СКАЧАТЬ:  toe.zip [117,9 Kb] (cкачиваний: 76)  

Содержание

Часть 1Переходные процессы в линейных электрических цепях……………5

Классический метод расчета……………………………………………5

Операторный метод расчета……………………………………………..9

Часть 2Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников………………………………………………….12

Часть 3Электрические фильтры………………………………………16

Выводы……………………………………………………………………………21

Список литературы………………………………………………………………23

Часть 1

Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1).В цепи действует постоянная ЭДС Е. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L₂=0, то есть участок a – b схемы закорочен, и когда С₂=0, то есть ветвь m – n с конденсатором С₂ разомкнута. При вычерчивании схемы элементы L₂ и С₂ должны отсутствовать. Определить закон изменения во времени указанной величины.

Задачу решить двумя способами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/|р|_min, где |р|_min – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Дано:

Е=300 В

L=5 мГн

С=3.23 мкФ

r₁ =15 Ом

r₂ =20 Ом

r₃ =5 Ом

r₄ =20 Ом

Найти: i₁.

Решение:

1)Классический метод расчета.

1) Составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму закону Кирхгофа после коммутации:

(1)

Выражение (1) дифференцируем и получим новую систему:

(2)

2) Определим независимые начальные условия, когда цепь еще разомкнута, то есть схема примет вид:

3) Записываем искомую величину в виде:

4) Определим принужденную составляющую после коммутации:

5) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Для этого можно составить главный определитель системы (2) и приравнять его к 0, то есть составить характеристическое уравнение в виде матрицы.

=0

Разложим по элементам первой строки:

,

где

Подставив числовые значения, получим следующие корни характеристического уравнения:

6) Запишем свободную составляющую, обращая внимание на вид корней. Так как корни характеристического уравнения действительные, то

7) Учитывая 4 и 6 пункты, запишем

8) Для определения двух постоянных интегрирования А₁ и А₂, запишем полученное решение и его производную для начального момента времени t=0.

(3)

Возвратимся в пункт 1 и перепишем систему (1) с условием все от 0.

(4)

В этой системе алгебраических уравнений с четыремя токами, производной тока и напряжением величина i(0) была уже найдены с применением законов коммутации. Следовательно, остается решить второе уравнение системы (4) для нахождения , представив его в виде:

Подставим полученные значения в систему (3)

,

Решая данную систему получим следующие постоянные интегрирования

Записываем искомую величину с учетом А₁,А₂

2)Операторный метод расчета

Начертим схему замещения

Запишем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа

Выразим все токи из каждого уравнения системы

Преобразуем полученные равенства

Приравняем правые части выражений, левые части которых равны, а именно , то есть:

После простых математических преобразований получим уравнение для нахождения тока

Найдем корни полученного кубического уравнения:

=0

Изображение имеет вид , что говорит о том , что есть один нулевой корень. Тогда оригинал будет вычисляться как:

++

+

Таким образом мы получили уравнение тока i₁(t):

На основании полученного аналитического выражения требуется построим график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/|р|_min, где |р|_min – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

t=3/6738=0.0004c

При t=0: 7.5

t=0.0001: 8.292

t=0.0002: 9.082

t=0.0003: 9.527

t=0.0004: 9.758

Часть 2

Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников.

Данную схему (рис.2) представить как Т-схему пассивного четырехполюсника. С этой целью все источники ЭДС в схеме закоротить, а левую правую ветви разомкнуть. Для полученной схемы составить уравнения четырехполюсника в форме матичной записи А. Записать формулы для элементов матриц сначала в общем виде, а затем в числовом.

Дано:

L₁=1.04 мГн

L₃=0.64 мГн

С₁=0.76 мкФ

С₃=3.23 мкФ

r =65 Ом

f =2600 Гц

Найти: А₁₁,А₁₂,А₂₁,А₂₂

Решение:

Составим матрицу А для четырехполюсника, записывая уравнения типа А в режимах холостого хода и короткого замыкания.

U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂^/

I₁ =A₂₁U₂+A₂₂I₂^/

1) Определим сопротивления катушек и конденсаторов по формулам:

ω=2πf

x_L=ωL

x_C=1/ωC

ω=

x_L1=

x_L3=

x_C1=

x_C3=

2) Составим уравнения типа А в режиме короткого замыкания, то есть при

U_2k=0

U_1k= A₁₂I₂^/

I_1k =A₂₂I₂^/

Напряжение на резисторе равно:

U_r=U_1k-I_1k(jx_L1-jx_C1)

U_r= I₂^/(jx_L3-jx_C3)

Напряжение U_1k в свою очередь равно:

U_1k=I_1kz_об

Получаем:

I_1k(z_об+ jx_С1-jx_L1)= I₂^/(jx_L3-jx_C3)

Отсюда выражаем ток I_1k:

I_1k=( jx_L3-jx_C3/ z_об+jx_С1-jx_L1) I₂^/

Полученное выражение соответствует второму уравнению системы. Из соответствия видно, что

А₂₂= jx_L3-jx_C3/ z_об+ jx_С1-jx_L1

Найдем общее сопротивление схемы, необходимое для расчетов:

z_об= jx_L1-jx_C1+r ( jx_L3-jx_C3)/ (r+ jx_L3-jx_C3)

z_об=

Подставим z_об в уравнение для нахождения А₂₂:

А₂₂=

А₂₂=1-j0,132

Найдем коэффициент А₁₂, для этого составим следующее равенство:

U_1k-( U_1k/ z_об)( jx_L1-jx_C1)= I₂^/(jx_L3-jx_C3)

U_1k= I₂^/ (jx_L3-jx_C3)/(1-( jx_L1-jx_C1)/ z_об)

Полученное выражение соответствует первому уравнению системы. Из соответствия видно, что

А₁₂=(jx_L3-jx_C3)/(1-( jx_L1-jx_C1)/ z_об)

А₁₂=

3) Составим уравнения типа А в режиме холостого хода, то есть при I₂^/=0

U_1x=A₁₁U_2x

I_1x=A₂₁U_2x

Из схемы видно, что

U_2x= I_1x r

Отсюда

I_1x= U_2x/r

Полученное выражение соответствует второму уравнению системы. Из соответствия видно, что

А₂₁=1/r

А₂₁=

Из схемы видно:

U_1x= I_1x(r+ jx_L1-jx_C1)

В это выражение подставим I_1x

U_1x= U_2x (r+ jx_L1-jx_C1)/r

Полученное выражение соответствует первому уравнению системы. Из соответствия видно, что

А₁₁=(r+ jx_L1-jx_C1)/r

А₁₁=

Таким образом мы нашли все коэффициенты уравнения типа А для четырехполюсников. Для проверки из полученных коэффициентов составим матрицу, определитель которой должен быть равен 1

Как мы видим значение определителя приблизительно равно 1.

Часть 3

Электрические фильтры.

1) Исходя из условия, что

и

выражаем полосу пропускания НЧФ

а) или

Таким образом первая граничная частота для НЧФ является .

b)

Подставляем значения и

Таким образом согласно определению НЧФ имеет следующую частоту пропускания (0;1592). Выше частоты f₂ начинается полоса непропускания.

2) Определим область пропускания фильтра исходя из граничных условий симметричного четырехполюсника:

или

Поскольку в области пропускания А=0 последнее уравнение примет следующий вид

Так как

Зная что имеем

Отсюда

Определю А и В для полосы затухания. В полосе затухания уравнение удовлетворяется при условии , то есть при или

Так как , то

Характер изменения коэффициента затухания и фазы качественно иллюстрируют кривые

При

Рассмотрим изменение величины характеристического сопротивления в полосе прозрачности для Т-схемы НЧФ.

, где

Подставляем b и c, и получаем формулу

С увеличением частоты Z_с уменьшается от Z_с1 до Z_с2.

При .

При достижении

Зная, что зоне затухания Z_с имеет индуктивный характер для Т-фильтра НЧ, построим график зависимости от ω.

3) Разложим напряжение фильтра на гармоники по следующей формуле

Так как нам дан НЧФ, то на его вход необходимо подать первую гармонику напряжения

Найдем коэффициенты

Составим уравнение А-типа для четырехполюсников:

Подставим числовые значения

Преобразуем первое уравнение системы

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы

Найдем ток , а затем напряжение

Выразим ток через токи и :

Найдем напряжение на конденсаторе:

Найдем напряжение на каждой катушке:

4) Определим постоянную передачи , которая определяется:

g=A+jB

Для этого найдем ω и подставим в уравнение постоянные ослабления и фазы:

Найдем характеристическое сопротивление фильтра

Выводы

1) В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, то начало отсчета времени переходного процесса t = 0 начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим 0_-, а сразу после мгновенной коммутации 0₊.При анализе переходных процессов используются два закона коммутации:

1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t = 0₊,или, короче, t= 0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0_-, и дальше начинает изменяться именно с этого значении.

2. На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией. и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения.

В выполненном задании мы определили ток в переходном процессе с помощью классического и операторного метода расчетов, получив одинаковые значения тока. Однако классический метод расчета переходных процессов требует многократного решения алгебраических уравнений для нахождения начальных значений функции и ее производных, что и представляет основную трудность решения этим методом, и для определения постоянных интегрирования по начальным условиям. Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их более выгодно интегрировать операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа.

2) В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, то есть четырехполюсники. Зависимости между двумя напряжениями и токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие будут связаны с ними системой уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника. В моих уравнениях коэффициенты А₁₁, А₁₂, А₂₁, А₂₂ определяют сам четырехполюсник и зависят от схемы соединения и параметров составляющего четырехполюсник элементов электрической цепи. С тоски зрения режима на первичных и вторичных выводах четырехполюсники, имеющие одинаковые значения коэффициентов, неотличимы, то есть эквивалентны, хотя их внутренняя структура может быть различной.

Таким образом, можно утверждать, что четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты.

3) Электрические фильтры – это четырехполюсники составленные из катушек индуктивности конденсаторов, которые пропускают к приемнику из всего спектра частот источника один или несколько заданных диапазонов частот. Диапазон частот пропускаемых фильтром без затухания, называют полосой прозрачности; диапазон частот пропускаемых с затуханием, - полосой затухания. Сопротивление нагрузки Z_н присоединяемой на входе фильтра, должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением фильтра Z_н. это согласование видно в решенном мною задании в равенстве R_н=Z_с=185Ом.

Список литературы

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Гардарики,2000г.

2.Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. т. 1,2; Л., Энергоатомиздат, Ленинградское отделение,1981г.

3.Ионкин Г.В.,Зевеке П.А. и др. Основы теории цепей.-М.: Энергоатомиздат, 1989г.

4.Сборник задач и упражнений по ТОЭ. Под редакцией Ионкина Г.В. - М.: Энергоатомиздат, 1982г.

5.Ионкин Г.В. Основы теории линейных цепей .М.: Энергоатомиздат, 1982г.

6.Сборник задач и упражнений по ТОЭ. Под редакцией Бессонова Л.А. - М.: Высш.шк., 2000г.