СКАЧАТЬ:  33.zip [159,51 Kb] (cкачиваний: 104)

СКАЧАТЬ Другой вариант:  moya-kursovaya-rabota-po-elektrotehnike.zip [214,82 Kb] (cкачиваний: 90)

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис 2.1). В цепи действует постоянная ЭДС В и подключены сопротивления Ом,  Ом,  Ом,  Ом, индуктивность  мГн и ём­кость  мкФ. Определить закон изменения тока на емкости после коммутации.

Дано:

Е=200В;

L=10 мГн;

С= 10 мкФ;

R₁=100 Ом;

R₂= 0 Ом;

R₃=50;

R₄=100 Ом

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Общая электротехника»

на темы: «Переходные процессы в линейных электрических цепях»,

«Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………….…2

    ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ……………………………………...3

I.Переходные процессы в линейных электрических цепях……..3

Классический метод расчета переходных процессов……………..5

Операторный метод расчета переходных процессов……………...7

II. Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов………………………………………………………………..12

Способы представления периодических несинусоидальных процессов в линейных электрических цепях………………………….12

Расчёт цепей периодического несинусоидального тока………...13

РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………16

 I.Переходные процессы в линейных электрических цепях…………………………………………………………………………...16

                    Классический метод…………………………………….16

                     Операторный метод……………………………………19

II. Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов.............................................................................................20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................24

Список исполҗзованной литературы.............................................25

ВВЕДЕНИЕ

      Общие сведения о переходных процессах.

Переходные процессы возникают в электрических цепях при раз­личных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, на­пример ключей, переключателей для включения или отключения ис­точника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи |и т. д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия маг­нитного и электрического полей этих эле­ментов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным урав­нением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим,  что пере­ходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифферен­циальными уравнениями, а в нелинейной - нелинейными. В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в ли­нейных   цепях,   содержащих   элементы  с  постоянными   параметрами.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянны­ми параметрами разработаны различные аналитические методы: клас­сический, оперативный, метод интеграла Фурье и др., которые приме­няются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического и операторного методов. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

Теоретическая часть.

I. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Переходные процессы возникают вследствие изменения ЭДС в цепи, напряжения, приложенного к цепи, или в связи с изменением ее параметров - сопротивления, индуктивности или емкости.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть: коммутационные изменения режимов, т. е. включение и выключение источников питания, приемников энергии; короткие замыкания на участках электрических цепей; изменения механической нагрузки электродвигателей и др.

Электромагнитные процессы, происходящие в электрических цепях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными процессами.

Электрические токи, напряжения в цепи во время переходного процесса называют  переходными  токами  или  напряжениями.

Продолжительность переходных процессов в электрических цепях (переходный период) чаще всего составляет десятые и сотые доли секунды. Однако знание характера их очень важно, так как и за малое время возможны резкие увеличения токов и напряжений, которые могут оказаться опасными для электрических установок.

В устройствах связи, автоматики, счетно-решающей техники, радиотехники с помощью переходных процессов формируются импульсы—сигналы,  несущие определенную информацию.

Излучение переходных процессов в этих устройствах необ­ходимо для оценки тех изменений, которые они могут внести в электрические сигналы.

Соотношение длительностей установившихся и переходных режимов может быть самым различным и зависит от условий эксплуатации и назначения электрических цепей. Одни из них по продолжительности практически все время работают в уста­новившемся режиме (двигатели с длительной неменяющейся нагрузкой, лампы электрического освещения), другие, наоборот, непрерывно находятся в переходном режиме (двигатели с по­вторно-кратковременной нагрузкой, линии связи во время передачи информации, импульсные устройства автоматики, счетно-решающие машины в период работы).

Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи – емкостями и индуктивностями. Однако энергии электрического и магнитного полей могут изменяться только непрерывно, так как  скачкообразное  изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны два закона коммутации.

Первый закон коммутации. В любой ветви с индуктивностью ток (и магнитный поток) не может измениться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации и начинает изменяться именно с этого значения, то есть:

,                                                                                            (1.1)

где  – значение тока в ветви с индуктивностью непосредственно после коммутации;  - ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон коммутации. Напряжение на емкостном элементе (и заряд на её обкладках) сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации, то есть:

,                                                                                         (1.2)

где  – напряжение на ёмкости непосредственно после моментом коммутации;  – напряжение на ёмкости непосредственно перед моментом коммутации.

Действительно, если допустить, что ток, протекающий через индуктивный элемент изменится скачком, то энергия магнитного поля на нём, которая прямо пропорциональна квадрату этого тока, тоже изменится скачком. Скачкообразное изменение напряжения на емкостном элементе, также приведёт к скачкообразному изменению энергии электрического поля внутри него, так как эта энергия прямо пропорциональна квадрату падению напряжения на этом элементе. Так как мощность равна первой производной от энергии по времени, изменение энергии на конечное значение за бесконечно малый промежуток времени потребует бесконечной большой мощности от источника. Это лишено физического смысла, потому что реальные источники питания не могут обеспечить бесконечно большие мощности.

Существует несколько методов расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях: классический, операторный, с помощью интеграла Дюамеля, переменных состояния и т.д. Рассмотрим два из них: классический и операторный.

1) Классический метод расчета переходных процессов

Название метода "классический" отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики. 

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы:

1.  Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i   или напряжения u.  Для простых цепей  получается  дифференциальное уравнение  первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в   индуктивном  элементе, либо напряжение  на емкостном  элементе.

2.  Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают  i и  u и называют установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описы­вает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i

и и и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i = i_y + i_св  , и = и_y + и_св  следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени  происходит мгновенно. При таких комму­тациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном эле­менте в начальный момент времени после коммутации  такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммута­ции. Эти условия получаются из законов коммутации.

2) Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упро­щает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного про­цесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраи­ческих уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода.

Для прямого преобразования функций времени f(t) применяется преобразование Лапласа,

что сокращенно записывается так:

где функция времени f{t) - однозначная, называемая оригиналом, определенная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 до ∞ и равная нулю при t < 0; F(p) - функция комплексного переменно­го р = σ + jώ при Re p = о > 0, называемая лапласовым изображением.

Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует мо­менту времени    t=0.

В  табл.  5.1   приведены примеры изображения  простых функций.

Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами.

2. Теорема об интегрировании 

1. Теорема о сложении или линейность преобразования

3. Теорема о дифференцировании

4. Теорема запаздывания

Преобразование (5.37) позволяет получить соотношения между напряжением u(t) = и и током i(t) = i в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

Изображение напряжения на резистивном элементе u_r(t)=ri(t) по (5.25)

Выражение  (5.42)  называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис. 5.12, а).

Изображение напряжения  на индуктивном элементе по

и  (5.40)

    U_L(p)= -Li(0) + pLI(p),

где i(0) = i(0_)  = i(0₊) — ток в индуктивном элементе в момент ком­мутации   t =0, учитывающий начальные условия (5.1).

Напряжение  на  емкостном  элементе, начиная  с  момента времени t =0   возникновения переходного процесса в общем случае,

где u_C(0) – u_C(0_)   - u_C(0₊)  — напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (5.2).

Учитывая изображение единичной функции L[I(t)] = 1/р (табл. 5.1) и соотношения (5.38) и (5.39), найдем изображение напряжения u_C(t):

Выражениям (5.43) и (5.44) соответствуют схемы замещения ин­дуктивного и емкостного элементов в операторной форме на рис. 5.12, б и в.

Если начальные условия нулевые, т. е. / (0 ) =0 и и„(0 ) = 0, то выражения (5.43) и (5.44) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента

U_L(p)=pLI(p); для емкостного элемента:    где pL и 1/(pC) — сопротивления индуктивного и емкостного элементов в операторной форме.

Воспользовавшись   линейностью    преобразования   Лапласа    (5.38)

для суммы токов в любом узле цепи , получим первый

закон Кирхгофа в операторной форме:

Где   I_K(p)=L[i_k(t)]  (рис. 5.13, а, б).

Аналогично и  второму  закону Кирхгофа для любого  контура по (2.29)

или в другой форме по (2.49)

соответствует его представление в операторной форме

 (5.47а) или  (5.476)

Где   и .

При расчете переходного процесса операторным методом полезно выделить несколько логически самостоятельных этапов:

представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы
цепи в операторной форме. Это означает, что, во-первых, ЭДС источ­ников  напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными
значениями e(t) и  J(t), следует представить по (5.37) соответствующи­ми изображениями  Е(р) и J(p)   и, во-вторых, пассивные элементы -
схемами замещения по рис. 5.12;

для полученной схемы замещения в операторной форме составить
и решить полную систему независимых уравнений по первому   [см.
(5.46)] и второму [см. (5.47)] законам Кирхгофа в операторной форме, т. е. найти изображение F(p) искомой величины, например ток I(р);

3)      наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби
,   для которой обратным преобразованием нужно найти оригинал f(t), например ток i(г). Для этого можно воспользоваться тео­ремой разложения 

где N{p) и М(р) - многочлены в числителе и знаменателе изображе­ния F(p)

М(р) - производная многочлена М(р) по р;   p_k – корни многочлена M(р) = 0, где предполагается, что корни простые. Если по­лучаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.

II. Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов

1) Способы представления периодических несинусоидальных процессов в линейных электрических цепях

Как известно из курса математического анализа, любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в гармонический ряд или в ряд Фурье. Все периодические функции, с которыми имеют дело в электротехнике, условиям Дирихле удовлетворяют, поэтому любой периодический процесс, происходящий в электрической цепи, можно изобразить разложением в гармонический ряд.

Разложение в ряд Фурье функции, имеющей период Т и угловую частоту , выглядит следующим образом:

,                                                            (1.18)

где  – постоянная составляющая функции , равная среднему значению функции за период.

Синусоидальная функция  называется гармоническим составляющим ряда или просто гармоникой, где

 – амплитуда k-ой гармоники;

 – начальная фаза k-ой гармоники;

где  и  – коэффициенты Фурье.

Гармонику с номером  называют основной или первой гармоникой; гармонику с номером  – второй гармоникой; гармонику с номером  – третьей и т.д. Гармоники с  называют высшими гармониками.

Преобразовав с помощью формулы Эйлера ряд (1.18), получим ряд Фурье в комплексной форме:

,                                                                           (1.19)

где  – комплексная амплитуда k-ой гармоники.

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное число членов, однако в большинстве практических случаев этот ряд достаточно быстро сходится, и при инженерных расчётах можно ограничиться сравнительно небольшим числом гармоник.

Таким образом, любой периодический несинусоидальный процесс в цепи можно представить в виде суммы постоянного процесса и синусоидальных процессов различных частот, кратных частоте первой гармоники, с различными начальными фазами.

2) Расчёт цепей периодического несинусоидального тока

Для расчёта цепей периодического несинусоидального тока, прежде всего, следует разложить функции изменения от времени значений ЭДС или токов соответствующих источников в ряд Фурье. Для этого, зная аналитические выражения законов изменения токов или ЭДС источников, нужно вычислить коэффициенты Фурье и разложить их в гармонический ряд.

Затем можно эквивалентно заменить каждый источник тока или ЭДС несколькими, количество которых равно количеству слагаемых в разложении тока или ЭДС исходного источника и каждая из которых соответствует одной из слагаемых этих рядов. После этого, пользуясь методом наложения (суперпозиции), можно рассчитать цепь для каждого источника по отдельности, пользуясь методами расчёта цепей постоянных и синусоидальных токов, и получить окончательный ответ, сложив реакции от каждого из них.

На практике очень важно уметь рассчитывать не только законы изменения токов и напряжений в цепи периодических несинусоидальных токов, но и энергетические характеристики цепей, такие как действующие значения токов и напряжений, активную, реактивную и полную мощности.

По определению действующего значения тока:

.

Интеграл  можно представить суммой следующих интегралов:

1)       ;

2)       ;

3)       ;

4)       , при условии, что .

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока имеет вид:

.                                                                                      (1.20)

Аналогично для напряжения получаем:

.                                                                                   (1.21)

Тогда активная мощность в цепи равна:

.                                                                    (1.22)

Полную мощность в цепи определяют аналогично полной мощности синусоидального тока:

.                                                                                                 (1.23)

По аналогии с синусоидальными токами вводится понятие реактивной мощности:

.                                                                               (1.24)

Заметим, что данное определение реактивной мощности не обеспечивает равенство квадратов мощностей, то есть . Это послужило причиной введения ещё одного понятия – мощности искажений:

.                                                                              (1.25)

Отношение мощности искажений к полной мощности характеризует отличие формы тока от формы напряжения и называется коэффициентом искажении:

.                                                                                                   (1.26)

Коэффициент мощности в цепи несинусоидального напряжения определяют так же как и в цепи синусоидального тока, по формуле:

,                                                                                     (1.27)

где  – угол сдвига фаз эквивалентного синусоидального тока.

РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ

I. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Условие задачи:

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис 2.1). В цепи действует постоянная ЭДС В и подключены сопротивления Ом,  Ом,  Ом,  Ом, индуктивность  мГн и ём­кость  мкФ. Определить закон изменения тока на емкости после коммутации.

Дано:

Е=200В;

L=10 мГн;

С= 10 мкФ;

R₁=100 Ом;

R₂= 0 Ом;

R₃=50;

R₄=100 Ом

1) Классический метод.

Решение:

1)

                                                                          i₁ - i₂ -i₃  = 0;

                                                                           L  + i₁R₁₂ + i₃R₄ = E;       

                                                                           - i₃R₄  = 0;

2) Схема цепи до коммутации:

                                                                           I (0_)  – i₁(0_) – i₄(0_) =0 ;     (1)

                                                                            i(0_) R₁₂ + i₄(0_) R₃ = E;       (2)

                                                                            i₁(0_) R₄ – i₄(0_) R₃ =0;         (3)

    По методу Крамера:

 U_C(0_)= i₁(0_)R₄= 0.12*1000= 120B;

    U₁(0)= i₁(0_)= 0.12A;

    U_C(0)= U_C(0_)= 120B;

3)     i₁= i_1y + i_1св;

4)     i_1y= ==0.11A;

5)             

-         (R₁₂ + Lp)* -  - R₄*(R₁₂ +Lp) = 0;

 +  +   + R₁₂*R₄ + R₄*Lp = 0;

R₄LCp­­² + (R₁₂R₄C + L)p + R₁₂ + R₄ = 0;

10^-4p² + 1.01p + 1100 = 0;

Откуда    p₁= -1242,  p₂= -8858;

Следовательно,       i_1св = A₁e^{-1242 t}  +  A₂e^{-8858 t};

6)    i₁ = 0.11 + A₁e^{-1242 t}  +  A₂e^{-8858 t} ;

7)           i₁(0) = 0.11 + A₁ + A₂ ;               (4)

                 (t=0) =-1242A₁ -8858A₂;   

     Из уравнения (4):     0.11 + A₁ + A₂ = 0,12 , откуда  A₁ + A₂ = 0,01;

    Из уравнения (2):   (t=0) = ;

    Из уравнения (1) видно, что i₃R₄=U_C, i₃(0)R₄ = U_C(0);

  Тогда, подставляем вместо i₃(0)R₄  известное нам U_C(0) равное 120В:

        (t=0) =  =  = -1200 А/с;

             A₁ + A₂ = 0,01

             -1242A₁ -8858A₂ = -1200

    Откуда  А₁ = -0,146  А₂ = 0,156;

   i₁ = 0.11 – 0,146*e^{-1242 t}  + 0,156*e^{-8858 t} 

 Ответ: i₁ = 0.11 – 0,146*e^{-1242 t}  +  0,156*e^{-8858 t}  .

2) Операторный метод

                                                                  I₁(p) – I₂(p) – I₃(p) =0;

                                                                  I₁(p)(R₁₂+Lp) + I₃(p)R₄ =  + Li₁(0);

                                                                   I₂(p) - I₃(p)R₄ = -   

   = =

= =

==

=;

Перейдем к оригиналу с помощью теоремы разложения:

=++

I₁=+

+

Ответ: i₁ = 0.11 – 0,146*e^{-1242 t}  +  0,156*e^{-8858 t}  .

32

II. Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов

Условие задачи:

Дана электрическая цепь (рис. 2.4), в которой действует источник несинусоидальной ЭДС с частотой  Гц и амплитудой  воспроизводимой ЭДС; источник тока с частотой  Гц и амплитудным значением  воспроизводимого тока. В цепь подключены две индуктивности , ёмкость  и нагрузка с активным сопротивлением . Определить комплексное и мгновенное значение тока на нагрузке; действующие значения напряжения и тока на нагрузке; среднюю, реактивную и полную мощности в цепи.

Решение:

Дано:

1)        

2) Рассчитаем цепь методом комплексных амплитуд:

По методу Крамера вычислим значение тока :

3)Для первой гармоники:

Для второй гармоники:

4)

Найдём мгновенное значение напряжения на нагрузке по найденному  :

Графики спектров амплитуд и начальных фаз:

5) Определим мощность в цепи:

;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

I. Переходные процессы в линейных электрических цепях

При расчёте переходного процесса в линейной электрической цепи и в классическом, и в операторном методе получили один и тот же ответ, поэтому оба этих метода можно применять для решения задач любой сложности. Однако, классический метод физически более прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализовано. Если при сравнении этих методов исходить из объёма вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков – операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоёмкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе. Операторный метод имеет перед классическим некоторое преимущество из-за краткости решения.

II. Линейные электрические цепи периодических несинусоидальных токов

Рассчитав линейную цепь с помощью метода наложения, получили, что в цепи тоже появляются несинусоидальные токи и напряжения, состоящие только из двух гармоник и равными нулю постоянными составляющими. А это значит, что при необходимости можно получить в цепи несинусоидальные токи и напряжения с требуемыми амплитудами, частотами и начальными фазами, подключив к ней один источник постоянного тока или ЭДС и несколько источников синусоидального ЭДС или тока.