)]

^Вк—1 ⁽²⁾ = ^{24 [ (2) —} Рк^АI ⁽²⁾1 ^к = ^{1, п,}

где

_а^к Ъ^к _а = г*_ • в =-^к-

⁰¹к к ’ Ук

а

Из выражений (234)^(236) следует, что коэффициенты многочленов А_к (2), В_к (2) задаются следующими рекуррентными формулами:

к—1 к к а. = а— а, а,

г          г        к к—

Ъ^к— = Ъ^к — В, а^к , г = 0,к — 1

г          г г к к—г ’            ’

с начальными условиями

а^п = а ; Ъ^п = Ъ

г        г ⁵ г          г

Уравнения (237) имеют смысл, если а₀ ф 0. Коэффициент а₀^п всегда

можно выбрать ненулевым.

Интеграл (233) можно вычислить по рекуррентным формулам, используя последовательность интегралов:

1          

гВ_к (2)В_к (2-') ,

■2 а2, к = 0, п

Пи ^Ак^{(2) А}к⁽о

I       = I

п

Рекуррентная формула для определения 1_к имеет вид

¹к = Р1 + ¹к—1^(1—аК^),

10 =в².

Используя формулы 237, можно получить следующее выражение для интеграла (238):

г \ 2

I = -1 т (ъ/ )

к к Аа

а₍₎ г=0 а₍0

Для удобства вычислений по формуле (239) можно использовать таблицу 8.

Таблица 8

Каждая четная строка коэффициентов а^к получается путем записи коэффициентов предыдущей строки (отмечены знаком *) в обратном порядке. Четные строки коэффициентов а^к и Ъ^к совпадают. Элементы

нечетных строк коэффициентов а^к и Ъ^к вычисляются с помощью соотношений (237)

7.3.   Синтез регулятора с минимальной дисперсией [5]

Целью расчета регуляторов с минимальной дисперсией (МД - регуляторов) является минимизация дисперсии выходной величины

цифровой системы или равного ей с точностью до М_у математического

ожидания квадрата выходной величины:

тт^у = тт М { у²_к}

Поскольку решение этой задачи имеет смысл только при ограничениях на управления (иначе, увеличивая управляющее воздействие, дисперсию выходной величины можно сделать сколь угодно малой) в критерий управления I следует ввести ещё одно слагаемое - средний квадрат управления с весовым коэффициентом г :

¹                                                                                                                                                                             = ^М{у²_к+1 + гх²_к ^}^ ^тт          (240)

В критерии (240) используется последующее значение выхода у_к+1 (а не текущее ^ук ), т. к. текущее значение управления ^хк определяет в силу

запаздывания в объекте управления последующее значение выхода У_к+₁.

Рассмотрим в качестве примера структурную схему цифровой АСР со случайным воздействием Р, приведенным к выходу приведенной непрерывной части (рис. 77)

Пусть для простоты передаточная функция приведенной непрерывной части имеет первый порядок:

Ъ ₂^—

Ж (₂) =---------- ⁰------- =

^ГГПНЧ\^)                      —1

а₁ + а₀ 2 ^{В( 2 )} = ^Ъ0 ²

А( 2) = а₁ + а₀ 2 ¹, а случайное воздействие описывается моделью АР1:

Р = _—сР + и ¹ к к—1 ^ ^ик •

Передаточная функция формирующего фильтра для этой модели:

Ж_ф (2) = =------------ Ц- = —

и (2) 1 + С2 С ( 2)’

С (2) = 1 + С2~¹.

Передаточную функцию МД-регулятора будем также искать в виде дробно-рациональной функции от 2 :

Ж. (2) = Щ.

е⁽2⁾

или, считая ^уз_ад = ⁰ и ^ек = ^у_зад ^{— у}к = ^—ук ,

^Ж,..⁽²⁾ ^                                                                       (241)

Для нахождения выражения для выходной величины у_к+₁, входящей в критерий (240), запишем её 2 - изображение:

²У ^{( 2)} = ^Жпнч ^{( 2) 2х( 2)} + ^Жф ^{( 2 ) 2и ( 2 )} =

В(2) , _л 1 / \

= КГ)^2х(2) + ОД^{2и(2)                                                                                 (242)}

Подставляя в (242) выражения для полиномов А(2), В(2), С(2),

приводя результаты к общему знаменателю и совершая обратное 2 - преобразование, получаем:

^а1 ук+1 + ⁽0 + ^а1^С К + ^а0 ^Сук—1 = ^Ъ0 ^хк + ^Ъ0 ^схк—1 + ^а1^ик+1 + ^а0 ^ик (243)

(244)

В текущий момент времени к известны текущее и _к и прошлые

значения возбуждающего шума и _к-1. Неизвестно будущее значение и _к+1. Известные значения шума являются неслучайными и их математическое ожидание равно их значениям, т. е.

^{М [и}к-I ^] = ^ик- ^{, 1} ^ ⁰,

т.к. математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. В то же время математическое ожидание последующего значения шума М[и_к+₁ ] равно нулю, поскольку возбуждающий шум по

предположению имеет нулевое математическое ожидание.

Если а - константа, а х - случайная величина с нулевым математическим ожиданием, имеет место очевидное соотношение:

М [(а + х )² ] = а² + М [ х² ]

Поэтому после нахождения математического ожидания выражения в фигурных скобках (244) получаем:

+ ^М[ик+1 ^] + ^Гхк ^ ^т^^П Оптимальное значение управления х_к определяем из необходимого условия экстремума критерия оптимальности: