О САЙТЕ
Добро пожаловать!

Теперь вы можете поделиться своей работой!

Просто нажмите на значок
O2 Design Template

ФЭА / Высшая математика / Шпаргалка по высшей математике Интегралы

(автор - student, добавлено - 1-12-2012, 23:20)
СКАЧАТЬ: shpora-po-integralam.zip [16,14 Kb] (cкачиваний: 36)



§1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:
F'(x)= ƒ(x).
Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);
Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:
F1(x) – F2(x) = C;
Замечание: из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.
Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:
∫ ƒ(x) dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x),
ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;
ƒ(x)dx – называется подынтегральным выражением;
Свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);
2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;
3. ∫d F(x) = F(x) + C;
4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.
5. ∫k•ƒ(x)dx = k•∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.
6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;
∫ƒ(u)du = F(u) + C;
§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).
Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:
∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))•φ'(t)dt
Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой.
Интегрирование по частям.
Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что
d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.
Проинтегрируем это равенство:
∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.
Замечание: классы функций интегрируем по частям.
I класс – это интегралы вида:
∫ Pn(x) • eax dx;
∫ Pn(x) • sin(a•x) dx;
∫ Pn(x) • cos(a•x)dx , где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае U = Pn(x);
II класс – это интегралы вида:
1.∫ Pn(x) • ln(a•x) dx;
2.∫ Pn(x) • arcsin(x) dx;
3.∫ Pn(x) • arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a•x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);
Комплексные числа.
Определение1: числа вида z = x + iy , где x,y – действительные числа, i = (-1)(1/2) называются комплексными. Очевидно, что i2 = -1;
Пример: z1 = 2 + 3i ; z2 = -(3) (1/2) + 2i ;
Утверждение:
1. Комплексное число z = 0, если x = 0, y = 0.
2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , считаются равными, т.е. z1 = z2 , если x1= x2 и y1= y2.
x – действительная часть комплексного числа;
iy – мнимая часть комплексного числа;
i = (-1)(1/2) - мнимая единица.
z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа.
Действия над комплексными числами.
1. Сложение.
Дано:
z1 = x1 + iy1 ;
z2 = x2 + iy2 ;
z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1+ x2) + i•( y1+ y2);
2.1.Умножение.
Дано:
z1 = x1 + iy1 ;
z2 = x2 + iy2 ;
z1 • z2 = (x1 + iy1) • (x2 + iy2) = x1• x2 + iy1•x2 + iy2•x1 + i2 y1•y2 = (x1• x2 – y1•y2) +
+ i•( x1•y2 + x2•y1).
2.2. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:
z1 = ρ1•(cos(φ1) + i•sin(φ1));
z2 = ρ2•(cos(φ2) + i•sin(φ2)); тогда
z1•z2 = ρ1•ρ2 • (cos(φ1) + i•sin(φ1)) • (cos(φ2) + i•sin(φ2)) = ρ1•ρ2 • [(cosφ1•cosφ2 –
– sinφ1 • sinφ2 ) + i• (cosφ1•sinφ2 + sinφ1•cosφ2)] = ρ1•ρ2 • (cos(φ1+φ2) + i· sin(φ1+φ2))
Вывод: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются (пример см.выше).
3.Деление.
Дано:
z1 = x1 + iy1 ;
z2 = x2 + iy2 ;
z1 = x1 + iy1 = (x1 + iy1)(x2 – iy2) = (x1• x2 + y1•y2) + i•( x2•y1– x1•y2) = x1•x2 +y1•y2 +
z2 x2 + iy2 x22 – iy22 x22 + y22 x22 + y22
+ i•( x2•y1– x1•y2) ;
x22 + y22
3.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
z1 = ρ1•(cos(φ1) + i•sin(φ1)) = ρ1 • (cos(φ1) + i•sin(φ1)) •(cos(φ2) – i•sin(φ2)) =
z2 ρ2•(cos(φ2) + i•sin(φ2)) ρ2 cos2(φ2) + sin2(φ2)

= ρ1 • [cos(φ2) •cos(φ1) + sin(φ2) •sin(φ1)) + i•( sin(φ1) •cos(φ2) – cos(φ1) •sin(φ2)] =
ρ2

= ρ1 • (cos(φ1–φ2) + i• sin(φ1–φ2)).
ρ2

вывод: при делении комплексного числа модули делятся, а аргументы вычитаются.

4. Возведение в степень комплексного числа.
zn = z • z • z •… • z ;
z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)), на основании умножения комплексных чисел в тригонометрической форме имеем:
zn = ρ• ρ• ρ… ρ • (cos(φ + φ + φ …+ φ) + i•sin(φ + φ + φ …+ φ))
zn = ρn•(cos(φ) + i•sin(φ)).
5. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ω, если выполняется соотношение zn = ω и обозначается z = (ω ) (1/n) ;
Пусть данное ω = r•(cosθ + i • sinθ) , искомое k число
z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ)) , тогда соотношение zn = ω перепишется в виде:
ρn•(cos(φ) + i•sin(φ)) = r•(cosθ + i • sinθ);
ρn = r ;
ρ = (r)(1/n) ; nφ = θ + 2πk;
φ= (θ +2Pik)\n; z =(r*(cos θ+isin θ))(1/n)
Функция от комплексной переменной.
Определение: комплексная переменная ω называется функцией от комплексной переменной z из комплексной области, если каждому значению z по некоторому правилу и закону ставится в соответствии комплексная переменная ω и обозначается ω = ƒ(z).
Рассмотрим одну функцию – показательную
ω = ez = ex+iy ;
значение этой функции вычисляется следующим образом:
ex+iy = ex •(cos(y) + i•sin(y));
eiy = cos(y) + i· sin(y) - формула Эйлера.
Заменим в этой функции y на (-y)
eiy = cos(y) + i· sin(y) (1)
e-iy = cos(-y) + i· sin(-y) (2)
вычислим из 1-2
eiy - e-iy = 2 i · sin(y)
sin(y) = eiy - e-iy ;
2i
теперь сложим, получим
cos(y) = eiy + e-iy ;
2
Показательная форма комплексного числа.
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:
z = ρ•(cos(φ) + i•sin(φ));
cos(φ) + i•sin(φ) = | по формуле Эйлера| = ei·φ, то
z = ρ• ei·φ;
§3. Разложение многочлена на множители.
Определение: функция ƒ(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An называется целой рациональной функцией от x или многочленом n-ой степени, или полиномом n-ой степени. Уравнение ƒ(x) = 0 или A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An = 0 называется алгебраическим.
Теорма1. Остаток от деления многочлена ƒ(x) на (x-a) равен ƒ(a).
Следствие: если а является корнем уравнения ƒ(х) = 0, то ƒ(а) = 0, т.е. R = ƒ(а)=0;
Основная теорема алгебры:
Всякая целая рациональная функция (многочлен) имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный (без доказательств).
Теорма2. Всякая целая рациональная функция может быть разложена в произведении n двучленов вида (х-а) и множества A0.
Теорема3: Если комплексное число a+bi является корнем многочлена
ƒ(x)=A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An , то сопряженное число a-biтакже является корнем многочлена.
Вывод: всякий многочлен может быть представлен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней.
Интегрирование рациональных дробей.
Дробь вида: Pn(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An называется рациональной
Qm(x) B0 xn + B1 xn-1 + … + Bn-1 x + Bn
дробью или дробно-рациональной функцией.
Если степень числителя меньше степени знаменателя (nВ случае не правильной дроби, ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.
Pn(x) = Mk(x) + Tk(x)
Qm(x) Qm(x)
Теорема1: Если в правильной рациональной дроби знаменатель разложен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней:
Правило интегрирования рациональных дробей:

1. Если дробь неправильная, то надо выделить целую часть
2. Знаменатель дроби разложить на множители, то есть представить в виде двучленов первой степени и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней. И разложить правильную дробь на элементарные дроби по указанной выше схеме.
3 Интеграл от рациональной дроби взять как сумму интегралов от целой части и от элементарных дробей.
Интегрирование иррациональных функций.
I. Интеграл вида R(X,((ax+b)/(cx+d))(1/n)), где R(X,((ax+b)/(cx+d))(1/n)) - рациональная функция относительно x и ((ax+b)/(cx+d))(1/n) , подстановкой (ax+b)/(cx+d)=tn сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.
II. Интегралы от дифференцированных биномов (биномиальный дифференциал).
Определение : xm(a + bxn)P dx – называется дифференциальным биномом.
Академик Чебышев доказал, что ∫ xm(a + bxn)P dx выражается через элементарные функции в трех случаях:
1) если P-целое, то следует сделать подстановку
(x)λ=t, где λ – общий знаменатель чисел m и n.
2)P – не целое, (m+1)/n - целое, тогда вводим a+bxn=ts, где s – знаменатель P.
3) P+(m+1)/n- целое, тогда замена такая:
ax–n + b = tS , где s – знаменатель P.
В остальных случаях интеграл не берется.
III. Тригонометрические подстановки.
R(X,(a2-x2)(1/2) ))
а) Интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx
подстановкой x = a∙sin(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).
б) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx подстановкой x= a∙ sec(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).
в) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )dx подстановкой x = a∙tg(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).
§4. Интегрирование тригонометрических функций.
I. Интеграл вида ∫R(sinx;cosx)dx, где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg(x/2) = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.
Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).
II. Интеграл вида ∫(sinmx)*(cosnx)dx I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное.
Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin2p(x)cosn(x) sin(x)dx = – ∫(sin2x) p cosn(x) d(cos(x)) =
= – ∫(1 –cos2x) p cosn(x) d(cos(x)).
II.случай. m и n – целые, положительные, четные.
Пусть m=2p, n=2q, тогда
∫sinm(x)cosn(x)dx = ∫sin2p(x)cos2q(x)dx = ∫(sin2x) p(cos2x) qdx =((1-cos2x)/2)p*((1+cos2x)/2)q;
Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).
III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t;
§5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции (не берущиеся).
1. ∫R(x,(pn(x))(1/2))dx, где Pn(x) – многочлен n-ой степени; не берется, если n выше 2-ой степени; при n = 2,3,4.. – интеграл эллиптического типа.
2. ∫e-x2dx- интеграл Пуассона.
3. ∫sinx2dx; ∫cosx2dx;- интегралы Френеля.
4. ∫(ln(x))(-1)dx и сводящийся к нему ∫(ex/x)dx - интегральный логарифм.
5. ∫(sin(x)/x)dx; ∫(cos(x)/x)dx; - интегральный синус, интегральный косинус.

Ключевые слова -


ФНГ ФИМ ФЭА ФЭУ
Copyright 2018. Для правильного отображения сайта рекомендуем обновить Ваш браузер до последней версии!