ФЭА / Высшая математика / Шпаргалка по высшей математике Интегралы
(автор - student, добавлено - 1-12-2012, 23:20)
СКАЧАТЬ:
§1. Неопределенный интеграл и его свойства. Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство: F'(x)= ƒ(x). Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x); Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение: F1(x) – F2(x) = C; Замечание: из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная. Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается: ∫ ƒ(x) dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x), ƒ(x) – называется подынтегральной функцией; ƒ(x)dx – называется подынтегральным выражением; Свойства неопределенного интеграла: 1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x); 2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx; 3. ∫d F(x) = F(x) + C; 4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx. 5. ∫k•ƒ(x)dx = k•∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель. 6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C; ∫ƒ(u)du = F(u) + C; §2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки). Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство: ∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))•φ'(t)dt Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой. Интегрирование по частям. Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU. Проинтегрируем это равенство: ∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ; UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ; ∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям. Замечание: классы функций интегрируем по частям. I класс – это интегралы вида: ∫ Pn(x) • eax dx; ∫ Pn(x) • sin(a•x) dx; ∫ Pn(x) • cos(a•x)dx , где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае U = Pn(x); II класс – это интегралы вида: 1.∫ Pn(x) • ln(a•x) dx; 2.∫ Pn(x) • arcsin(x) dx; 3.∫ Pn(x) • arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a•x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x); Комплексные числа. Определение1: числа вида z = x + iy , где x,y – действительные числа, i = (-1)(1/2) называются комплексными. Очевидно, что i2 = -1; Пример: z1 = 2 + 3i ; z2 = -(3) (1/2) + 2i ; Утверждение: 1. Комплексное число z = 0, если x = 0, y = 0. 2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , считаются равными, т.е. z1 = z2 , если x1= x2 и y1= y2. x – действительная часть комплексного числа; iy – мнимая часть комплексного числа; i = (-1)(1/2) - мнимая единица. z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа. Действия над комплексными числами. 1. Сложение. Дано: z1 = x1 + iy1 ; z2 = x2 + iy2 ; z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1+ x2) + i•( y1+ y2); 2.1.Умножение. Дано: z1 = x1 + iy1 ; z2 = x2 + iy2 ; z1 • z2 = (x1 + iy1) • (x2 + iy2) = x1• x2 + iy1•x2 + iy2•x1 + i2 y1•y2 = (x1• x2 – y1•y2) + + i•( x1•y2 + x2•y1). 2.2. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме: z1 = ρ1•(cos(φ1) + i•sin(φ1)); z2 = ρ2•(cos(φ2) + i•sin(φ2)); тогда z1•z2 = ρ1•ρ2 • (cos(φ1) + i•sin(φ1)) • (cos(φ2) + i•sin(φ2)) = ρ1•ρ2 • [(cosφ1•cosφ2 – – sinφ1 • sinφ2 ) + i• (cosφ1•sinφ2 + sinφ1•cosφ2)] = ρ1•ρ2 • (cos(φ1+φ2) + i· sin(φ1+φ2)) Вывод: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются (пример см.выше). 3.Деление. Дано: z1 = x1 + iy1 ; z2 = x2 + iy2 ; z1 = x1 + iy1 = (x1 + iy1)(x2 – iy2) = (x1• x2 + y1•y2) + i•( x2•y1– x1•y2) = x1•x2 +y1•y2 + z2 x2 + iy2 x22 – iy22 x22 + y22 x22 + y22 + i•( x2•y1– x1•y2) ; x22 + y22 3.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме. z1 = ρ1•(cos(φ1) + i•sin(φ1)) = ρ1 • (cos(φ1) + i•sin(φ1)) •(cos(φ2) – i•sin(φ2)) = z2 ρ2•(cos(φ2) + i•sin(φ2)) ρ2 cos2(φ2) + sin2(φ2) = ρ1 • [cos(φ2) •cos(φ1) + sin(φ2) •sin(φ1)) + i•( sin(φ1) •cos(φ2) – cos(φ1) •sin(φ2)] = ρ2 = ρ1 • (cos(φ1–φ2) + i• sin(φ1–φ2)). ρ2 вывод: при делении комплексного числа модули делятся, а аргументы вычитаются. 4. Возведение в степень комплексного числа. zn = z • z • z •… • z ; z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)), на основании умножения комплексных чисел в тригонометрической форме имеем: zn = ρ• ρ• ρ… ρ • (cos(φ + φ + φ …+ φ) + i•sin(φ + φ + φ …+ φ)) zn = ρn•(cos(φ) + i•sin(φ)). 5. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ω, если выполняется соотношение zn = ω и обозначается z = (ω ) (1/n) ; Пусть данное ω = r•(cosθ + i • sinθ) , искомое k число z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)) , тогда соотношение zn = ω перепишется в виде: ρn•(cos(φ) + i•sin(φ)) = r•(cosθ + i • sinθ); ρn = r ; ρ = (r)(1/n) ; nφ = θ + 2πk; φ= (θ +2Pik)\n; z =(r*(cos θ+isin θ))(1/n) Функция от комплексной переменной. Определение: комплексная переменная ω называется функцией от комплексной переменной z из комплексной области, если каждому значению z по некоторому правилу и закону ставится в соответствии комплексная переменная ω и обозначается ω = ƒ(z). Рассмотрим одну функцию – показательную ω = ez = ex+iy ; значение этой функции вычисляется следующим образом: ex+iy = ex •(cos(y) + i•sin(y)); eiy = cos(y) + i· sin(y) - формула Эйлера. Заменим в этой функции y на (-y) eiy = cos(y) + i· sin(y) (1) e-iy = cos(-y) + i· sin(-y) (2) вычислим из 1-2 eiy - e-iy = 2 i · sin(y) sin(y) = eiy - e-iy ; 2i теперь сложим, получим cos(y) = eiy + e-iy ; 2 Показательная форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме: z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)); cos(φ) + i•sin(φ) = | по формуле Эйлера| = ei·φ, то z = ρ• ei·φ; §3. Разложение многочлена на множители. Определение: функция ƒ(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An называется целой рациональной функцией от x или многочленом n-ой степени, или полиномом n-ой степени. Уравнение ƒ(x) = 0 или A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An = 0 называется алгебраическим. Теорма1. Остаток от деления многочлена ƒ(x) на (x-a) равен ƒ(a). Следствие: если а является корнем уравнения ƒ(х) = 0, то ƒ(а) = 0, т.е. R = ƒ(а)=0; Основная теорема алгебры: Всякая целая рациональная функция (многочлен) имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный (без доказательств). Теорма2. Всякая целая рациональная функция может быть разложена в произведении n двучленов вида (х-а) и множества A0. Теорема3: Если комплексное число a+bi является корнем многочлена ƒ(x)=A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An , то сопряженное число a-biтакже является корнем многочлена. Вывод: всякий многочлен может быть представлен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней. Интегрирование рациональных дробей. Дробь вида: Pn(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An называется рациональной Qm(x) B0 xn + B1 xn-1 + … + Bn-1 x + Bn дробью или дробно-рациональной функцией. Если степень числителя меньше степени знаменателя (n Pn(x) = Mk(x) + Tk(x) Qm(x) Qm(x) Теорема1: Если в правильной рациональной дроби знаменатель разложен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней: Правило интегрирования рациональных дробей: 1. Если дробь неправильная, то надо выделить целую часть 2. Знаменатель дроби разложить на множители, то есть представить в виде двучленов первой степени и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней. И разложить правильную дробь на элементарные дроби по указанной выше схеме. 3 Интеграл от рациональной дроби взять как сумму интегралов от целой части и от элементарных дробей. Интегрирование иррациональных функций. I. Интеграл вида R(X,((ax+b)/(cx+d))(1/n)), где R(X,((ax+b)/(cx+d))(1/n)) - рациональная функция относительно x и ((ax+b)/(cx+d))(1/n) , подстановкой (ax+b)/(cx+d)=tn сводится к интегралу от рациональной функции относительно t. II. Интегралы от дифференцированных биномов (биномиальный дифференциал). Определение : xm(a + bxn)P dx – называется дифференциальным биномом. Академик Чебышев доказал, что ∫ xm(a + bxn)P dx выражается через элементарные функции в трех случаях: 1) если P-целое, то следует сделать подстановку (x)λ=t, где λ – общий знаменатель чисел m и n. 2)P – не целое, (m+1)/n - целое, тогда вводим a+bxn=ts, где s – знаменатель P. 3) P+(m+1)/n- целое, тогда замена такая: ax–n + b = tS , где s – знаменатель P. В остальных случаях интеграл не берется. III. Тригонометрические подстановки. R(X,(a2-x2)(1/2) )) а) Интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx подстановкой x = a∙sin(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t). б) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx подстановкой x= a∙ sec(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t). в) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx подстановкой x = a∙tg(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t). §4. Интегрирование тригонометрических функций. I. Интеграл вида ∫R(sinx;cosx)dx, где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg(x/2) = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t. Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x). II. Интеграл вида ∫(sinmx)*(cosnx)dx I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное. Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin2p(x)cosn(x) sin(x)dx = – ∫(sin2x) p cosn(x) d(cos(x)) = = – ∫(1 –cos2x) p cosn(x) d(cos(x)). II.случай. m и n – целые, положительные, четные. Пусть m=2p, n=2q, тогда ∫sinm(x)cosn(x)dx = ∫sin2p(x)cos2q(x)dx = ∫(sin2x) p(cos2x) qdx =((1-cos2x)/2)p*((1+cos2x)/2)q; Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б). III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t; §5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции (не берущиеся). 1. ∫R(x,(pn(x))(1/2))dx, где Pn(x) – многочлен n-ой степени; не берется, если n выше 2-ой степени; при n = 2,3,4.. – интеграл эллиптического типа. 2. ∫e-x2dx- интеграл Пуассона. 3. ∫sinx2dx; ∫cosx2dx;- интегралы Френеля. 4. ∫(ln(x))(-1)dx и сводящийся к нему ∫(ex/x)dx - интегральный логарифм. 5. ∫(sin(x)/x)dx; ∫(cos(x)/x)dx; - интегральный синус, интегральный косинус. |
|