СКАЧАТЬ:  444.zip [365,33 Kb] (cкачиваний: 54)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

    АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА АВТОМАТИЗАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ОТЧЕТ ПО

ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ № 1,2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ВАРИАНТ № 5

 выполнил: студент гр.

проверил: ст. преподаватель

.

Альметьевск

Лабораторная работа№1

Определение коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов

Цель работы

Нахождение коэффициентов в уравнении регрессии с применением метода наименьших квадратов (МНК) с использованием программы Mathcad.

Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК)

Задача определения параметров уравнения регрессии  сводится к определению минимума функции многих переменных.

Если  есть функция дифференцируемая, то требуется выбрать  при выполнении минимума квадратичного критерия:

                                             (1.1)

Линейное приближение по МНК

Пусть искомая функция  f(x,) является линейной относительно х. В этом случае задача сводится к отысканию двух параметров а₀ и а₁ в зависимости

                                  f(x,)= а₀ + а₁х.                                                          (1.2)

Критерий (1.1) примет вид

                                                                               (1.3)

Условия минимума этого критерия таковы:

                                                                    (1.4)

Система уравнений (1.4), получаемых дифференцированием выражения (1.3), имеет вид:

                                                       (1.5)

или, после преобразований,

                                                (1.6)

Метод Крамера для решения системы линейных уравнений (1.6) приводит к следующим формулам для искомых параметров:

                                (1.7)

Частными случаями уравнения линейной регрессии с одной независимой переменной х являются:

- полиномиальная регрессия, когда

                                                                                      (1.8)

и ее разновидности – линейная регрессия от одной переменной (m=1):

                                                                                                    (1.9)

и параболическая регрессия (m=2):

                                                                                          (1.10)

- трансцендентная регрессия и ее разновидности

в виде зависимости показательного типа:

                                                         (1.11)

которая линеаризуется путем логарифмирования:

                                                  (1.12)

и дробно-показательного типа:

                                                       (1.13)

которая также линеаризуется путем логарифмирования:

                                           (1.14)

 Обозначим , , , тогда после подстановки получим:

. После определения коэффициентов ,  и используя операцию, обратную логарифмированию, получим исходное степенное уравнение.

Для обратно-пропорциональной зависимости: если точечный график дает ветвь гиперболы, приближающую функцию можно искать в виде

                                                         (1.15)

Для перехода к линейной функции сделаем подстановку u=1/x.

                                                         (1.16)

Практически перед нахождением приближающей функции вида (1.16) значения аргумента следует заменить обратными числами. Полученные значения парамет­ров а и b подставить в формулу (1.15).

Эмпирическое корреляционное отношение, характеризующее тесноту связи между X и Y, определяется следующим образом:

                                     (1.17)

Для оценки силы линейной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции:

                                            (1.18)

Здесь определяются по формулам

                                                          (1.19)

                                                              (1.20)

Коэффициент корреляции характеризует не любую зависимость, а только линейную. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины Х и У связаны точной линейной функциональной зависимостью у=а₀+а₁х, то ; причем знак соответствует знаку коэффициента а₁. В общем случае, когда величины Х и У связаны произвольной стохастической зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах -1.   

Задание

Определить коэффициенты в уравнении регрессии, используя МНК.

Решение

Задаем исходные данные в следующем виде:

Обозначения:  х – входной параметр; у - выходной параметр.

Разделим все множество X на 5 интервалов и на каждом интервале и найдем среднее значение   y:

             Полученные значения запишем в виде:

По исходным данным получим поле корреляции Y1=f(X) и по средним точкам построим ломаную:

Определим вид уравнения регрессии и параметры уравнения регрессии

Определим коэффициенты для линейной зависимости:

1 способ: с помощью функции line(x,y)

2 способ:

Как видим, коэффициенты совпадают.       

Следовательно, линейная зависимость имеет вид:

Построим график линейной зависимости:

Определим коэффициенты для полиноминальной зависимости:

1 способ:

2 способ:

с помощью встроенной функции regress(x,y,n), где n – порядок полинома.

Параболическая зависимость имеет следующий вид:

Построим график параболической зависимости

Определим коэффициенты для гиперболической зависимости:

1 способ:

2 способ:  используя функцию line(x,y)

Гиперболическая зависимость имеет следующий вид:

Построим график гиперболической зависимости:

Определим коэффициенты степенной зависимости:

Степенная зависимость имеет вид:

Построим график степенной зависимости:

Определим суммы квадратов отклонений вычислительных значений каждой функции от заданных у.

Линейная зависимость:

Параболическая зависимость:

Гиперболическая зависимость:

Степенная зависимость:

Сравним полученные результаты.

Сумма квадратов отклонений для линейной функции Q11=25,983, для параболической Q33=10,972, для гиперболической Q55=234,452, для степенной Q44=1,168*10³. Сравнивая качество приближений, находим, что приближение в виде параболической зависимости в данном случае предпочтительнее.

Лабораторная работа№2

Регрессионный анализ данных в Mathcad

Цель работы

Проведение регрессионного анализа в Mathcad.

Теоретические сведения

Полиномиальное приближение функций

В тех случаях, когда линейное приближение оказывается неудовлетворительным, т.е. дает значительное отклонение расчетной зависимости от аппроксимируемой, используется приближение полиномами второй степени и выше (m>2) вида:

                                                       (1.21)

Рассмотрим вывод матричной формулы для определения коэффициентов многочлена второй степени (m=2).

Определение параметров а₀, а₁, а₂ по методу наименьших квадратов сводится к нахождению минимума критерия (1.3) как функции трех переменных:

                                           (1.22)

Необходимые условия минимума этого критерия имеют вид:

                                               (1.23)

или        

                                       (1.24)

Регрессионный анализ проводится после того, как определен вид уравнения регрессии и найдены значения его коэффициентов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов уравнения регрессии и устанавливается адекватность уравнения.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости  остаточная дисперсия определяется следующим образом:

.                                               (1.25)

Тогда адекватность принятого уравнения оценивается сравнением  и дисперсии относительно среднего : 

                                                 (1.26)

по критерию Фишера

.                                                   (1.27)

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное:

, ,

для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы, тем эффективнее уравнение регрессии.

         В MathCAD табличное значение критерия Фишера с учетом принятой доверительной вероятности γ и чисел степеней свободы определяется оператором qF(γ, k1, k2).

Этапы построения уравнений приведены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Этапы построения уравнений

Задание

Провести регрессионный анализ для зависимостей, полученных в лабораторной работе № 1

Решение:

Расчет относи тельной погрешности для зависимости

1)    Гиперболичесая зависимость:

2) Параболическая зависимость:

3) Степенная зависимость:

1. Проверка адекватности выбранного уравнения. Выбираем в качестве приближения параболическую зависимость.

По формулам оцениваем адекватность принятого уравнения.

Определяем табличное значение критерия     Фишера:                          или находим по таблице в приложении 1.

 т. е. ^F > ^Ft , следовательно, модель адекватна.

                            Таблица1 Значения критерия Фишера

3. Построение эмпирической линии и графика по уравнению:

Вывод: Таким образом, в работе полечена математическая модель по результатам пассивного эксперимента. Уравнение адекватно, так как критерий Фишера превышает табличное значение.