Линейные пространства.-мн-во L наз-я л.п., если в нём определены операции сложения и умножения на числа, т.е. каждой паре элементов х,у из L опред-н элем-т Z из L к\й наз-ся их суммой.

"х,уÎL ZÎL Z=x+y. И для любого числа a и любого числа Х из L опред-н эл-т t из L к\й наз-ся произ-м."aÎR; "хÎL;tÎL;t=ax.

При этом выполнима аксиома:1коммут-й х+у=у+х;2Асоциат.х+(у+

z)=(x+y)+z;3Диструб-й 0ÎL: х+0=х; "хÎL.4Отриц-е числа (проти-

воположный эл-т) "хÎL, $-хÎL : х+(-х)=0  5)1·х=х,"хÎL 6)a(bх)=(ab)х, "хÎa, "a,bÎR. 7)(a+b)х=aх+bх,"хÎL, "a,bÎR. 8)

a(х+у)=aх+aу,"aÎR. Пример: L=R      Rквадрат (х,у); (х1,х2)+(х2,

y2)       Т.(х1+х2, у1+у2)    a(х,у)=(aх,aу);  хуÎR; (у1,…уn)=у (х1,..

хn)=х; R встепени n –упорядоченный набор из n чисел. Х+у=(х1+

у1,…,xn+yn); L=R+; х,у . хÅу= х·у; хÅ1=х·1; -х=1/х; хÅ-х=х·1/х=1

Свойства:1)Единственность нулевого эл-та. Док: 0 0´;  0=0+0´=

0´+0=0´ 2)Единст-ть противоп-го эл-та   х   -х   -х´;-х´=-х+0=

-х´+(х+(-х´))=(-х´+х)+(-х)=0+(-х)=-х  3)нулевой эл-т О=0·х "хÎL

0·х=0·х+0=0·х+(х+(-х))   (0·х+х)+(-х)=(0·х+х)+(-х)=(0+1)х

+(-х)   1х+(-х)=х+(-х)=0       4) "х        -х=(-1)х    (-1)х+х=

(-1)х+1