Весь диапазон изменения х на поле корреляции разобьем на равные интервалы=6. Найдем среднее значение Т_ВЫХ на каждом интервале по формуле:

,

где у - Т_ВЫХ, х – P, n – количество точек на интервале. Полученные 6 точек (по одной точке на каждый интервал) последовательно соединяем.

По виду полученной линии регрессии определяем, что зависимость Т_ВЫХ от F  - линейная. Ниже приведена методика нахождения уравнения линии регрессии одной переменной  методом наименьших квадратов (МНК).

Методика нахождения коэффициентов в уравнении линейной регрессии от одного параметра.

Требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии

по выборке объемом N.

Система нормальных уравнений для этого случая имеет вид:

или

Коэффициенты  легко найти в этом случае с помощью определителей

Коэффициенты  проще найти по известному  из первого уравнения системы:                                     

,

где  - средние значения .

Последнее уравнение показывает, в частности, что между коэффициентами  и  существует корреляционная зависимость.

Для оценки линейной связи  вычисляется выборочный коэффициент корреляции r*:

,

где  - выборочные среднеквадратичные отклонения.

Из уравнения имеем:

Зависимость Твых от P (y = Твых, х = P).

=7129, =34.49, =45.39, =5420.094 N=60.

Таким образом, искомое линейное уравнение регрессии для первой зависимости по методу наименьших квадратов:

Т_ВЫХ=-12.32+173.36·P

Сделаем проверку, построив по полученному уравнению прямую.

Итак, теоретически найденная зависимость полностью соответствует линии регрессии.

Выборочный коэффициент корреляции:

(=854412.5211)

Параболическая регрессия

Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при применении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции – параболы второго порядка:

.

В этом случае

;               ;             

и система нормальных уравнений имеет вид:

Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка.

Множественная корреляция 

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии:

.

В нашем случае к=2. То есть здесь мы имеем дело с гиперповерхностью регрессии, или иначе с поверхностью отклика.

Прежде всего перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

;               ;                 ,

где y_i⁰, x_1i⁰, x_2i⁰ – нормированные значения соответствующих факторов,

 - средние значения факторов,

s_y, s_x1, s_x2 – среднеквадратичные отклонения.

;            ;       .

В новом масштабе имеем:

   ;       

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен:

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

.  

Коэффициенты уравнения находятся из условия:

.

Условия минимума функции S определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

;           …     

и система нормальных уравнений имеет вид:

Умножим левую и правую части уравнений на .

В результате при каждом коэффициенте  получается выборочный коэффициент корреляции r*. Принимая во внимание,  получаем систему нормальных уравнений:

Следует иметь в виду, что . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы.

Решив систему, рассчитывают коэффициент множественной корреляции R:

.

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии:

1. G от Pvh

Для определения вида уравнения регрессии построим эмпирическую линию регулятора по данным  таблицы:

Эмпирическая линия регрессии показывает, что функцию целесообразно искать в виде параболы:

Требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты нелинейного уравнения регрессии по выборке объемом  N=60.

Находим коэффициенты a0, a1, a2:

В нашем случае:

Искомое уравнение регрессии:

Сравним графики полученного уравнения регрессии и эмпирической линии:

Для оценки нелинейной связи вычисляется коэффициент корреляции:

Вычислим :

В данном случае коэффициент корреляции =0,863. Т. к. коэффициент корреляции принадлежит интервалу [0,75; 1], то данный входной параметр влияет на выходной и его следует учитывать в уравнении множественной корреляции.

2. G от Tvh

Для определения вида уравнения регрессии построим эмпирическую линию регулятора по данным  таблицы:

Эмпирическая линия регрессии показывает, что функцию целесообразно искать в виде прямой:

Требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты нелинейного уравнения регрессии по выборке объемом  N=60.

Находим коэффициенты b0, b1: 

В нашем случае:

Искомое уравнение регрессии:

Сравним графики полученного уравнения регрессии и эмпирической линии:

Для оценки линейной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции:

Или

Вычислим r:

В данном случае коэффициент корреляции =0,82. Т. к. коэффициент корреляции принадлежит интервалу [0,75; 1], то данный входной параметр влияет на выходной и его следует учитывать в уравнении множественной корреляции.

3. G от Gvh

Для определения вида уравнения регрессии построим эмпирическую линию регулятора по данным  таблицы:

Эмпирическая линия регрессии показывает, что функцию целесообразно искать в следующем виде:

Для определения коэффициентов в уравнении регрессии воспользуемся функцией MathCad – regress():

Искомое уравнение регрессии:

Сравним графики полученного уравнения регрессии и эмпирической линии:

Для оценки нелинейной связи вычисляется коэффициент корреляции:

В данном случае коэффициент корреляции =0,909. Т. к. коэффициент корреляции принадлежит интервалу [0,75; 1], то данный входной параметр влияет на выходной и его следует учитывать в уравнении множественной корреляции.

Вывод

Мы провели корреляционный анализ и получили коэффициенты уравнения регрессии. Коэффициенты работоспособности и множественной корреляции равны, что свидетельствует о правильности произведенных выше расчетов.

Приложение 1

t-распределение Стьюдента. Значения t(ν₃, q) в зависимости от числа степеней свободы ν₃ и уровня значимости q=P[t > t_ν3,q]

Приложение 2

F -распределение Фише­ра. Значения F(ν₄, ν₃, q) в зависимости от числа степеней свободы ν₄, ν₃, и уровня значимости q=Р[F > F(ν₄, ν₃, q)]=0,05