О САЙТЕ
Добро пожаловать!

Теперь вы можете поделиться своей работой!

Просто нажмите на значок
O2 Design Template

ФЭА / АИТ / Лабораторная работа №3 по дисциплине: «Моделирование систем» на тему: «Получение статической модели на основе пассивного эксперимента »

(автор - student, добавлено - 20-09-2017, 20:52)

 

 

 

 

Скачать: 3-laba.zip [211,34 Kb] (cкачиваний: 9)

 

 

Кафедра автоматизации и информационных технологий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №3

по дисциплине:«Моделирование систем»

 

на тему: «Получение статической модели

на основе пассивного эксперимента »

 

 

 

Выполнили:

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель и содержание работы

Цель данной работы – получение навыков по построению полей корреляции, определению вида линий регрессии (прямая, парабола), записи уравнения регрессии от каждого параметра. В ходе работы должны научиться определять влияние каждого входного параметра на основной выходной параметр путём подсчета коэффициента корреляции.

 

Основные сведения из теории

При проведении экспериментов на реальных объектах независимое варьирование факторов в большинстве слу­чаев оказывается невозможным, поэтому для получения их мате­матических моделей обычно проводятся пассивные эксперименты. Объекты при этом находятся в нормальных условиях функциони­рования, а изменение их фазовых координат и выходных пара­метров обусловлено влиянием внешних возмущающих воздейст­вий, носящих случайный характер. В этой связи фазовые координаты и выходные параметры представляют собой случай­ные процессы.

Для получения информации о физических свойствах объек­та, необходимой при построении математической модели, выбирают некоторый интервал дискретизации независимой перемен­ной (времени t) и фиксируют в дискретные моменты времени значения факторов и функций отклика. Эти значения представ­ляют собой случайные последовательности чисел, составляющие непрерывные множества. Необходимо, чтобы эти случайные числа для каждого фактора и каждой функции отклика в отдельности были некоррелированными. Это достигается соответствующим выбором интервала дискретизации времени.

Используя полученные выборки факторов и функций отклика, находят их статистические оценки и осуществляют построение регрессионной модели объекта

Задачи корреляционного анализа – исследование тесноты корреляционной связи между переменными процесса и получение коэффициентов уравнения регрессии через коэффициенты парной корреляции. Теснота корреляционной связи исследуется путем вычисления коэффициентов парной и множественной корреляции, взаимной и автокорреляционных функций.

В процессе корреляционного анализа определяют оценки коэффициентов парной корреляции ryx между выбранными для построения математической модели выходными параметрами уj и факторами хi, а также между парами факторов хi и хk, т.е. оцен­ки коррелированности этих факторов rxx.

Оценка коэффициента корреляции между уj и хiвычисляет­ся по формуле

где N - число проведенных опытов; уju, хiu - значения перемен­ных уj и хi в u-м опыте;- оценки математических ожида­ний (выборочные средние) соответственно функции отклика уj и фактора хi; Sуj, Sхi - средние квадратические отклонения.

В матрице коэффици­енты корреляции могут принимать значения в пределах 0||l. Если || близко к 1, это свидетельствует о сильной коррелированности факторов хi и хk, а при ||=1 эти факторы функционально (невероятностно) связаны между собой. Оценка влияния каждого из них на функцию отклика по уравнению рег­рессии окажется невозможной. В случае сильной корреляции факторовхi и хk один из них следует исключить. Для построе­ния уравнения регрессии оставляют тот фактор, у которого коэффициент корреляции ryjxi больше.

Метод наименьших квадратов (МНК)

Метод подбора эмпирических зависимостей является общей частью корреляционного и регрессионного анализов, задача которых получение коэффициентов уравнения регрессии. Как корреляционный, так и регрессионный анализы состоят из двух частей: расчет коэффициентов уравнения регрессии методом МНК и статистическая оценка результатов. Если МНК можно применять для любых статистических данных, распределенных по любому закону плотности вероятности, то дать статистическую оценку полученным коэффициентам и уравнению регрессии можно лишь на основе определенных теоретических предпосылок. Корреляционный и регрессионный анализы различаются теоретическими предпосылками, т.е. способами статистической оценки.

Для минимизации отклонений между экспериментальными и расчетными значениями рекомендуется использовать метод наименьших квадратов. Напомним кратко суть метода.

Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Итогом этих испытаний является таблица:

. . .

. . .

где каждому числу xi(величину рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число (величину рассматриваем как зависимый показатель – результат).

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y=f(x), которая "наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0 и a1 этой прямой:

y=a0+a1x, (*)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (xi,yi).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (*). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S2=(y1–(a0+a1x1))2+(y2–(a0+a1x2))2+...+(yn–(a0+a1xn))2=

.

Обратим внимание на то, что все xi и yi - известные из таблицы числа, а S2 есть функция двух переменных a0 и a1: S2=S2(a0,a1).


 

Можно показать, что график функции S2выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производные и равны нулю, является точкой минимума.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

, (**)

. (***)

На самом деле для функции S2=S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Уравнения (**) и (***) можно преобразовать:

.

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (*) с параметрами a0, a1, определенными из данной системы, называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии.

Если экспериментальные точки в плоскости группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (*) другую подходящую формулу, например, y=a0+a1x+a2x2 или y=a0exp(a1x) с параметрами соответственно a0,a1,a2 и a0,a1, подставить ее в выражениеи искать минимум получившейся функции S2при помощи частных производных по параметрам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчетная часть

Задание

 

Определить зависимость выходной температуры Твых,0С от входной температуры Твх, 0С и от расходаF, м3/ч при заданных значениях:

 

Твых, 0С

Твх, 0С

F, м3

Твых, 0С

Твх, 0С

F, м3

350

271

1327

351

271,4

1314

348

270

1319

352

271,8

1316

347

267

1318

352

271,8

1315

355

273

1306

351

271,4

1311

349

270,5

1301

352

271,8

1312

351

271,3

1311

352

271,8

1318

353

272

1314

350

271

1312

350

271

1325

350

271

1315

351

271,3

1324

350

271

1317

349

265,8

1321

350

271

1319

348

270

1321

350

271

1317

349

265,8

1314

350

271

1318

350

271

1319

353

272,2

1320

350

271

1326

350

271

1318

349

270,5

1316

350

271

1317

350

271

1315

350

271

1320

350

271

1314

350

271

1321

350

271

1320

350

271

1321

350

271

1320

350

271

1319

351

271,4

1322

350

271

1319

350

271

1325

350

271

1321

350

271

1321

350

271

1321

351

271,4

1308

350

271

1322

351

271,4

1301

350

271

1322

350

271

1312

350

271

1319

350

271

1313

350

271

1322

347

268

1313

350

271

1322

348

266

1313

350

271

1322

347

268

1315

350

271

1326

350

271

1310

350

271

1324

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок выполнения работы

 

1.Определим зависимость Твых, 0С от Твх, 0С.

Задав их значения в виде матриц, получим поле корреляции:

 

Как видно из графика, нет необходимости в нахождении средних точек и линии регрессии, т.к. очевидно, что вид прямой – парабола.

Координаты этих точек:

Уравнение регрессии будет иметь вид:

 

В MathCadрассчитать полиномиальную регрессию, т.е. найти коэффициенты уравнения регрессии можно при помощи встроенной функции regress (x,y,n), где x и y – векторы экспериментальных данных, n – порядок полинома.

 

 

2.Определим зависимость Твых, 0С от F, м3.

Поле корреляции имеет вид:

 

 

 

 

Разделим область на 10 интервалов и определим средние точки в каждом из них. Координаты полученных точек и линия регрессии имеет вид:

 

Построим график с помощью функции loess:

 

3.Оценим связь между Твых, 0С и Твх, 0С ; Твых, 0С и F, м3/ч.

1)

 

 

 

 

 

2)

 

Теперь необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, используя уравнение множественной корреляции:

,

 

гдеy - Твых,0C, x1 - Твх, 0С, x2 - F, м3/ч.

 

 

 

 

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии.

Теперь для того, чтобы найти уравнение множественной регрессии, необходимо перейти к натуральному масштабу.

ВЫВОД: В ходе данной лабораторной мы научились определять вид кривой регрессии, находить коэффициенты и строить уравнения регрессии с помощью встроенных функций MathCad. Также определили зависимость выходной температуры от входных температуры и расхода, т.е. в результате нашли уравнение множественной корреляции.


Ключевые слова -


ФНГ ФИМ ФЭА ФЭУ
Copyright 2018. Для правильного отображения сайта рекомендуем обновить Ваш браузер до последней версии!