1. Расчёт настроек регуляторов в линейных непрерывных системах [1^4]

1.1.     Качество регулирования

Будем определять качество регулирования совокупностью показателей, характеризующих форму кривой переходного процесса в замкнутой АСР (рис. 26).

Основные показатели качества

1. Максимальное динамическое отклонение Ау_дин - наибольшее

отклонение регулируемой переменной от её заданного значения в переходном процессе

^Ау дин = у тах ^у зад

В устойчивой АСР максимальным является первое отклонение. Показатель Ау_дин характеризует динамическую точность регулирования.

1. Остаточное отклонение (остаточная неравномерность) Ау_ст -

абсолютная статическая ошибка регулирования, определяемая как разность между установившимся значением регулируемой величины и её заданным значением:

Показатель Ау_с статическом режиме.

Ау

ст ^У уст ^У зад

характеризует точность регулирования в

1. Степень затухания / - отношение разности двух соседних амплитуд колебаний, направленных по одну сторону от линии установившегося значения, к большей из них

/ = ——— = 1 -—; 0 </< 1 (31)

У1                —1

Показатель / характеризует колебательность переходных процессов и запас устойчивости системы. Значение /=0 соответствует незатухающим колебаниям на границе устойчивости системы. При /=1 имеем апериодический переходной процесс.

1. Время регулирования 1_р - промежуток времени от момента нанесения возмущающего воздействия до момента, начиная с которого отклонение регулируемой переменной от установившегося значения становится и остается меньше наперёд заданного значения 8.

Показатель 1_р характеризует быстродействие системы.

Рассмотренные показатели качества относятся к группе прямых показателей, т.е. показателей, позволяющих оценить качество непосредственно по кривой переходного процесса, для получения которой необходимо решить дифференциальное уравнение системы.

Помимо прямых, существуют косвенные критерии, позволяющие судить о качестве регулирования, не имея в распоряжении кривой переходного процесса. К таким критериям, в частности, относятся интегральные критерии качества, представляющие интегралы по времени от отклонения регулируемой переменной от установившегося значения

^Ау = у ^- у уст , либо от некоторой функции этого отклонения и её

производных. Простейшим является линейный интегральный критерий определяемый соотношением:

<Х)

⁰  лин = I ⁽у - у уст ^)Ш

0

С геометрической точки зрения критерий 1_лин есть площадь между кривой у(1) и линией у_уст. Величина 1_лин зависит от всех показателей

качества, кроме Ау_ст. При этом с уменьшением Ау_дин и 1_р (т.е.

улучшением качества регулирования) величина 1_лин падает, а с увеличением колебательности переходного процесса 1_лин также уменьшается, хотя качество регулирования при этом ухудшается. Итак, уменьшение 1_лин свидетельствует об улучшении качества регулирования только для хорошо затухающих переходных процессов. Поэтому критерий 1_лин применим для апериодических или слабоколебательных процессов. Для таких процессов наилучшими можно считать такие настройки регулятора, при которых значение 1_лин достигает минимума. Критерий 1_лин может быть вычислен через коэффициенты дифференциального уравнения замкнутой АСР.

Можно показать, что для объекта регулирования с самовыравниванием и ПИ-регулятора

, 1 ¹           =— ,   (32)

лин

К 0

т.е. минимум 1_лин достигается при максимуме интегральной составляющей регулирующего воздействия, или, что то же, наилучшее качество переходного процесса достигается при максимуме К₀.

Для колебательных переходных процессов применяют другие интегральные критерии, например,

У ^- у у

уст 0

но данный критерий нельзя вычислить через коэффициенты дифференциального уравнения. Этого недостатка лишен квадратичный интегральный критерий 1_кв:

ЭО

¹ кв = | ⁽У ^- У уст ⁾² &

1.2.    Типовые оптимальные процессы

Требования к показателям качества противоречивы. Например, уменьшение динамической ошибки достигается за счёт увеличения колебательности и длительности переходных процессов. Наоборот, процессы с малым временем регулирования удаётся получить за счёт увеличения динамической ошибки. Поэтому относительно желаемых значений показателей качества в замкнутой АСР приходится принимать компромиссное решение. Переходные процессы с определёнными показателями качества рекомендуются при расчёте АСР в качестве типовых. В рассматриваемом ниже методе расширенных частотных характеристик основным показателем качества считается степень затухания / , т.е. колебательность переходного процесса, поскольку этот показатель характеризует запас устойчивости АСР. В качестве типовых рекомендуются процессы, для которых

/ = 0,75 ^ 0,9,

т.е. третья амплитуда колебаний в 4-10 раз меньше первой.

В тех случаях, когда ставится задача выбора настроек регулятора, минимизирующих какой-либо показатель качества, соответствующий переходный процесс, а также значения настроек регулятора называются оптимальными в смысле указанного критерия. Например, в методе расширенных частотных характеристик ставится задача выбора настроек регулятора таким образом, чтобы помимо заданной колебательности переходного процесса, обеспечивалось минимальное значение критерия 1_лин . Такой процесс является оптимальным в смысле критерия 1_лин.

1.3.    Упрощенные формулы для расчёта настроек регуляторов

В табл.2 приведены упрощённые формулы для определения настроек регуляторов, обеспечивающих заданную колебательность переходного процесса. Формулы получены по результатам моделирования АСР. Статические объекты представлены моделью инерционного звена с чистым запаздыванием (8), астатические объекты - моделью интегрирующего звена с запаздыванием (13)

В табл. 3 приведены упрощённые формулы для расчёта регуляторов по методу Циглера -Никольса в частотной области. В этих формулах ®_кр - критическая частота, при которой система находится в режиме незатухающих колебаний на границе устойчивости. Частоту (О_кр можно определить экспериментально или по ФЧХ объекта как частоту, соответствующую фазовому сдвигу - п: ф_об (а_кр ) = -п

К_1кр - критическое значение коэффициента передачи П-регулятора, при котором система находится на границе устойчивости. Значение К_1кр можно определить экспериментально или по АЧХ объекта регулирования:

_К = ¹

^1кР Аоб (®кр )

Упрощенные формулы просты, но не обеспечивают высокой точности расчета настроек регуляторов, поэтому применяются при грубых прикидочных расчетах и требуют экспериментального уточнения.

1.4.           Расчет настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик (РЧХ)

Метод разработан Е.Г.Дудниковым. В качестве типового используется процесс с заданной степенью затухания ^ = 0.75 ^ 0.9.

Степень колебательности т. Граница заданной колебательности в плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы Для устойчивости АСР корни её характеристического уравнения

должны быть «левыми». При этом каждому вещественному корню - а

соответствует апериодическая составляющая переходного процесса вида:

л —аЛ

уг = 4^ ' ,

а каждой паре комплексно-сопряженных корней -а₁ ±            -

колебательная составляющая.

уг = 4^~^а1 + Фг ⁾

Чем больше по абсолютной величине вещественная часть корня - а₁, т. е. чем дальше корень удален от мнимой оси, тем меньше вклад соответствующей ему составляющей в результирующий переходной процесс. Поэтому при выводе основных расчетных соотношений метода РЧХ делается допущение: вид кривой переходного процесса, в основном, определяется ближайшим к мнимой оси комплексным корнем, а влиянием остальных корней можно пренебречь. Другими словами, это означает, что

система п-го порядка заменяется системой второго порядка (колебательным звеном).

Обозначим ближайший к мнимой оси корень через р₁₂ = -а ± ]а . Степенью колебательности т называется тангенс угла у между лучом ОА, проведенным через ближайший к мнимой оси корень и осью ординат

(рис.27):

т = (ду = —; 0 < т <о а

V ___  У

-а

Рис. 27.

При т = 0 имеем незатухающий переходной процесс на границе устойчивости системы, а при т = о- апериодический процесс.

Для колебательного звена между показателями т и / существует однозначная связь. Записывая выражение для переходной функции колебательного звена для моментов времени (₂ и (₃ (рис. 28):

У1     = Ае“Г уз = Ае^а. Учитывая определение /(31), а также, что

В таблице 4 приведены некоторые значения / и соответствующие им значения т.

Таблица 4

Наиболее употребительными при расчетах являются значения т = 0.221 ^ 0.336, соответствующие значениям / = 0.75 ^ 0.9 .

Для обеспечения заданной степени колебательности т_зад ближайший к мнимой оси корень должен располагаться на луче, проведенном под

углом у = агс(§ т_зад к мнимой оси. Следовательно, луч ОА (рис. 27)

является границей области заданной колебательности, а сама область расположена слева от этой границы.

Уравнение луча ОА:

-     та = а(] - т).

Понятие о расширенных частотных характеристиках.

РЧХтиповых звеньев АСР

Обычные частотные характеристики применяются для исследования устойчивости АСР и получаются при переходе в передаточной функции от переменной р к переменной70. Уравнение

р — у'о, 0 < о < да

есть уравнение мнимой оси, т.е. границы области устойчивости - левой полуплоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы. Таким образом, в случае обычных частотных характеристик переменная р изменяется вдоль границы устойчивости.

Расширенными частотными характеристиками называются выражения для передаточной функции, для которых переменная р заменяется уравнением границы заданной колебательности. Для получения РЧХ следует заменить переменную р в передаточной функции уравнением границы заданной колебательности:

р — о(] - т), 0 <о<да .

Будем обозначать РЧХ символом Ж(т, ]о).

РЧХ типовых звеньев приведены в таблице 5. Следует обратить внимание на то, что при записи выражений для расширенных ФЧХ частотный диапазон разбит на поддиапазоны так, чтобы для каждого поддиапазона в выражение для расширенной РЧХ входило главное значение функции агс1д, что особенно важно при использовании для вычислений машинных подпрограмм. Отдельно выделены характерные точки расширенных ФЧХ.

Критерии Найквиста и Михайлова для РЧХ.

Понятие о линии равного затухания (ЛРЗ)

Обычные частотные характеристики используются для исследования устойчивости АСР с помощью критериев Найквиста и Михайлова. Эти же критерии можно сформулировать для РЧХ, что позволяет исследовать АСР на заданную колебательность переходного процесса. Критерий Найквиста для РЧХ формулируется следующим образом. Если разомкнутая система

имеет степень колебательности не меньше заданной (т > т_зад), то степень колебательности замкнутой системы не меньше заданной, если расширенная АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до да не охватывает точку с координатами —1,у0.

Формулировка критерия Михайлова для РЧХ. Замкнутая АСР имеет степень колебательности не меньше заданной, если расширенная АФХ характеристического уравнения замкнутой системы при изменении частоты от 0 до да проходит последовательно п квадрантов, нигде не обращаясь в ноль (п - порядок характеристического уравнения).

С помощью критериев Найквиста или Михайлова для РЧХ может быть построена линия равного затухания системы, по которой определяются оптимальные настройки регулятора.

Линией равного затухания называется геометрическое место точек в плоскости настроечных параметров регулятора, для которых величина степени колебательности т постоянна. ЛРЗ изображают в плоскости двух настроечных параметров. Для ПИ-регулятора в плоскости К₀-К₁, для ПД- регулятора в плоскости К₁-К₂. Настройкам П- и И-регуляторов соответствуют точки пересечения ЛРЗ, построенной в плоскости К₀-К₁ с координатными осями. При К₀ = 0 получаем настройку П-регулятора, а при К₁ = 0 - настройку И-регулятора (рис. 29).

Наконец, в случае ПИД-регулятора ЛРЗ в плоскости К0-К1 может считаться сечением трехмерной поверхности в координатах К₀-К₁-К₂ для фиксированного значения К₂. Давая различные значения К₂, можно построить семейство ЛРЗ, характеризующее поверхность равного затухания.

Расчет ЛРЗ

Для получения уравнения ЛРЗ необходимо записать условие нахождения системы на границе заданной колебательности. Согласно критерию Найквиста для РЧХ условием заданной колебательности в замкнутой АСР является прохождение расширенной АФХ разомкнутой системы через точку —1,_/0, т.е.

*раз К У^{о) —-1}.                       ⁽³⁴⁾

Если

*об ⁽^ ]°° ^{— А}об ^{(т,о)е<Ро6(т,а)}

и

*рег К ]°) ^{— А}рег                ⁽^

расширенные характеристики объекта и регулятора, то условие (34) принимает вид

*раз ^(т, ]'^{0) —} Кб ^(т, ]°Жре_г ^(т, У^{о) — -}1             ⁽³⁵⁾

Векторному условию (35) соответствуют следующие скалярные амплитудное и фазовое условия заданной колебательности:

^Аоб ^{(т,о) А}рег ^{(т,о) — 1}

Роб ^(т,0) + Ррег ^{(т,0) — -П} Условия (36) называют условиями баланса амплитуд и фаз.

Эквивалентные условиям (36) соотношения могут быть получены и из критерия Михайлова.

Если

передаточная функция замкнутой системы,

Н (т, у'о) = К^е[Я⁽ту°^)]+ ]!_т ^[н(ту°^)] -

расширенная АФХ знаменателя передаточной функции замкнутой системы, то условия заданной колебательности переходного процесса, вытекающие из критерия Михайлова для РЧХ и эквивалентные условиям (36), имеют вид:

Ниже для построения ЛРЗ будут использоваться условия (36) как более удобные в вычислительном отношении.

Подставляя в (36) выражения для РЧХ объекта регулирования и регулятора, разрешая систему (36) относительно настроечных параметров регулятора, можем получить уравнение ЛРЗ в параметрическом виде (параметром является частота со).

Например для широко распространенных моделей объекта регулирования в виде инерционного или интегрирующего звеньев с чистым запаздыванием (8), (13) и ПИ-регулятора уравнения ЛРЗ имеют вид:

Для модели (8):

Для модели (13):

Поскольку модели объектов регулирования могут быть различными, то для того, чтобы не решать систему (36) для каждой модели заново, получим выражение для ЛРЗ в виде функции от расширенных АЧХ и ФЧХ объекта регулирования. Уравнения ЛРЗ в такой форме универсальны и пригодны для объекта с любой передаточной функцией.

Итак, считая А_об (т,о) и Р_об (т,о) известными, получим расчетные

формулы для ЛРЗ для типовых законов регулирования.

П-регулятор. (поскольку П-регулятор имеет один настроечный параметр, ЛРЗ вырождается в точку)

РЧХ П-регулятора:

^рег К У^{о) —         А}рег ^{(т,о) —}      Ррег ^{(т,о) — 0}

С учетом (39) условия (36) принимают вид:

^Аоб ^(т,О1^)К1 ^{— 1}

> 

Роб ^(т,О1^{) — -П}

где о₁ - частота, при которой выполняется фазовое условие системы (36), т.е. расширенная ФЧХ объекта достигает сдвига по фазе -п.

Из (40) находим, что оптимальное значение настроечного параметра П-регулятора определяется следующими выражениями:

откуда расчетные формулы для определения оптимальной настройки И- регулятора принимают вид:

,71

^Аоб ^(т,а0⁾

п

Роб ^(т,а0⁾=^- 2+^агсд ^т

ПИ-регулятор РЧХ ПИ-регулятора:

К₀ - К₁ то + ](К ₁о)

^рег К ]°) ^—

-     то+]О Обозначим

К₁о — х; К₀ - К₁то — у                                                  ⁽⁴⁴⁾

С учетом обозначений (44) расширенные АЧХ и РЧХ ПИ-регулятора можно записать в виде:

/ ч        X п

р (т,о) — агс(д--------------- агс(д т

У ²

Условия заданной колебательности (36) с учетом (45):

1

2                    

2 X + у

^Аоб ^(т,о)

, _ч х п р_об (т, о) + агс(д------------------ агс(д т —     

У            ²

Обозначим

7пи ⁽^ ^{о) — -} ПП + ^агс*8 ^{т -} Роб⁽^ ^о)

7_ПИ (т,о) - вспомогательная ФЧХ с точностью до знака и константы равная расширенной ФЧХ объекта.

С учетом (47) фазовое условие в системе (46) принимает вид:

х

^агс(д- ^— 7 пи ^(т,о), У

откуда

х

7пи ^{(т,о) —}- У

и

^х = у*д /пи^{(т,о)                                                                           (48)}

Подставляя (48) в амплитудное условие системы (46), получаем решение этой системы в виде:

°л/ 1 + т²                               , _ч

У =                            г со8 /пи (т, а)

^Аоб ^(т,о)

Юл/Т+ т‘ . . . х =     81п /_пи (т,о)

2

^Аоб ^(т,а)

Возвращаясь с помощью обозначений (44) к исходным переменным, окончательно получаем выражения для ЛРЗ системы с ПИ-регулятором в форме:

х л/1 + т² .                                  _о

к (о) = — = ^—---- 81п /пи (т,а)

о₀   <ю<о₁

Граничные частоты а о_] для построения ЛРЗ по-прежнему определяются соотношениями (41), (43). пД-регулятор

Расширенные характеристики ПД-регулятора:

^_Рег К ]°) = ^(К1 ^{- К}2^то) + ]^К2°

Обозначим

К₂а = х; К₁ - К₂ та = у

^Арег ^(т,Ю) = V^{Х 2} + У²; Ррег ^(т,Ю) = ^аГс{§-                                       ⁽⁵²⁾

^у

Условия заданной колебательности (36) с учетом (52):

1

2 . 2 X + У

^Аоб ^(т,о)

X

р_об (т, о) + агс(д — —-п У

Обозначим

РПД К ^{о) — -п-} Роб ⁽^ ^о) , тогда из фазового условия системы (52)

^{x —} У^ 7 пд ^(т,о)

Подставляя (54) в амплитудное условие системы (52), получаем её решение в виде:

С08 7_ПД (т,о)

У ^—

^Аоб ^(т,о)

81П 7пд (т,о)

^Аоб^(т,о)

Возвращаясь с помощью обозначений (51) к исходным переменным, получаем уравнения ЛРЗ в параметрическом виде для системы с ПД- регулятором:

X 81П 7пд ^(т,о)

К2 (о) — — —

о о- А_об (т,о)

К1(о) — У + тx — —-¹-- [со8 7пд (т,о) + т §т 7пд (т, о)]

^Аоб ^(т,о)

о₁   < о < о₂

Значение граничной частоты о₂ получаем, подставляя выражение для расширенной ФЧХ дифференциатора

п

р_д (т, о) — — + атс1д т

в фазовое условие системы (36):

р_об (т,о₂) + агс(д т — - 3 п

откуда

Роб^{(т, о}2^{) — -} -^{3 п - агс}*д ^т

ПИД-регулятор

Расширенные характеристики ПИД-регулятора

[- К1 то + К0 - (1 - т )К₂о ]+ у[к 1о - 2тК₂о ]

-то+]о

X — о( К₁ - 2тК₂о)

У — -К_хто + К0 - (1 - т )К₂о

Тогда

/ ч X п Р_рег (т,о) — агс(д   агс^д т

У  ²

Сравнивая (58) и (45), убеждаемся, что выражения для расширенных АЧХ и ФЧХ ПИД- и ПИ- регуляторов имеют одинаковый вид, но с разными обозначениями для х и у: соответственно (57) и (44). Это и неудивительно, поскольку ПИ-регулятор можно считать частным случаем ПИД-регулятора при К₂=0.

Поскольку выражения для РЧХ ПИД- и ПИ-регуляторов совпадают с точностью до обозначений х и у, система уравнений (46) и в этом случае имеет решение (49). Возвращаясь с помощью обозначений (57) к исходным переменным, получаем уравнения ЛРЗ для системы с ПИД-регулятором:

. . х + 2тКЮ л/1 + т² . . . _

К₁(о) =------------- ²— =--------------- 8т /_пи (т,а) + 2тК ₂ю

°                  ^Аоб^(т,о)

К₀(о) = у + К₁та + (1 - т²) К₂о² =

[со8 /_пи (т,о) + т 81п /_пи (т,о)] + (1 + т²) К ₂0