СКАЧАТЬ:  mod-lab-3-got.zip [496,98 Kb] (cкачиваний: 39)

Лабораторная работа № 3

по дисциплине

«Моделирование систем»

на тему:

«Получение уравнение статики  на основе пассивного эксперимента путем регрессионного и корреляционного анализа»

Цель работы

• закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков в построении регрессионных моделей объекта по результатам пассивного эксперимента;
• исследование тесноты корреляционной связи между переменными процесса и получение коэффициентов уравнения регрессии через коэффициенты парной корреляции.

Краткие сведения из теории

Получение математической модели на основе пассивного эксперимента

При проведении экспериментов на реальных объектах независимое варьирование факторов в большинстве слу­чаев оказывается невозможным, поэтому для получения их мате­матических моделей обычно проводятся пассивные эксперименты. Объекты при этом находятся в нормальных условиях функциони­рования, а изменение их фазовых координат и выходных пара­метров обусловлено влиянием внешних возмущающих воздейст­вий, носящих случайный характер. В этой связи фазовые координаты и выходные параметры представляют собой случай­ные процессы.

Для получения информации о физических свойствах объек­та, необходимой при построении математической модели, выбирают некоторый интервал дискретизации независимой перемен­ной (времени t) и фиксируют в дискретные моменты времени значения факторов и функций отклика. Эти значения представ­ляют собой случайные последовательности чисел, составляющие непрерывные множества. Необходимо, чтобы эти случайные числа для каждого фактора и каждой функции отклика в отдельности были некоррелированными. Это достигается соответствующим выбором интервала дискретизации времени.

Используя полученные выборки факторов и функций отклика, находят их статистические оценки и осуществляют построение регрессионной модели объекта.  Затем прове­ряется выполнение постулата о некоррелированности столб­цов матрицы факторов. Для этого осуществляется корреляционнный анализ результатов статистических испытаний.

В   процессе   корреляционного   анализа  определяют   оценки коэффициентов парной корреляции r_yx между выбранными для построения математической модели выходными параметрами у_j и факторами х_i, а также между парами факторов х_i и х_k, т.е. оцен­ки коррелированности этих факторов r_xx.

Оценка коэффициента корреляции между у_j и х_i вычисляет­ся по формуле

(1)

где N - число проведенных опытов; у_ju, х_iu - значения перемен­ных у_j  и х_i в u-м опыте; - оценки математических ожида­ний (выборочные средние) соответственно функции отклика у_j и фактора х_i; S_уj, S_хi - средние квадратические отклонения.

Коэффициенты r_yjxi являются элементами корреляционной матрицы  

Аналогично   вычисляются   оценки   коэффициентов   парной корреляции r_xixk между факторами х_i и х_k:

                     (2)

Тогда связь между факторами можно представить корреляционной матрицей

В матрице коэффици­енты корреляции могут принимать значения в пределах 0||l. Если || близко к 1, это свидетельствует о сильной коррелированности факторов х_i и х_k, а при ||=1  эти факторы функционально (не вероятностно) связаны между собой. Оценка влияния каждого из них на функцию отклика по уравнению рег­рессии окажется невозможной. В случае сильной корреляции факторов х_i и х_k один из них следует исключить. Для построе­ния уравнения регрессии  оставляют тот фактор, у которого коэффициент корреляции r_yjxi больше.

Регрессионный анализ результатов пассивного эксперимента выполняется по той же методике, что и активного. Факторы нор­мируют с использованием формул, приведенных для активного эксперимента. Но в пассивном эксперименте значения факторов - случайные числа, поэтому после нормирования каждый из них во всей серии опытов распре­деляется в диапазоне  -1 < х < +1.

Оценка качества предсказания, обеспечиваемого полученной моделью, осуществляется по критерию Фишера F и по коэффициенту детерминации R, вычисляемых по форму­лам:

                                (3)

       (4)

Множественная корреляция

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнением множественной регрессии:

Здесь уже используется не линия регрессии, а поверхность регрессии при к=2 и гиперповерхность при к>2. Эту поверхность называют поверхностью отклика. При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладывают численные значения параметров (факторов). Исходный статистический материал представляют в виде таблицы.

Прежде всего, переходят от натурального масштаба к новому, проводя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

где  y_i , x_1i , x_2i - нормированные значения соответствующих факторов;

y, x_1i,  x_2i - средние значения факторов;

s _у, s _х1, s _х2 - среднеквадратичные отклонения.

s _у, s _х1, s _х2 - среднеквадратичные отклонения.

Исходный статистический материал представляется в новом масштабе.

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен:

Вычисленный по формуле коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе r_xy^*. Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

Коэффициенты этого уравнения находятся из условия:   

Условия минимума функции S определяются так же, как и в случае зависимости от одной переменной:

Система нормальных уравнений имеет вид:

         Умножив левую и правую части уравнений на  1/(N-1, при каждом коэффициенте а_j получается выборочный коэффициент корреляции r^*. Принимая во внимание

получаем систему нормальных уравнений

Решив эту систему, рассчитывают коэффициент множественной корреляции R:

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи и в случае множественной регрессии 0<R<1. Необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

Порядок выполнения работы

Заданы выборки факторов и  функций отклика пассивного эксперимента. Требуется получить уравнение статики .

1. 1.     Получим уравнение регрессии для зависимости .

Поле корреляции

Построим эмпирическую линии регрессии. Для этого весь диапазон изменения фактора T  на поле корреляции разобьем на равные интервалы . Все точки, попавшие в этот интервал, отнесем к его середине. Для этого подсчитаем средние значения функции отклика  в каждом интервале.

Полученные точки последовательно соединим отрезками прямой. Полученная ломанная будет являться эмпирической линией регрессией. По ее виду можно подобрать уравнение регрессии

.

Средние точки на поле корреляции

         По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии. В данном случае оно имеет вид:

 (1)

        Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений функции исходной матрицы от вычисленных по формуле (1). Найдем неизвестные коэффициенты А и В, исходя из этого условия.

        Точку минимума функции S можно искать, используя  необходимые условия экстремума:

1.  

        2.   

Решим систему уравнений и найдем неизвестные коэффициенты.

        Найдем регрессионные значения выходного параметра в точках Tsr   и построим полученные точки.

1. Получим уравнение регрессии для зависимости .

Для этого также сначала получим экспериментальную линию регрессию, по виду которой подберем уравнение регрессии. Найдем неизвестные коэффициенты уравнения путем нахождения экстремума функции, равной сумме квадратов отклонений фактических значений функции отклика от регрессионных.

Программа вычисления средних точек на поле корреляции.

Найденные средние точки отобразим на графике.

В качестве уравнения регрессии выберем полином 4-ой степени:

Найдем коэффициенты полинома.

Матрица G_reg  содержит коэффициенты полинома.

Проверим правильность расчетов с помощью встроенной в MathCad  функции regress.

Если учитывать, что первые три значения  функции regress служебные, то правильность расчетов очевидна. Построим линию регрессии.

1. Вычислим коэффициенты парной корреляции. Сначала найдем  среднеквадратичные отклонения параметров и функции.

Расчеты показывают, что более тесная корреляционная связь между выходным параметром и температурой.

4. Множественная корреляция.

         Получим исходный статистический материал  в новом масштабе. Для этого проведем нормировку всех случайных величин.

;          ;                

Найдем значения парных корреляций путем простого перемножения соответствующих столбцов таблицы и деления на (N-1).

Уравнение регрессии между нормированными параметрами имеет вид:

Найдем неизвестные коэффициенты из уравнения  .

Условия минимума функции S определяются из равенства нулю ее частных производных    ; ….

Система нормальных уравнений имеет вид:

         Решим систему и найдем коэффициент множественной корреляции:

Перейдем к натуральному масштабу по формулам

      .

Таким образом, уравнение множественной корреляции имеет вид:

5. Проверка значимости коэффициентов в уравнении регрессии, адекватности работоспособности регрессионной модели.

Критерий t-Стьюдента доказал значимость всех коэффициентов регрессии. Критерий Фишера доказал, что регрессионная модель более адекватна нежели  модель среднего.

Вывод. На основе результатов пассивного эксперимента получили линейные уравнения регрессии, отражающие зависимость выходного параметра от каждого из входных. Первое из них имеет вид квадратичной зависимости , другое – вид полинома 4-ой степени. Нашли значения парных коэффициентов корреляции. Исследовали корреляционную связь между многими параметрами, пользуясь полученным уравнением множественной регрессии. Проанализировали адекватность и работоспособность модели.