ФЭА / Высшая математика / Лекции по высшей математике
(автор - student, добавлено - 19-02-2013, 15:24)
Скачать:
Таблица основных интегралов. 1. , Здесь и в последующих формулах С – произвольная постоянная 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. , 11. 11/ , 12. , 12/. , 13. , 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. , Основные методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Пример 1: Пример 2: 2. Метод подведения под знак дифференциала Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. d u= d (u+C), С – const d u= d (Cu), С – const, С 0 udu= d ( ) cos udu=d(sin u) sin udu=-d(cos u) du = d(ln u) Вообще f(u)du = d(f(u)), эта формула часто используется при вычислении интегралов. 1) 2) 3) 3. Метод подстановки (замена переменной) Пусть требуется вычислить: , при этом функции f(x) и (x) непрерывны на заданном интервале, тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки : t = u(x) Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Иногда удобна подстановка x = (t) 1) = 2) = 4. Метод интегрирования по частям. Пусть u и v – непрерывные, дифференцируемые функции от х На основании формулы дифференциала произведения имеем : udv=d(uv)-vdu Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем, после нахождения u и v используется формула , иногда эта формула может использоваться несколько раз. Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1) , , P(x) = u Остальное – dv 2) , , , u = arcsinx, ( u=lnx) dv=P(x)dx 3) , u = dv – остальное Пример. 1. 2. 3. 4. 5. Разложение правильной дроби на простейшие Правильные дроби следующих типов называются простейшими: 1) 2) (k = 2, 3…) 3) 4) (n=2, 3...) При этом предполагается, что A ,B,p,q – действительные числа, а квадратных трёхчлен не имеет действительных корней. Примеры: 1). = 2). 3). Суть метода неопределенных коэффициентов 1. Правую часть равенства приводим к общему знаменателю. В результате получаем = , где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. 2. Так как знаменатели равны, то равны и их числители P(x)=S(x) 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений, из которой и определим коэффициенты. Пример: Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Метод неопределённых коэффициентов: A+B=2 A=2-B -2A+C-B=-3 -4+2B+C-13=-3 5A-C=-3 10-5B-C=-3 A=2-B B=3 B+C=1 A=-1 5B+C =-3 C=-2 Пример. Метод частных значений: x=0 -4=-2A A=2 x=2 2=6B B= x=-1 -7=3C C= 6. Интегрирование простейших рациональных дробей Найдём интегралы от простейших рациональных дробей. I II III = Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Уравнение вида где – независимая переменная, у – искомая функция, - её первая производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид и называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. Определение. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. Условия , в силу которых функция принимает заданное значение в заданной точке называют начальными условиями решения. Уравнения с разделёнными переменными Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными. Его решение . Пример 1. Решить уравнение Решение. Уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя, находим общий интеграл: Пример 2. Решить уравнение . Решение. Уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его , находим общий интеграл: Уравнения с разделяющимися переменными. Определение. Уравнение вида где - непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пример 3.Решить уравнение . Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, получаем - общий интеграл и - общее решение. Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего условию . Решение. Разделяя переменные, получаем . Тогда интегрируя, находим Общий интеграл уравнения имеет вид . Используя начальное условие , находим С: Тогда частный интеграл . Пример 5. Найти частное решение уравнения Решение. Преобразуем уравнение к виду . Разделяя переменные и интегрируя, получим . Имеем . Учитывая, что имеем: Следовательно, Откуда есть частное решение исходного уравнения. Линейные уравнения. Определение. Уравнение вида непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если то уравнение называется линейным однородным уравнением. Если то уравнение называется линейным неоднородным. Для его решения применяют метод подстановки. Пример 6. Найти общее решение уравнения . Решение. Найдём общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим . Потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы . Подставляя найденное значение в уравнение , найдём Но . Пример 7. Найти частное решение (интеграл) уравнения , если указаны начальные условия: у(1)=2. Решение. Это линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Бернулли. Пусть . Подставляя в уравнение, имеем: . 1) . 2) . Отсюда получаем общее решение уравнения . Учитывая условие у(1)=2, получаем: 2 = (1 + С), т.е. С = 1. Частное решение исходного уравнения . Уравнение Бернулли. Определение. Уравнение вида - непрерывные функции, называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается, также как и линейное, подстановкой Пример 8. Решить уравнение . Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Применим подстановку . Имеем . Или . Откуда 1) . 2) . Следовательно, решение уравнения . Уравнение в полных дифференциалах. Определение. Уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если . Если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то его можно представить в виде: . Откуда следует, что общее решение уравнения имеет вид . Функция U(x,y) может быть найдена по формуле , где , в которой интегралы в правой части формулы имеют смысл. Пример 9. Решить уравнение . Решение. Это уравнение в полных дифференциалах. Здесь . Значит, существует функция такая, что Поэтому Дифференцируя найденную функцию по у, получим выражение Следовательно, Пример 10. Найти общий интеграл уравнения Решение. Здесь, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём общий интеграл по формуле . Пусть , тогда Пример 11. Решить уравнение Решение. Уравнение в полных дифференциалах, так как . Вычислим Беря все известные члены первого результата, и дописывая к ним недостающие члены, зависящие только от у, второго результата, получаем общее решение исходного уравнения Учитывая, что у(0)=0 имеем: С = 1. Следовательно, частный интеграл исходного уравнения . Таким образом, чтобы решить уравнения первого порядка надо знать его вид и способ решения. уравнение вид решение 1 с разделёнными переменными или 2 с разделяющимися переменными 3 однородное или 4 линейное 5 Бернулли 6 в полных дифференциалах Задание 1. Вычислить интегралы, где – номер варианта, Задание 2. Решить дифференциальные уравнения 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. 2. Найти решение задачи Коши. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 3. Найти решение уравнения 1. 12. 2. 13. 3. 14. 4. 15. 5. 6. 16. 7. 17. 8. 9. 18. 10. 19. 11. |
|