Цель и содержание работы

Цель данной работы – получение навыков по построению полей корреляции, определению вида линий регрессии  (прямая, парабола), записи уравнения регрессии от каждого параметра. В ходе работы должны научиться определять влияние каждого входного параметра на основной  выходной параметр путём подсчета коэффициента корреляции.

Основные сведения из теории

При проведении экспериментов на реальных объектах независимое варьирование факторов в большинстве слу­чаев оказывается невозможным, поэтому для получения их мате­матических моделей обычно проводятся пассивные эксперименты. Объекты при этом находятся в нормальных условиях функциони­рования, а изменение их фазовых координат и выходных пара­метров обусловлено влиянием внешних возмущающих воздейст­вий, носящих случайный характер. В этой связи фазовые координаты и выходные параметры представляют собой случай­ные процессы.

Для получения информации о физических свойствах объек­та, необходимой при построении математической модели, выбирают некоторый интервал дискретизации независимой перемен­ной (времени t) и фиксируют в дискретные моменты времени значения факторов и функций отклика. Эти значения представ­ляют собой случайные последовательности чисел, составляющие непрерывные множества. Необходимо, чтобы эти случайные числа для каждого фактора и каждой функции отклика в отдельности были некоррелированными. Это достигается соответствующим выбором интервала дискретизации времени.

Используя полученные выборки факторов и функций отклика, находят их статистические оценки и осуществляют построение регрессионной модели объекта  

Задачи корреляционного анализа – исследование тесноты корреляционной связи между переменными процесса и получение коэффициентов уравнения регрессии через коэффициенты парной корреляции. Теснота корреляционной связи исследуется путем вычисления коэффициентов парной и множественной корреляции, взаимной и автокорреляционных функций.

В   процессе   корреляционного   анализа  определяют   оценки коэффициентов парной корреляции r_yx между выбранными для построения математической модели выходными параметрами у_j и факторами х_i, а также между парами факторов х_i и х_k, т.е. оцен­ки коррелированности этих факторов r_xx.

Оценка коэффициента корреляции между у_j и х_i вычисляет­ся по формуле

где N - число проведенных опытов; у_ju, х_iu - значения перемен­ных у_j  и х_i в u-м опыте; - оценки математических ожида­ний (выборочные средние) соответственно функции отклика у_j и фактора х_i; S_уj, S_хi - средние квадратические отклонения.

В матрице коэффици­енты корреляции могут принимать значения в пределах 0||l. Если || близко к 1, это свидетельствует о сильной коррелированности факторов х_i и х_k, а при ||=1  эти факторы функционально (невероятностно) связаны между собой. Оценка влияния каждого из них на функцию отклика по уравнению рег­рессии окажется невозможной. В случае сильной корреляции факторов х_i и х_k один из них следует исключить. Для построе­ния уравнения регрессии  оставляют тот фактор, у которого коэффициент корреляции r_yjxi больше.

Метод наименьших квадратов (МНК)

Метод подбора эмпирических зависимостей является общей частью корреляционного и регрессионного анализов, задача которых получение коэффициентов уравнения регрессии. Как корреляционный, так и регрессионный анализы состоят из двух частей: расчет коэффициентов уравнения регрессии методом МНК и статистическая оценка результатов. Если МНК можно применять для любых статистических данных, распределенных по любому закону плотности вероятности, то дать статистическую оценку полученным коэффициентам и уравнению регрессии можно лишь на основе определенных теоретических предпосылок. Корреляционный и регрессионный анализы различаются теоретическими предпосылками, т.е. способами статистической оценки.

        Для минимизации отклонений между экспериментальными и расчетными значениями рекомендуется использовать метод наименьших квадратов. Напомним кратко суть метода.

        Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y.         Итогом этих испытаний является таблица:

где каждому числу x_i (величину  рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число  (величину  рассматриваем как зависимый показатель – результат).

        Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

        Пусть точки с координатами (x_i,y_i) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a₀ и a₁ этой прямой:

y = a₀ + a₁x,                                                              (*)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (x_i, y_i).

        Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (*). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S² = (y₁ – (a₀ + a₁x₁))² + (y₂ – (a₀ + a₁x₂))² +...+ (y_n – (a₀ + a₁x_n))² =

.

        Обратим внимание на то, что все x_i и y_i - известные из таблицы числа, а S² есть функция двух переменных a₀ и a₁:          S² = S²(a₀,a₁).

        Можно показать, что график функции S² выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производные  и  равны нулю, является точкой минимума.

        Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

,                                        (**)

.                                    (***)

        На самом деле для функции S² = S²(a₀,a₁) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Уравнения (**) и (***) можно преобразовать:

.

        Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a₀ и a₁.

        Формула (*) с параметрами a₀, a₁, определенными из данной системы, называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии.

        Если экспериментальные точки в плоскости  группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (*) другую подходящую формулу, например, y = a₀ + a₁x + a₂x² или y = a₀ exp(a₁x) с параметрами соответственно a₀, a₁, a₂ и a₀, a₁, подставить ее в выражение  и искать минимум получившейся функции S² при помощи частных производных по параметрам.

Расчетная часть

Задание

Определить зависимость выходной температуры Т_вых, ⁰С от входной температуры Т_вх, ⁰С и от расхода F, м³/ч при заданных значениях:

Порядок выполнения работы 

1. Определим зависимость Т_вых, ⁰С от Т_вх, ⁰С. 

Задав их значения  в виде матриц, получим поле корреляции:

Как видно из графика, нет необходимости в нахождении средних точек и линии регрессии, т.к. очевидно, что вид прямой – парабола.

Координаты этих точек:

Уравнение регрессии будет иметь вид:

В MathCad рассчитать полиномиальную регрессию, т.е. найти коэффициенты уравнения регрессии можно при помощи встроенной функции regress (x,y,n), где x и y – векторы экспериментальных данных, n – порядок полинома.

1. Определим зависимость Т_вых, ⁰С от F, м³/ч. 

Поле корреляции имеет вид:

Разделим область на 10 интервалов и определим средние точки в каждом из них. Координаты полученных точек и линия регрессии имеет вид:

Построим график с помощью функции loess:

1. Оценим связь между Т_вых, ⁰С и Т_вх, ⁰С ;  Т_вых, ⁰С и F, м³/ч.

1)

2)

Теперь необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, используя уравнение множественной корреляции:

,

где y - Т_вых, ⁰C, x₁ - Т_вх, ⁰С, x₂ - F, м³/ч.

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии.

Теперь для того, чтобы найти уравнение множественной регрессии, необходимо перейти к натуральному масштабу.

ВЫВОД: В ходе данной лабораторной мы научились определять вид кривой регрессии, находить коэффициенты и строить уравнения регрессии с помощью встроенных функций MathCad. Также определили зависимость выходной температуры от входных температуры и расхода, т.е. в результате нашли уравнение множественной корреляции.