СКАЧАТЬ:  toe-kursov.zip [518,42 Kb] (cкачиваний: 51)

Задание

Расчет переходной характеристики

Рабочая схема изображена на рис.1.

Дано:

R₁=3 ом

R₂=0 ом

R₃=1 ом

R₄=1 ом

C=10 мкФ

L=1 мГн

E=120 В

1. 
   Рассчитать ток i₁ (ток на конденсаторе) классическим методом.
2. Рассчитать ток i₁ операторным методом.

Анализ схемы

Топологический анализ: данная схема имеет 2 узла, 3 ветви и следовательно 2 контура.

Так как R₂=0 ом, то мы его убираем и закорачиваем данную ветвь.

Схема примет вид:

Классический метод

1.    Составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа после коммутации:

После коммутации ветвь будет выглядеть следующим образом:

Так как сопротивление R₄ и пустая ветвь в сумме будут давать нулевое сопротивление, т.к. допустим, если l –  сопротивление провода (l®0), то:

Значит схема примет вид:

Отсюда система уравнений будет следующей:

2.    Определим независимые начальные условия исходя из законов коммутации до включения рубильника, i₂(0-)=i₂(0+) и U_c(0-)=U_c(0+)

Ток течет только по внешнему контуру (индуктивность закорачиваем, т.к. ток на ней будет равен контурному):

Найденный ток будет являться независимым начальным условием:

i₂(0)=i_L(0)==i_L(0-)=i_L(0+)=30A;

Напряжение же на конденсаторе находится,

либо как:

;

либо как:

Следовательно независимые начальные условия схемы равны:

i₂(0)=i_L(0)==i_L(0-)=i_L(0+)=30A;

U_c(0-)= U_c(0+)= U_c(0)=30В;

3.    Записываем искомую величину в виде:

i₁₌ i_1у+ i_1св;

4.    Определяем i_1у, рассчитав режим цепи постоянного тока после коммутации. В установившемся режиме после коммутации ток есть только во внешнем контуре, поэтому i_1у=0. Ток в ветви с конденсатором при действии постоянной ЭДС отсутствует, т.к. отсутствие тока в емкостной цепи объясняется тем, что заряженный от источника постоянный ЭДС конденсатор равносилен разрыву в данной ветви.

5.    Составляем характеристическое уравнение методом входного сопротивления и определим корни характеристического уравнения. Z(p)=0.

ß

Для решения данного квадратного уравнения нужно найти значения p при которых числитель равен нулю:

Таким образом:

6.    Определим коэффициенты интегрирования для полученных решений и их производных для начального момента времени:

Определим i₁(0) и  по:

а) составленным дифференциальным уравнениям:

б) начальным условиям:

i₂(0)=i_L(0)==i_L(0-)=i_L(0+)=30A;

U_c(0-)= U_c(0+)= U_c(0)=30В;

1) Найдем i₁(0):

Выразим из (1) i=i₁+i₂, подставим в (2), получим:

Значит i₁=0.

2) Найдем :

Для нахождения  первоначально найдем  по (3):

Продифференцируем (это выражение найдено из (1) и (2)):

Значит .

Зная i₁(0) и  определим коэффициенты:

Выразим А₁Þ А₁=-А₂.  Подставим во вторую строку:

Общий вид будет следующим:

График

Операторный метод

Исходную схему заменяем на эквивалентную после коммутации:

Для полученной схемы определяем токи используя закон Кирхгофа:

Выразим I₂(p) из (1) уравнения и подставим в (3):

Из полученного уравнения выразим I(p):

Подставим I(p) в (2) уравнение:

Подставим независимые начальные условия из классического метода:

Дробь  раскладывается по формуле , где а  (a и b корни квадратного уравнения знаменателя).

Получим:

А теперь по «Таблице оригиналов и их изображений по Лапласу» преобразуем к виду:

Вывод: в обоих случаях функции переходного процесса по i₁ сошлись.