О САЙТЕ
Добро пожаловать!

Теперь вы можете поделиться своей работой!

Просто нажмите на значок
O2 Design Template

ФЭА / АИТ / Метод множественной корреляции для определения коэффициентов корреляций между входными и выходной переменными процесса. Определение коэффициентов множественной корреляции

(автор - student, добавлено - 8-04-2014, 11:59)

СКАЧАТЬ:  metod-mnozhestvennoy-korrelyacii-metod-mnozhestvennoy-regressii-brandona-97-2003.zip [2,26 Mb] (cкачиваний: 40)

 

Метод множественной корреляции

для определения коэффициентов корреляций

между входными и выходной   переменными

процесса. Определение коэффициентов

множественной корреляции

Коэффициенты корреляции  характеризуют линейные вероятностные зави­симости между двумя случайными величинами. На практике необходимо оценивать эти зависимости между выходными переменными процессов и многими входными, а также зависимости между различными входными переменными. Для количествен­ной характеристики таких связей используют коэффициенты множественной корре­ляции.

Для установления корреляционных связей между многими переменными исполь­зуется метод множественной корреляции, основанный на использовании линейного уравнения вида (1):    

 ,                                                                       (1)

где   - входные переменные, влияющих на состояние процесса;  - расчетное значение выходной переменной, которое характеризует состояние протекающе­го    процесса ;  – определяемые из экспериментов коэффициенты регрессии.

Доя определения коэффициентов (1) может использоваться таблица резуль­татов пассивного эксперимента в натуральном масштабе (табл. 1).

Таблица 1. Результаты пассивного эксперимента на действующей установке в натуральном масштабе переменных

Номер опыта

 

 

 

y

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Для большего удобства обработки результатов экспериментов и определения корре­ляционных зависимостей между переменными в соответствии с методом множествен­ной корреляции производится нормировка всех переменных процесса по формулам:

       (i=1,…,n)                                                  (2)

      (i=1,…; j=1,…,m).                                     (3)

В этом случае:

         и         =                                   (4)

         и           (j=1,…,m)                               (5)                            

В результате получается уравнение регрессии (1) между нормированными переменными в безразмерном масштабе, которое не имеет свободного члена и мо­жет быть представлено в виде:

  ,                            (6)

где  - нормированные коэффициенты, а данные пассивного эксперимента для нормированных переменных представлены в табл. 2.

Таблица 2. Результаты пассивного эксперимента для нормированных переменных в безразмерном масштабе

 

Номер опыта

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Для переменных процесса в натуральном масштабе выборочные коэффициенты корреляции определяются по формулам (4):

     (j=1,…,m);                          (7)

   (l, u=1,…,m; l >u).                       (8)

При этом  и   (j=1,…,m) рассчитываются по соотношениям (4) и (5).

В случае нормированных переменных в безразмерном масштабе    (i =1,…,n) (2) и   (i = l,...,n;y = l,...,m) (3), следует определять следующие величины  для вычисления выборочных коэффициентов корреляции:

                              ===0                                    (9)

= = =0   (j=1,…,m)               (10)

и с учетом (4), (5) и (9), (10):

 

 

 = =   = 1;  (11)

====

==1,              (j=1,…,m)                              (12)

 

В результате для нормированных переменных в безразмерном масштабе форму­лы для выборочных коэффициентов корреляции записываются следующим образом [ (4). (7) и (8)]:

   (j=1,…,m)                       (13)

 

=   (l, u=1,…,m; l >u).                    (14)

и принимая во внимание полученные равенства (9), (10), (11) и (12), выборочные коэффициенты корреляции между всеми входными переменными и выходной переменной определяются как

=  (j=1,…,m)                                                  (15)

=   (l, u=1,…,m; l >u).                                           (16)     

 

 

Для определения коэффициента множественной корреляции между выходной пе­ременной у и всеми входными переменными хj (j=1,…,m) также используют нор­мированные переменные (2) и (3) и одновременно с выборочными коэффи­циентами (5) рассчитывают нормированные коэффициенты регрессии уравне­ния (6).

Для этой цели используется таблица экспериментов (см. табл. 2) и критерий наименьших квадратов вида :

Cr = = ,                              (17)

который минимизируется с учетом необходимого условия экстремума функций мно­гих переменных:

 =    (u=1,…,m)                      (18)

В результате получается система нормальных неоднородных линейных уравне­ний с симметричной матрицей коэффициентов :

 

(19)Для преобразования элементов матрицы коэффициентов этой системы и элементов вектора свободных членов в выборочные коэффициенты корреляции (15) и (16) необходимо ее левую и правую части разделить на

(n-1) и принять во внимание, что в соответствии с равенствами (3) и (5) диагональные элементы матрицы коэффициентов системы (19) равны:

=   (j=1,…,m).                  (20)

В результате получается линейная система уравнений с выборочными коэффициентами корреляции, при решении которой определяются нормированные коэффициенты регрессии , уравнения (6):

                               (21)

В этой системе уравнений перекрестные выборочные корреляции равны между собой, т.е.

    (u, l=1,…,m),                                              (22)

и значения m нормированных коэффициентов уравнения (6) определяются путем решения линейной системы уравнений (21) методом обратной матрицы. По найденным значениям нормированных коэффициентов регрессии коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:

R=,                                     (23)

он служит показателем силы связи для множественной регрессии и значения которого  располагаются в замкнутом интервале 0≤R≤1.

           Нормированные коэффициенты регрессии  ,  также могут использоваться для прогнозирования поведения процесса с использованием линейного уравнения регрессии (1):

.                                                       (24)

Для определения коэффициентов регрессии а0, a1,..., am  уравнение (6) с нормированными коэффициентами регрессии ,  записывается с учетом системы нормировки переменных (2) и (3) в виде:

=                                                      (25)

в результате чего коэффициенты регрессии уравнения (24) определяются по формулам:

                                      (26)

   (j=1,…,m)                                          (27)

 

Метод множественной корреляции позволяет определять не только коэффициенты множественной корреляции (23), характеризующие линейную зависимость между выходной переменной и множеством входных переменных. Он также позволяет оценить линейную связьмежду двумя любыми переменными: входные-входные (16) и выходная- входная (15), что имеет важное практическое значение.

 

Метод множественной регрессии Брандона для построения нелинейных эмпирических моделей 

Применение этого метода позволяет определять как вид уравнения регрессии (структурная идентификация), так и его коэффициенты (параметрическая иденти­фикация). При этом вид, в общем случае, нелинейного уравнения регрессии пред­ставляется произведением многочленов различных степеней от каждой входной пе­ременной. Большой объём экспериментального материала и правильный выбор при­оритетности построения многочленов для различных входных переменных могут обеспечить удовлетворительный результат при построении эмпирических моделей.

Ставится задача определить зависимость одного основного параметра системы у (выходная переменная) от r других параметров х1, х2, х3,..., хr (входные переменные), т.е. необходимо найти функцию:

y = F(x1,x2,x3,...,xr).      (28)

Необходимо решить задачи структурной и параметрической идентификации. Эти задачи решаются, исходя из опытных данных, получаемых в результате проведения пассивного эксперимента, в том числе и промышленного. При этом эксперимен­тальные данные представляются в виде табл. 3 (п — общее число опытов).

В рассматриваемом методе множественной регрессии предполагается, что функ­ция F является произведением некоторых функций отдельных параметров:

y = Kf1(xl)∙f2(x2)∙f3(x3)∙...∙fr(xr),                           (29)

где К— некоторый коэффициент.

Предполагается, что каждая функция fi(xi) описывается многочленом произволь­ной степени т;

fi(xi)= +           (30)

причем конкретная степень многочлена т и его коэффициенты   опреде­ляются из экспериментальных данных.

Таким образом, по экспериментальным данным табл.4 определяются:

  • К — общий коэффициент уравнения (29);
  • тiстепень многочлена для каждой из r функций fi(xi) (i=1,…,r);
  • ajiсоответствующие коэффициенты для каждой из п функций (j= 0, 1, ..., тi; i=1,…,r).

В результате одновременно определяется вид функций fi(xi)  — путем нахождения оптимальных степеней многочленов тi, а также значения соответствующих коэффи­циентов регрессии aji , и только после этого определяется параметр К.

  Таблица 4. Результаты экспериментальных исследований

x1

x2

xr-1

xr

y

1

x11

x12

x1.r-1

x1r

y1

2

x21

x22

x2.r-1

x2r

y2

n-1

xn-1,1

xn-1.2

xn-1.r-1

xn-1.r

yn-1

 

Обязательным условием реализации рассматриваемой стратегии множественной регрессии является последовательное определение коэффициентов регрессии оптимальных степеней многочленов fi(xi), соответствующих параметрам хi по мере убывания их влияния на выходную переменную у. Поэтому в таблице экспериментных данных целесообразно входные переменные х1, ..., хn располагать в порядке убывания степени их влияния на выходную переменную у.

На первом этапе определяются коэффициенты линейной регрессии  методом наименьших квадратов по экспериментальным данным  т.е. данные для входных переменных берутся из первого столбца

табл. 4.

Ставится задача как определения степени многочлена  (30) путём увеличения т в (31) последовательно до тех пор, пока критерий Сr (31) уменьшается, так и определения коэффициентов регрессии . При этом вектор считается равным .

Критерий аппроксимации в соответствии с методом наименьших квадратов имеет вид:

Cr=                                            (31)

Коэффициенты регрессии  определяются путем минимизации этого критерия с использованием необходимого условия экстремума функции (в данном случае критерия Сr многих переменных):

Cr=Cr (а0, а1, ...аm).                                      (32)

                   В результате получается:

 

 

 =   (s=0,1,…,m)        (33)

Перемножив соответствующие члены уравнений

   (s=0,1,…,m)                       (34)

и выполнив перегруппировку слагаемых их левой части, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов регрессии аа, a1, ..,am:

   (s=0,1,…,m)                        (35)

В развернутом виде система линейных уравнений для определения коэффициентов регрессии записывается в виде (36):

 

 

 

или в матричной форме:

×=          (37)

 

 

 

В этом случае матрица коэффициентов этой системы уравнений получается сим­метричной и для ее решения используется метод обратной матрицы.

Если обозначить матрицу коэффициентов через  с размером + 1)×+ 1), вектор определяемых коэффициентов регрессии через с разме­ром (т + 1), а вектор свободных членов через , то матричная формула для опреде­ления коэффициентов регрессии методом обратной матрицы имеет вид :

                                                                (38)

            Задача выбора оптимальной степени многочлена

 решается на отдель­но м (в данном случае первом этапе, так как х =x1) решается путем постепенного увеличения m: 1, 2, 3 и т.д. и определением для каждого его значения коэффициен­тов регрессии по матричной формуле (38).

Выбор оптимального значения m на отдельном этапе осуществляется путем оцен­ки значения двух факторов:

  • •остаточной дисперсии S2R;
  • •числа относительной обусловленности матрицы коэффициентов  в линейной системе уравнений — cond().

Остаточная дисперсия S2R характеризует точность уравнения регрессии (в данном случае уравнения многочлена) и определяется по формуле :

S2R=                                                        (39)

где  находится с помощью рассчитанных значений коэффициентов регрессии по формуле:

=              i=1,…,n,                                         (40)

а p- количество коэффициентов регрессии при выбранной степени многочлена.

Число относительной обусловленности матрицы коэффициентов   характеризует максимально возможный эффект от возмущений при расчете ее элементов и элементов вектора свободных членов на результат решения линейной системы (37), т.е. на значение коэффициентов регрессии. Чем меньше это число, тем надежнее получаемые значения коэффициентов регрессии. Оно определяется с использованием норм прямой и обратной матриц коэффициентов линейной системы уравнений (36) по следующей формуле :

cond=∙.                                  (41)

В результате оптимальная степень многочлена и его коэффициенты на первом этапе построения эмпирической модели (m1) определяются при наименьших

значениях  S2R  и  cond(). Таким образом, на первом этапе построения эмпирической модели получается конкретное выражение для функции f1(x1) в уравнении регрессии, которое имеет вид:

f1(x1)==                 (42) 

На втором этане построения эмпирической модели аналогичным путем определяются конкретный вид f2(x2) и оптимальная степень многочлена т2:

f2(x2)==                  (43)

При этом обрабатываются экспериментальные данные второго столбца (х2) табл.4,и элементы вектора выходной переменной у вычисляются по формуле:

=,  i=1,…,n                                  (44)

На третьем этапе по аналогичной схеме определяются конкретный вид  и оптимальная степень многочлена m3:

 ==                        (45)         

Для этой цели используются экспериментальные данные третьего столбца табл.4 и элементы вектора выходной переменной у вычисляются по формуле:

=,  i=1,…,n                       (46)                        

На r-этапе расчетов для получения конкретного вида функции fr(xr) и оптимальной степени многочлена

 

 ==                      (47)  

повторяется та же процедура расчетов, что и на предыдущих этапах.

Из табл. 4 берутся элементы вектора последнего столбца xr, а элементы вектора выходной переменной у вычисляются по формуле:

 

=,  i=1,…,n.            (48)  

 

Последним определяется значение К в уравнении эмпирической модели (28) по следующей формуле:

K=/n.                                                    (49)

 

В результате получается конкретный вид функции (49) с известным значением коэффициента К, а также коэффициентов функций f1(x1),…, fr(xr) с оптимальными порядками многочленов для них- m1,…,mr (30).

 

Полученная функция представляет собой в общем случае нелинейную эмпирическую математическую модель технологического процесса, для которого были проведены экспериментальные исследования, представленные в табл.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Метод множественной корреляции.

Найдем выборочные коэффициенты корреляции

Для Х1 (линейная зависимость):

 

 

 

Для Х2 (гиперболическая зависимость):

 

 

 Для Х3(гиперболическая зависимость):

 

 

 

 

 

Для Х4 (гиперболическая зависимость):

 

 

Из найденных значений следует, что параметры , и влияют на величину выходного параметра и математическая модель определяется уравнением множественной регрессии для случая трех факторов.

 

Выборочные коэффициенты корреляции:

 

 

 

 

Найдем коэффициенты а1,а2,а3:

 

Определим коэффициент множественной корреляции R :

 

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии: 0≤R≤1.

Перейдем к натуральному масштабу:

 

Получим уравнение множественной корреляции:

Y(X1,X3,X4)=211.773+0.911*X1-0.349*X3+1.022*X4

 

 

Метод множественной регрессии Брандона.

Найдем коэффициенты множественной регрессии, остаточную дисперсию и число относительной обусловленности матрицы коэффициентов  при различных значениях m для Х4:

 

 

 

 

 

 

 

 

Наименьшее значение   и cond достигается при m=2.

Из этого следует, что

 

Найдем коэффициенты множественной регрессии, остаточную дисперсию и число относительной обусловленности матрицы коэффициентов  при различных значениях m для Х1:

 

 

 

 

 

 

 

 

Наименьшее значение   и cond достигается при m=2.

Из этого следует, что

 

 

Найдем коэффициенты множественной регрессии, остаточную дисперсию и число относительной обусловленности матрицы коэффициентов  при различных значениях m для Х3:

 

 

 

 

 

 

 

 

Наименьшее значение   и cond достигается при m=2.

Из этого следует, что

 

 

 

Рассчитываем коэффициент К:

 

Таким образом, уравнение множественной регрессии Брандона имеет вид:

 


Ключевые слова -


ФНГ ФИМ ФЭА ФЭУ Яндекс.Метрика
Copyright 2021. Для правильного отображения сайта рекомендуем обновить Ваш браузер до последней версии!