4.  Расчет настроек цифровых регуляторов 

Системы с цифровым вычислительным устройством в контуре называют системами непосредственного или прямого цифрового управления (НЦУ).

Достоинства систем НЦУ по сравнению с аналоговыми системами:

1. Гибкость - простота перенастройки изменением программного обеспечения,

1. Возможность реализации практически любой структуры АСР и самых различных законов регулирования,
2. Возможность построения многоканальных систем (систем обегающего типа) - один регулятор поочередно подключается к нескольким каналам регулирования,
3. Возможность реализации помимо функции регулирования других функций информационной подсистемы АСУТП (первичная обработка сигналов, косвенная оценка неизмеряемых параметров и т.п.),
4. Возможность управления чрезвычайно инерционными объектами.

Цифровой регулятор характеризуется двумя особенностями,

обусловленными принципом работы цифровых устройств: квантованием сигнала по уровню и времени.

Квантование сигналов по уровню в цифровых устройствах происходит вследствие преобразования аналогового сигнала в цифровой код с помощью АЦП. При этом непрерывный сигнал заменяется ступенчатым, который может принимать конечное число фиксированных по уровню значений (уровней квантования) (рис. 57)

При этом число уровней квантования и величина шага квантования А зависят от количества разрядов АЦП и диапазона изменения преобразуемого сигнала. Абсолютная ошибка при квантовании по уровню равна шагу квантования, определяемому соотношением:

и - и .

А_ тах тт

п—1

2

где (Цщ_ах — Циш) - диапазон преобразуемого напряжения, п - количество двоичных разрядов АЦП.

Относительная ошибка равна:

А1

8_

п—1

Например, при п=11, 2¹⁰ _ 1024, 1/2^п1 * 0.001, 8_ 0.1%. Итак, при п > 11 ошибка квантования по уровню достаточно мала и ею можно
пренебречь. Поэтому в дальнейшем эффектом квантования по уровню пренебрегаем.

Квантование непрерывного сигнала по времени происходит вследствие периодического опроса датчиков сигналов. При этом непрерывный сигнал преобразуется в последовательность импульсов. Такое преобразование называется импульсной модуляцией, а реализующее его устройство - импульсным модулятором (элементом). В дальнейшем будем рассматривать системы НЦУ с идеальным амплитудно-импульсным модулятором, преобразующим непрерывный сигнал в последовательность равноотстоящих, бесконечно малых по длительности (мгновенных) импульсов с амплитудой равной амплитуде входного непрерывного сигнала (рис. 58). (Т - период повторения импульсов, период опроса датчиков, интервал дискретности, период квантования по времени). Такое допущение справедливо, если время аналого-цифрового преобразования достаточно мало по сравнению с периодом опроса.

Системы, в которых имеет место только квантование сигналов по времени, называются импульсными системами. Поскольку мы пренебрегаем эффектом квантования по уровню, можно считать, что
расчет системы НЦУ сводится к расчету импульсной системы регулирования и в этом смысле отождествлять цифровые и импульсные системы.

6.1.     Динамические характеристики цифровых систем регулирования

Конечно-разностное уравнение

Непрерывные системы, в которых сигналы являются непрерывными

функциями времени /(I), описываются обыкновенными

дифференциальными уравнениями. Поскольку цифровой регулятор реагирует только на значения сигнала в дискретные моменты времени

{ = пТ, п = 0,1,2,...,

а промежуточные значения входного сигнала для него безразличны, при описании цифровых систем вводится понятие решетчатой функции ДпТ\, которая в дискретные моменты времени пТ равна исходной непрерывной функции/(I), а в остальные моменты времени равна нулю:

Для выявления характера поведения непрерывной функции внутри периода квантования вводят понятие смещенной решетчатой функции:

/[пТ ± А (\ _ /[(п ±е)Т\,

где АI _ еТ - абсолютное смещение ординат решетчатой функции,

¹   < е _ А(/Т < 1 - относительное смещение ординат.

Изменяя е от -1 до +1, можем получить значение исходной непрерывной функции, соответствующее любому моменту времени внутри предыдущего и последующего периодов квантования.

В качестве характеристики скорости изменения решетчатой функции при фиксированном Т принимают первую конечную разность,
определяемую как разность между соседними ординатами решетчатой функции. Различают опережающую (правую) конечную разность (разность между последующей и текущей ординатами решетчатой функции):

л⁺ /[пТ] = /[(п + 1)Т ] - /[пТ]                                               (135)

и отстающую (левую) конечную разность (разность между текущей и предыдущей ординатами):

Л^-/[пТ] = /[пТ ] - /[(п - 1)Т ].             (136)

Итак, первая конечная разность есть дискретный аналог первой производной непрерывной функции. Аналогом второй производной является конечная разность второго порядка, определяемая как разность конечных разностей первого порядка в соседних ординатах решетчатой функции.

Опережающая конечная разность второго порядка:

Л+²/ [пТ ] = Л+ / [(п + 1)Т ] - Л+ / [пТ ] ,

или с учетом (135):

Л+²/[пТ] = /[(п + 2)Т] - 2/[(п + 1)Т] + /[пТ].

Таким образом, конечную разность второго порядка можно представить в виде линейной комбинации трех ординат решетчатой функции, отстоящих на два интервала дискретности. Аналогично, конечную разность к-го порядка можно представить в виде комбинации (к+1)-й ординат решетчатой функции, отстоящих на к интервалов дискретности.

Аналогом дифференциальных уравнений, описывающих непрерывные системы, являются конечно-разностные уравнения, описывающие динамику дискретных систем. Конечно-разностное уравнение можно записать в виде линейной комбинации конечных разностей входа и выхода, однако принято записывать конечно-разностное уравнение в виде линейной комбинации смещенных ординат решетчатой функции. При этом в зависимости от того, используются опережающие или запаздывающие конечные разности, конечно-разностное уравнение можно записать в двух формах: через опережающие или запаздывающие ординаты.

Конечно-разностное уравнение к-того порядка при использовании опережающих конечных разностей имеет вид:

^а(У[(п + к )Т \ + ак—1 у[(п + к — 1)Т \ + ... + о, у[пТ \ _

_ Ъ_е х[(п + 1)Т \ + Ь_1—1 х[(п +1 — 1)Т \ +... + Ъ₀ х[пТ \ ^{,                           (137)}

где к - порядок левой части и всего уравнения в целом,

I    - порядок правой части.

Для инерционных звеньев (систем) I < к.

Для упрощения записи обозначим

у^[(п + ^к)Т\ _ у_п+к,

тогда (137) принимает вид:

^акУп+к + ^ак—1 Уп+к—1 + ••• + ^а0Уп _ ^Ъ1 ^Хп+1 + ••• + ^Ъ0 ^Хп

(138).

При использовании отстающих конечных разностей конечно­разностное уравнение принимает вид (в этом выражении обозначено к — I _ г):

^акУп + ^ак—1 Уп—1 + ••• + ^а0Уп—к _ ^ЪI^Хп—г + ••• + ^Ъ0^Хп—к      (139).

Дискретная передаточная функция Для получения дискретной передаточной функции используется дискретное преобразование Лапласа (преобразование Лапласа решетчатой функции), определяемое следующим образом:

у\р) _ X Уе ~^—Тр; Уг _ у^[т\                                             (140)

I _0

(символ * является признаком характеристик дискретных систем).

Выражение (140) определяет прямое дискретное преобразование Лапласа. Для экономии записи вводят обозначение

е^рТ = 2 ,                         (141)

при этом получается так называемое 2 - преобразование:

го

^2{У^[пТ]} = У⁽²⁾ = XУ*^2- .                                        (142)

I=0

Подставляя в (142) вместо У₁ У₁+%, получаем 2 - преобразование

смещённой решетчатой функции.

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа решетчатая функция называется оригиналом, а её 2 - преобразование - изображением. Изображения элементарных решетчатых функций табулированы.

Дискретное преобразование Лапласа сохраняет основные свойства непрерывного и, в частности, изображение смещенной решетчатой функции (теорема сдвига): смещению оригинала на± к интервалов дискретности соответствует умножение изображения на 2 *^к:

²                                                                                                                                                                                              {у^[п ± ^к)^Т] }= ²±^кУ⁽²⁾ (143)

(Напомним, что смещению непрерывной функции на ±т соответствует умножение ее изображения на е ±^рт. При т = кТ с учетом (141) е ± ^рт= 2 ±^к).

Применяя (143) к опережающей (135) и отстающей (136) конечным разностям первого порядка, имеем

2 {Л+ / [ пТ ]}= (2 -1) / (2),

2{/[пТ]}= (1 - 2-¹)/(2) = ^/(2)

2

1   - изображение опережающей конечной разности к-го порядка:

1                                                                                                                                                                                               |л⁺‘/[пТ ]}= (2 -1)^к/ (2). (144)

2          - изображение конечной суммы, являющейся дискретным аналогом интеграла непрерывной функции:

2{х0 Л‘Т\}_ ^/(г)                     (145)

Как видно из последних выражений, сомножитель (г-1) есть символ взятия конечной разности - дискретного аналога производной, а обратная величина - символ взятия конечной суммы - дискретного аналога интеграла.

Применив (143) к конечно-разностному уравнению (137), получаем его 2-изображение:

^(ак^гк + ^ак—1^^—1 + ••• + ^а0⁾У^(г) _ ^(ЪI^{г 1} + ^Ъ1—1^г^ + ••• + ^Ъ0^)Х(г)

Дискретная передаточная функция так же, как и непрерывная, определяется как отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:

₎ у (г) (Ъ г¹ + Ъ_1—1 г ^1—1 +... + Ъ₀)

^№(г) _^Т_^1          ^                        (146)

^{Х(г) (а}к^г + ^ак-1^г + ••• + ^а0⁾

Передаточная функция для уравнения (139) с запаздывающими конечными разностями имеет вид:

_Л у( г) (Ъг + Ъ—1 г^г—1 +... + Ъ г ^_к )

^Ш(г⁾ _ ХТ) ,         -1        (147)

^{Х( г) (а}к + ^ак—1^г + ••• + ^а0^{г )}

(Здесь по-прежнему г _ к — I).

Таким образом, для получения передаточной функции (147) передаточную функцию (146) необходимо разделить на г^к.

Для смещенной на выходе динамического звена решетчатой функции можно получить передаточную функцию Ш(2,^), используя 2- преобразование смещенной решетчатой функции.

В статике р = 0, 2 = е^рТ = 1, следовательно, статический

*

коэффициент передачи дискретной системы К связан с дискретной передаточной функцией соотношением:

(Ъ_р + Ъ_{р 1} +... + Ъ₀) *

Ш (1) =                        ^1-1                     Ц- = К                                                             (148)

^(ак + ^ак-1 + ••• + ^а0⁾

В отличие от непрерывных передаточных функций 2-изображения решетчатых функций и дискретные передаточные функции обладают важным свойством, а именно свойством периодичности вдоль мнимой оси в плоскости р, т. е.

_Т( + ■ 2П₎ рТ рТ+]2жк               ^(р ^ т

е^р = е = е ^Т ,

т. к.

е)^2жк = 1

Обозначим (О_к = 2п/Т . а>_к - круговая частота, соответствующая

периоду квантования Т (частота квантования). Таким образом, 2- изображения решетчатых функций и дискретные передаточные функции периодичны вдоль мнимой оси плоскости р с периодом равным частоте квантования со_к.

Временные характеристики

Переходной характеристикой цифровой системы регулирования называется реакция на единичную ступенчатую решетчатую функцию, определяемую следующим образом:

Г1 при пТ > 0 1[пТ ] = \ *

[0 при пТ < 0

2-изображение единичной ступенчатой функции:

₂

2{1[пТ]} = —- .                                                                          (149)

2-1

Дискретная весовая функция ж[пТ] определяется так же, как и непрерывная - реакция на мгновенный импульс единичной площади.

Частотные характеристики дискретных систем

Так же, как и в случае непрерывных систем, частотные

характеристики находятся заменой р на ]а>, или с учетом (141) 2 на е^шТ. Выражение У (/&>), получаемое при замене 2=е^шТ в 2-изображении 7(2) решетчатой функции называется спектром Фурье или изображением по Фурье решетчатой функции. Отношение спектров Фурье выходного и входного сигналов называется частотной передаточной функцией (комплексной частотной характеристикой) дискретной системы:

иг*г ■ \ У*( 1®)

^{Ш (}1^ю) = V*,- \ .

^{х (}У®⁾

АФХ, АЧХ и ФЧХ дискретных систем определяются так же, как и для непрерывных. Годограф частотной передаточной функции называется АФХ цифровой системы. Зависимости модуля и фазы частотной передаточной функции от частоты определяют соответственно АЧХ и ФЧХ цифровой системы.

Спектры решетчатых функций и частотные характеристики цифровых систем так же, как 2-изображения решетчатых функций и передаточных функций дискретных систем, обладают свойством периодичности по частоте, поскольку функция

_{Т (} + 2як₎

е^^юТ = е^]юТ+1^2пк = е ^Ю т

периодична с периодом с_к _ 2л/Т .

Кроме периодичности, частотные характеристики дискретных

систем обладают еще одним свойством: они симметричны в диапазонах частот 0 + ю_к/2 и <с_к/2 ^с_к. Другими словами, интервал со_к/2 ^с_к не содержит новой информации о частотных характеристиках по сравнению с интервалом 0 + ю_к/2. При этом на концах этого интервала частотная передаточная функция принимает вещественные значения, поскольку при с=0 е^!сТ=1 и при с=с_к/2 е^сТ=-1.

Таким образом, частотные характеристики цифровых систем можно изображать в частотном диапазоне от 0 до с/2 (или от 0 до с_к), причем на концах этих интервалов АФХ принимает вещественные значения.

Итак, в то время как частотные характеристики непрерывных систем изображаются на интервале 0 х , частотные характеристики цифровых систем достаточно изображать на интервале 0 + ю_к/2 .

В силу периодичности частотных характеристик спектр решетчатой функции с точностью до 1/Т представляет бесконечную сумму спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых на кс_к (к - любое целое число):

*                               1 ^ 1

^{7 (}]^с) _ Т X ^7[з^(с+^кск ⁾\ _ Т^{7(с^с+^7[]^(с—ск ⁾\+ ^Т к_—х      ^Т + ^{7 [} 1^(с + ^ск ⁾\ + ^{7 [} 1^{(с — 2с}к ⁾\ + ^{7 [} 1^(с + ^2ск ⁾\ + •••}•

Поэтому спектры непрерывной и решетчатой функций (а, следовательно, и частотные характеристики непрерывной и дискретной систем) совпадают только в области малых частот (рис. 59)

Теорема Котельникова (Найквиста)

Позволяет ответить на вопрос: каким должен быть период квантования для того, чтобы по дискретному сигналу можно было точно, без потерь, восстановить исходный непрерывный сигнал.

Поскольку спектр дискретного сигнала есть сумма спектров непрерывного сигнала, сдвинутых на ± кю_к, к=0, 1, 2, ... , то восстановить непрерывный сигнал можно только в том случае, если отдельные составляющие спектра дискретного сигнала не накладываются друг на друга (рис. 60). Это условие можно записать в виде:

² >®с^,                                                                         (150)

где ®_к = 2п/Т - частота квантования,

а>_с - частота среза спектра непрерывного сигнала - частота максимальной гармоники, входящей в спектр непрерывного сигнала (Практически ®_с - это частота, при которой модуль спектра \У(]а)\ становится достаточно малым:

У () = 5У (] 0),

5 - малое число.)

При выполнении условия (150), пропустив дискретный сигнал через фильтр с полосой -®_к/2*®_к/2 можно выделить неискаженный спектр непрерывного сигнала, т.е. восстановить его без искажений. При невыполнении этого условия отдельные составляющие спектра накладываются друг на друга, и выделить спектр непрерывного сигнала не удается.

Таким образом, непрерывный сигнал, имеющий ограниченный спектр с частотой среза ®_с, может быть точно восстановлен по дискретному сигналу, если частота квантования ®_к хотя бы в два раза выше частоты среза ®_с (или, что то же, если период квантования Т хотя бы в два раза меньше периода самой высокочастотной составляющей спектра Тс:

Т<Т_с/2.

На практике рекомендуется, чтобы период квантования был в (5 ^ 20) раз меньше периода высокочастотной составляющей спектра:

Т = (0.2 * 0.05)Т_с.                                               (151)

Итак, из теоремы Котельникова следует, что мы можем точно восстановить непрерывный сигнал по дискретному, если на одном периоде самой высокочастотной составляющей сигнала укладывается не менее двух ( а лучше 5 * 20) ординат дискретного сигнала. Если же период квантования не удовлетворяет условию (151), восстанавливая непрерывный сигнал по дискретному, мы не сможем различить высокочастотные составляющие этого сигнала.

Теорема Котельникова позволяет правильно выбрать период квантования при проектировании цифровых систем регулирования.

6.2.    Структурная схема цифровой системы регулирования (рис. 61)

На рис. 61 обозначено:

К_об(р) - передаточная функция объекта регулирования. Объекты регулирования, как правило, являются непрерывными звеньями, на входе и выходе которых действуют непрерывные во времени сигналы,

-б'^чо-

-  идеальный амплитудно-импульсный модулятор (импульсный элемент),

Ж_рег(г) - передаточная функция дискретного регулятора,

^ф(р) - передаточная функция фиксирующего элемента (экстраполятора), служащего для преобразования выходной последовательности импульсов регулятора в непрерывный сигнал на входе объекта. Чаще всего используются простейшие экстраполяторы, запоминающие мгновенные значения выходного сигнала дискретного регулятора на весь период квантования, в результате чего последовательность импульсов преобразуется в непрерывную ступенчатую функцию. Такие экстраполяторы называются экстраполяторами нулевого порядка (ступенчатыми экстраполяторами).

Реакция экстраполятора нулевого порядка на мгновенный импульс представляет прямоугольный импульс длительностью Т (рис. 62) и по определению является весовой функцией фиксатора, которую можно представить в виде двух смещенных ступенчатых функций:

Мф(()=Щ - 1[( - Т]                                                                   (152)

Из теории управления известно, что передаточная функция звена есть преобразование Лапласа его весовой функции, следовательно, передаточную функцию фиксатора можно найти, определив преобразование Лапласа весовой функции (152):

¹               1 _Т

Кф (Р) = Ь[«ф (()} =                             е -^-Р                                    (153)

Р Р

В исходной структурной схеме цифровой системы на рис. 61 действуют как непрерывные (на входе и выходе объекта регулирования), так и дискретные (на входе и выходе регулятора) сигналы. Т.е. исходная схема является дискретно-непрерывной. Это создает неудобства при ее анализе. Поэтому исходную структурную схему преобразуют к эквивалентной непрерывной или эквивалентной дискретной. Поскольку преобразование дискретно-непрерывной системы к эквивалентной непрерывной возможно только при малых значениях периода квантования, рассмотрим преобразование дискретно-непрерывной системы к эквивалентной дискретной. С этой целью вводится понятие приведенной непрерывной части (ПНЧ), к которой относят объект регулирования и экстраполятор:

№пнч(р)=Щ(р)Кб(р)                                             (154)

Введение ПНЧ позволяет перейти от непрерывного сигнала на входе объекта регулирования к дискретному сигналу на входе ПНЧ. Считая условно выходной сигнал ПНЧ или, что то же, объекта регулирования также дискретным, можем преобразовать исходную структурную схему цифровой системы к виду (рис. 63)

В этой структурной схеме действуют только дискретные сигналы. Таким образом, структурная схема цифровой АСР отличается от структурной схемы непрерывной АСР тем, что вместо непрерывных передаточных функций используются дискретные передаточные функции и вместо объекта регулирования используется ПНЧ.

Если нас интересует поведение регулируемой переменной внутри периода квантования, в структурную схему следует дополнительно ввести передаточную функцию ПНЧ для смещенной регулируемой величины

Ш_ПНЧ(г,8). Для ее нахождения используется 2-преобразование смещенной решетчатой функции на выходе ПНЧ У(г,е).

6.3.   Нахождение передаточной функции приведенной непрерывной части

Для нахождения дискретной передаточной функции приведенной непрерывной части необходимо определить 2-преобразование непрерывной передаточной функции Ш_ПНч(р):

ШпнЧ(2) =2{ ЖпнЧр}]

Пусть объект регулирования описывается дробно-рациональной передаточной функцией:

^^(р) = Ар! ,                                                     (¹⁵⁵⁾

где А(р) и В(р) - полиномы от р.

Тогда (154) с учетом (153) и (155) принимает вид

ш ( _р) - ^{1 - е РТ В(р)}

^шпнч^{(р) -}                                  ' _л( ч,

Р ^А(Р)

следовательно,

²Шпнч(р)} - ²{¹ - е-^рТ} •²,                                                  (156)

Учитывая (141), имеем

2  1

2{1 _ е~^рТ } - 1 _ 2_ ----------- .                                (157)

2

2-преобразование второго сомножителя в правой части (156) находят по таблицам соответствия непрерывного и дискретного преобразований Лапласа, предварительно при необходимости разложив дробно-

В( р)

рациональную функцию ^р) на простые дроби с помощью формулы

Подставляя (157) и (162) в (156) и приводя результат к общему знаменателю, получаем искомое выражение для Ш_ПНЧ(2) (а при необходимости и для Ш_ПНЧ(2, г)).

При наличии в передаточной функции объекта чистого запаздывания т - кТ

е_^рт - е_^ркТ - ₂_^к .

Следовательно, для учета чистого запаздывания передаточную функцию приведенной непрерывной части необходимо умножить на 2^-к.

В качестве примера найдем передаточную функцию приведенной непрерывной части для

К

ш_об (р) -

Т_об Р +1

Имеем:

Подставляя полученное выражение в (156) с учетом (157), определяем

ш _{( )} К (1 _ 2₁)

^ШПНЧ⁽²⁾                              ; Шпнч(1)=К.

2 _ 2,

6.4.  Дискретные аналоги типовых законов регулирования

Существуют дискретные аналоги всех непрерывных законов регулирования. Однако их конкретная форма зависит от способов

численного интегрирования и дифференцирования, используемых при реализации И- и Д- составляющих закона регулирования.

П-регулятор

Уравнение:

х,, = Ке,                                                                               (163)

где х_п=х[пТ] - регулирующее воздействие в текущий момент времени пт,

е_п=е[пТ\=У_зад[пТ\-У[пТ\ - рассогласование,

*

К₁ - коэффициент передачи.

Передаточная функция, частотная передаточная функция, АЧХ,

ФЧХ:

*                          [1]                             * >н , . _

Ж(2)=Ж(/а)=А (ш)=К1 ; р (р) = 0.

Характеристики дискретного П-регулятора совпадают с характеристиками непрерывного П-регулятора (поскольку для его реализации не требуется использовать численное интегрирование и дифференцирование). Система с дискретным П-регулятором сохраняет свойства системы с непрерывным П-регулятором: хорошую динамику (т.к. П-регулятор не вносит отрицательного фазового сдвига в систему) и статическую ошибку.

И-регулятор

При использовании при численном интегрировании способа левых прямоугольников уравнение И-регулятора имеет вид

п-1

^хп = ^К0^ТX ^е^ (вариант 1),                                                                    (164)

1=0

(физически это объясняется тем, что при формировании регулирующего воздействия в последнем случае используется дополнительная более свежая информация - значение рассогласования в момент пТ).

Итак, уравнение улучшенного И-регулятора:

(165)

г-0

Уравнения переходных функций для двух вариантов И-регулятора получим, подставляя в (164), (165) е_п=1[пТ]:

х_п - К*Тп (вар. 1)                                                                               (166)

^хп - КТ(п +1) (вар. 2)                                                                             (167)

Соответствующие переходные характеристики приведены на рис. 64

Как видим, характеристика для второго варианта И-регулятора по существу является дискретным аналогом переходной характеристики непрерывного ПИ-регулятора (рис. 21), что свидетельствует о преимуществе второго варианта по сравнению с первым.

На основании (145) передаточная функция, соответствующая уравнению (164), равна:

^ * 1

^{ш (2) - К}о^Т                           ~ (вар. 1)                                                                 (168)

2 — 1

Разлагая сумму в уравнении (165) на два слагаемых

п           п-1

Xе=хе+^е»,

I=0       I=0

можем получить передаточную функцию, соответствующую этому уравнению, в виде:

* 2

Ш⁽²⁾ = ^К0^Т--------- (вар. 2)                                              (169)

2-1

В случае, когда в закон регулирования входит И-составляющая (И-, ПИ-, ПИД- законы), удобнее перейти к рекуррентной форме записи уравнений (164), (165), чтобы избавиться в них от сумм. (Напомним, что рекуррентным называется выражение, в котором текущее значение выхода выражается через его прошлые значения). Для перехода к рекуррентной форме записи необходимо из уравнения, записанного для текущего момента времени пТ, вычесть уравнение, записанное для предыдущего момента времени (п-1)Т. Поступая так, получаем для уравнений (164), (165):

^хп = ^хп-1 + ^К 1^Теп-1 (вар. 1)                                                   (170)

^хп = ^хп-1 + ^К0^Теп (вар. 2)                                                    (171)

Подставляя в передаточные функции (168), (169) 2=е^1(оТ, можем получить выражения для частотных характеристик И-регулятора:

ттл*/ • \ -К₀Т( . оТ ^Ш С/^о) = +—7- ^{1 -}

2 V                    2

*                              К₀^*Т 1 ^^(о)(173)

*                                           / \ п     соТ

Р ^(о) = ^-- + —                                                           (174)

В формулах (172), (174) знак "-" соответствует первому варианту интегратора, а "+" - второму.

АФХ, АЧХ и ФЧХ дискретного И-регулятора приведены на рис. 65, 66. Для сравнения на этих рисунках показаны характеристики непрерывного (идеального) И-регулятора.

отрицательный фазовый сдвиг. При этом, как видно из формулы (174), И- регулятор (165) вносит отрицательный фазовый сдвиг на соТ меньше по сравнению с регулятором (164) и на о Т/2 меньше по сравнению с непрерывным И-регулятором. В связи с вышеизложенным далее будем рассматривать только И-регулятор с уравнением (165).

ПИ-регулятор

Конечно-разностное уравнение ПИ-регулятора так же, как и

непрерывного, можно записать в двух формах:

п

*                           * V ч

Хп - К.е„ + К„ТXе, - К

г-0

*

Ти - по-прежнему время изодрома.

Переходная функция:

Передаточная функция:

(176)

где

Т

ъ₁ - к;+к;т - к;

Т

V         ¹и у

^Ъ0 ^{- - К}1 .

ПИ-закон в рекуррентной форме:

^Хп ^{- Х}п-1 + ^Ъ1^еп + ^Ъ0^еп-1

Выражение для частотной передаточной функции ПИ-регулятора получаем, суммируя вещественные и мнимые части частотных передаточных функций П- и И- регуляторов:

Выражения для АЧХ и ФЧХ находим, заменяя в (176) 2 на е^оТ.