4.  Анализ АСР с релейными регуляторами [4]

Системы с релейными регуляторами относятся к классу нелинейных АСР. Их точный расчет возможен лишь в простейших случаях. В общем случае расчет нелинейных АСР производится приближенно в два этапа: линеаризация статической характеристики нелинейного элемента и расчет линеаризованной АСР.

Установившимся режимом работы АСР с релейными регуляторами (релейных АСР) чаще всего является режим автоколебаний. Поэтому в отличие от непрерывных линейных АСР основными показателями качества регулирования в этом случае являются параметры автоколебаний: период Т_а или частота о_а и амплитуда А_а. В качестве установившегося значения регулируемой величины условно можно принять среднее значение у_ср= у_уст. Тогда ошибка регулирования в установившемся режиме равна разности между заданным значением регулируемой величины и её средним значением:

Целью расчета релейных АСР является выбор настроечных параметров релейного регулятора, обеспечивающих заданные требования к показателям качества Т_а, А_а, Ау_уст.

Структурная схема релейной АСР приведена на рис. 33.

4.1.     Анализ АСР с двухпозиционным релейным регулятором

Статическая характеристика двухпозиционного релейного регулятора приведена на рис. 34а,б. Отличие рис. 34а от рис. 34б заключается в том, что на рис. 34а по оси абсцисс отложено значение регулируемой переменной у, а на рис. 34б - рассогласование Ау=у_зад-у.

Рис.34.

Как видно из характеристики двухпозиционного регулятора, регулирующее воздействие в зависимости от величины рассогласования Ау может принимать два фиксированных значения: х_тах и х_тп (В частном случае х_тп=0). Диапазон изменения регулируемой переменной (рассогласования) можно разбить на три зоны: мало, нормально, много. Будем считать, что величина зоны нормально (называемой также зоной возврата или дифференциалом) составляет 2е.

Уравнение статической характеристики двухпозиционного регулятора:

тах ^ПР^{и А}У > ^Б

е < Ау < б и у < 0

•^т ^ПР^{и А}У < ^-Б

е<Ау < е и у > 0

Настроечными параметрами двухпозиционного релейного регулятора являются: е, а также x_таx и x_т^п, если они не заданы.

Будем считать, что объект регулирования описывается моделью инерционного звена первого порядка с чистым запаздыванием (8).

Рассмотрим вначале частный случай при отсутствии чистого запаздывания в объекте регулирования.

На рис. 35 изображены графики автоколебаний и изменения

регулирующего воздействия.

Здесь у_таа: и у_тп - максимальное и минимальное установившееся значение регулируемой переменной, соответствующие максимальному x_таx и минимальному x_т^п значениям регулирующего воздействия и связанные с ним через коэффициент передачи объекта регулирования:

^у

Разность

О = у _ у ■

У тах У тт

будем называть диапазоном регулирования.

Пусть начальное значение регулируемой величины у(0)=у_тг_п. Поскольку при этом Ау>е, регулирующее воздействие принимает максимальное значение (х=х_тах), и объект начинает разгоняться по кривой разгона - экспоненте. При достижении регулируемой переменной значения у_зад+8 (Лу=-8) в момент I] регулирующее воздействие переключается на х_тп, и регулируемая переменная начинает уменьшаться. При *=*₂ Лу=е и регулирующее воздействие снова переключается на х_тах. Далее система входит в режим установившихся колебаний. Амплитуда автоколебаний равна половине зоны возврата статической характеристики регулятора:

^Аа =е.                                                                                      (64)

Среднее значение автоколебаний равно заданному значению: у_ср=у_зад, следовательно, ошибка Лу_уст в установившемся режиме равна нулю.

Найдем теперь период автоколебаний Т_а.

^Та = ^Ттт + ^Ттах ^,                                                                    (65)

где Т_тп и Т_тах - промежутки времени, в течение которых регулирующее воздействие имеет соответственно минимальное и максимальное значения. Уравнение участка экспоненты от произвольной точки 1=1₀, у₀=у(*₀):

_ * о ⁾ = У о + ^(уо _ ^уо⁾⁽¹ _ ^{е Т )},                                                                        ⁽⁶⁶⁾

где У _о - установившееся значение при 1^-оо.

С учетом (66) для переднего фронта автоколебаний АВ (рис. 35) можно записать:

^у зад ^{— у} тш + ^Бу зад ^у т1п ^Б

Подставляя (69) и (72) в (65), находим

При приближенных расчетах формулу (73) можно упростить,

разложением в степенной ряд:

0

+ X

е б ---- +---------

^у тах ^у зад ^у зад ^у т

или окончательно

Т * 2Т_е       ^{утах ут}‘^п                      /тел

“                   (утах^- у зад зад ^— утт )

При у зад > утах-Б Т_тах, как видно из (69), а следовательно, и Та=ю. Аналогично, при у_зад <у_тт+е Т_тп на основании (72), а значит, и Т_а также становятся бесконечными. Это объясняется тем, что для возникновения автоколебаний рассогласование должно попеременно изменять свой знак на противоположный и превышать по амплитуде половину зоны возврата. При выполнении же приведённых выше условий знак рассогласования остаётся постоянным (регулятору как бы не хватает запаса регулирующего воздействия). Поэтому для обеспечения нормальной работы двухпозиционного регулятора заданное значение регулируемой величины должно лежать в средней части диапазона регулирования:

утт + ^0,25^ < узад < утах ^{— 0,25}Я            (76)

Поскольку неравенство (76) должно выполняться при любых значениях возмущений, влияющих на величину у_тп и у_тах, значения х_тп и х_тах должны быть выбраны с определённым запасом.

В случае, когда задание точно соответствует середине диапазона регулирования:

В у ■ + у

у            у +                     у тт у тах

У зад ✓ тт г\

22

период автоколебаний достигает своего минимального значения

Т . _ 2Т1П¹ + ^2—° * 8Т— ^{а т1П} 1 — 2—В В •

При этом

Т _ Т ■ _ Т . /2

тах           тт             а тт/ ?

т.е. имеют место симметричные автоколебания (длительность переднего фронта равна длительности заднего фронта). При смещении у_зад вправо или влево от середины диапазона регулирования период автоколебаний растёт за счёт роста Т_тах или Т_тп соответственно. При этом Т_а зависит только от величины приращения заданного значения относительно середины диапазона регулирования и не зависит от его знака.

Перейдём теперь к общему случаю при наличии чистого запаздывания в модели объекта регулирования. Графики автоколебаний и регулирующего воздействия для этого случая приведены на рис. 36. Наличие запаздывания в передаточной функции объекта приводит к отставанию регулируемой переменной на величину т (штриховая и сплошная линии на рис. 36). Вследствие этого моменты переключения регулирующего воздействия также сдвигаются на т, что приводит к возрастанию амплитуды и периода автоколебаний.

Уравнение участка АС переходной характеристики:

1               . С 1 \

у = у_д +Лу = у _де~^Т +^{Утах Ут1п}

у ср У зад У уст у зад

2

При 1=0 или ^у_зад=(^утах+^утт)/2 (заданное значение регулируемой величины точно в центре диапазона регулирования) ^у_ср=^у_зад.

Т_тах и Т_тп найдём, подставляя в (69) и (72) вместо минимального и максимального значений амплитуды автоколебаний (у_зад-8) и (у_зад+8) их новые значения (у_зад-8-ВЕ) и (у_зад+ 8+АВ):

^Утах _^(Узад _⁸_ ^1)Е)

¹тах = ^11П_{(             АВ)}

Утах _\Узад +⁸ + ^АВ)

(Утах ^- У зад ^{- е) Т} = ^Ъ .

получаем

Упрощённую формулу для Та можно получить, подставляя в формулу (75) вместо е (амплитуда колебаний при т=0) приближённое значение амплитуды (80).

(88)

С помощью полученных соотношений (79), (80), (81), (82), (87), (88) можно выбрать настройки е, х_тах и х_тп (если они не заданы), а также значение у_зад, обеспечивающие заданные требования к параметрам автоколебаний.

4.2.   Анализ релейных АСР частотно-амплитудным методом Гольдфарба

Данный метод применяется для анализа более сложных систем, чем рассмотренная в разделе 4.1 и основан на гармонической линеаризации нелинейного элемента.

Метод гармонической линеаризации нелинейного элемента Метод предложен советскими учёными Крыловым, Боголюбовым и заключается в замене реального нелинейного элемента эквивалентным ему линейным, выходной сигнал которого равен первой гармонике разложения в ряд Фурье выходного сигнала нелинейного элемента.

Гармоническая линеаризация справедлива при выполнении гипотезы

о том, что линейная часть системы представляет фильтр низких частот,

подавляющий все гармоники выходного сигнала нелинейного элемента порядка выше первой. Обычно эта гипотеза выполняется, поскольку линейная часть - объект регулирования включает инерционные и интегрирующие звенья, обладающие хорошими фильтрующими свойствами.

Свойства линеаризованного нелинейного элемента описываются эквивалентным комплексным коэффициентом передачи нелинейного элемента, представляющим отношение изображения Фурье первой гармоники разложения выходного сигнала в ряд Фурье у₁(]°) к изображению Фурье входного гармонического сигнала х(]о). Эквивалентный комплексный коэффициент передачи зависит от амплитуды входного сигнала А, является функцией комплексной переменной и обозначается Ж_нэ(/А).

К, (М) = 4°)                         (89)

х^о)

Пусть

х (г¹) = А 81П(о() = А 8т а,

о   = 2п/Т - круговая частота,

Т - период гармонических колебаний, а = о г - угловая координата.

х (]о)= Ае⁰ = Ае ^]а                                                         (90)

у1 (г ) = а₁008(0)+Ъ₁81П (ог) = а₁ со8 а + Ъ₁8т а

/ \ ■ ^а+~~] у10°)= ^Ъ1^{е а} + ^а1^{е 1 2}}                               (91)

Коэффициенты первой гармоники разложения в ряд Фурье определяются

по формулам:

2 т          1 2п

а₁ = — I у ( )со8(о ) = — I у (а)со8а^а ^

1 2п

Ъ₁ = — | у Уа^таЗа ^п 0

С учётом (90), (91) выражение (89) принимает вид:

Ъ₁ а₁ П Ъ . а₁

Обозначим

А⁼к ^{Уа )} ; А^=д2 ^Уа ^

тогда выражение для эквивалентного комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента окончательно можно записать в форме:

Для кососимметричных нелинейностей первая гармоника выходного сигнала совпадает по фазе с входным сигналом, следовательно, косинусоидальная составляющая д₂(А)=0.

После линеаризации квазилинейное уравнение нелинейного элемента принимает вид:

У = К, У]А)х

Годограф вектора к, Ум) называется эквивалентной АФХ нелинейного элемента.

Формулы (92), (93) позволяют получить выражение эквивалентного комплексного коэффициента передачи релейных регуляторов.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи двухпозиционного релейного регулятора с характеристикой (рис. 34.) при х_тт=0 и входном гармоническом сигнале Ау=Л$та, А>—равен:

и считая, что на входе релейного регулятора действует гармоническии сигнал с амплитудой А>В, можем получить следующее выражение для эквивалентного комплексного коэффициента передачи трёхпозиционного релейного регулятора:

Нахождение параметров автоколебаний В результате гармонической линеаризации нелинейного элемента мы получаем линеаризованную АСР. При этом автоколебаниям в исходной нелинейной АСР соответствуют незатухающие колебания на границе устойчивости в линеаризованной АСР. Параметры этих колебаний будут тем ближе друг к другу, тем точнее выполняется гипотеза низкочастотного фильтра. Поскольку эта гипотеза, как отмечалось, выполняется практически всегда в силу инерционности объекта регулирования, можно считать, что параметры автоколебаний в нелинейной АСР приближённо равны параметрам незатухающих колебаний в линеаризованной АСР.

Для нахождения параметров незатухающих колебаний в линеаризованной АСР может быть использован критерий Найквиста, согласно которому условие возникновения незатухающих колебаний в линеаризованной АСР, т. е. условие её нахождения на границе устойчивости имеет вид:

^ра, ЬА, М)=-1

или

К, Оа) Кб 0®) = -1                 (97)

Аналитическое решение уравнения (97) в общем случае невозможно, поэтому Гольдфарб предложил решать это уравнение графически.

Запишем уравнение (97) в виде:

Обозначим

(99)

эквивалентный обратный комплексный коэффициент передачи релейного элемента (годограф %_рэ (]А) называют эквивалентной

обратной АФХ релейного элемента).

С учётом (98) (99) принимает вид:

Корни уравнения (100) соответствуют значениям частоты о АФХ объекта регулирования и амплитуды Л эквивалентной обратной АФХ релейного элемента. Для нахождения корней уравнения (100) необходимо построить характеристики Ж_об(]о) в функции от частоты и -2_рэ(]Л) в функции от амплитуды и определить точку их пересечения (рис. 38). Значение характеристики Ж_об(]о) в точке пересечения определяет частоту автоколебаний о_а в исходной нелинейной системе. Значение характеристики -2_нэ(]Л) в точке пересечения определяет амплитуду Л_а автоколебаний.

Исследование устойчивости автоколебаний Для суждения об устойчивости автоколебаний дадим приращение АА амплитуде автоколебаний в точке пересечения (стрелками на рис.38 показаны направления роста частоты и амплитуды).

Если имеет место неравенство

(101)

(такой случай изображён на рис. 38), то

Кб (Оа )^р, [/'(Аа +АА)]< 1,

т.е. при приращении амплитуды автоколебаний АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1^0), следовательно, система устойчива, колебания будут затухать и их амплитуда опять уменьшится до значения, соответствующего точке пересечения. Точно так же при уменьшении амплитуды колебаний, система становится неустойчивой, и амплитуда колебаний в ней увеличивается и возвращается к значению в точке пересечения.