СКАЧАТЬ:  tozhe-toe.zip [195,16 Kb] (cкачиваний: 34)  

Содержание.

1. Переходные процессы в линейных электрических цепях:

1.1. Классический метод расчета………………………………………………..5

1.2. Операторный метод расчета………………………………………………..10

2. Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников………..14

3. Электрические фильтры…………………………………………………………19

4. Выводы…………………………………………………………………………...24

5. Список литературы……………………………………………………………....26

Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Дано:электрическая цепь, в которой происходит коммутация. В цепи действует постоянная ЭДС Е. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L₂=0, т.е. участок a – b схемы закорочен, и когда С₂=0, т.е. ветвь m – n с конденсатором С₂ разомкнута. Е=200 В, L₁=1мГн,С₁=50 мкФ, R₁=2 Ом, R₂=10 Ом, R₃=20 Ом, R₄=8 Ом.

Найти:закон изменения во времени величины i₂ и построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/p_min. Задачу решить классическим и операторным методами.

Решение:Электрическая схема в первоначальном состоянии с разомкнутой ветвью m-n имеет вид рис. 1:

Рис. 1

Классический метод расчета переходных процессов.

1). Электрическая цепь после коммутации примет вид:

Рис. 2

Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Положительные направления обхода выберем по часовой стрелке для всех контуров.

(1)

где или .

После подстановки в (1,в) и дифференцирования уравнений (1,б) и (1,в)получим систему уравнений для трех неизвестных токов:

(2)

2). Независимые начальные условия – ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе – неизвестны. Поэтому определим их из расчета режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Считая, что до коммутации в контурах с резистивными элементами и с емкостным элементом был установившийся режим, при постоянной ЭДС Е найдем ток в индуктивном элементе, который будет определяться по закону Ома:

Напряжение на емкостном элементе:

3). Запишем искомую величину в виде суммы принужденной (установившейся) и свободной составляющих:

4). Принужденную составляющую найдем, рассчитав режим цепи постоянного тока (ЭДС в цепи постоянная) после коммутации.

В установившемся режиме после коммутации ток есть только во внешнем контуре, а .

5). Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Для этого можно составить главный определитель системы (2) и приравнять его к нулю.

Умножим это выражение на и вынесем множитель «р» за скобку:

Корень р=0 соответствует установившемуся режиму, который уже найден. Два других корня определяются из характеристического уравнения под скобкой, которое представляет собой обыкновенное квадратное уравнение.

; .

6). Запишем свободную составляющую с постоянной интегрирования, учитывая, что корни комплексные сопряженные. Используем формулу:

7). Искомое решение с постоянной интегрирования:

8). Для определения постоянной интегрирования запишем полученное решение и его производную для начального момента времени:

(3)

Это два алгебраических уравнения, из которых можно найти постоянную Аи угол ψ при известных значениях и . Начальное значение тока определим из системы дифференциальных уравнений цепи (1), записанной для момента t=0:

(4)

В этой системе алгебраических уравнений с тремя токами, производной тока и напряжением две величины и были уже найдены с применением законов коммутации. Следовательно, остальные три величины , и можно вычислить.

Определим из (4,б) :

Для определения начального значения производной дифференцируем систему уравнений Кирхгофа (1) и подставляем t=0.

(5)

Это система трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными , и , которые можно вычислить. В рассматриваемой задаче достаточно найти . Для этого выразим из (5,в) и подставим в (5,а):

Подставим полученные значения в (3) и определим постоянную интегрирования А и угол ψ:

(6)

Выразим из (6,б)А и подставив в (6,а) найдем ψ:

.

Далее подставим ψ в (6,а) и найдем постоянную интегрирования:

9). Искомый ток будет равен:

Ответ:

Операторный метод расчета переходных процессов.

1). Электрическая цепь после коммутации примет вид рисунка 2. Составим эквивалентную операторную схему (рис. 3). В этой схеме учтено, что изображение постоянной величины Е равно .

Рис. 3

Для новой схемы составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме:

(7)

2). В данной системе независимые начальные условия и были найдены при расчете переходных процессов классическим методом:

3). Далее выразим из (7,а) и, подставив в (7,в), найдем :

Подставим полученное выражение вместо в (7,б):

Выразим из последнего уравнения :

4). Подставим (8) и (9) в (7,а) и определим из полученного выражения .

Подставим в полученное выражение значения и вычислим :

Умножим числитель и знаменатель данного выражения на р. Это не приведет к нарушению равенства, т. к. частное от равно 1.

5). Данная функция представляет собой изображение некоторого оригинала. Этот оригинал найдем при помощи теорем разложения, изложенных в учебнике №2 (стр. 263 и 321). По теореме разложения:

Из уравнения , т. е. , вычислим корни характеристического уравнения:

Оригинал тока найдем по теореме разложения в случае двух комплексных сопряженных корней:

где

При этом имеем:

Ответ:

6). Так как значения искомого тока при расчете классическим и операторным методами совпали, то расчеты произведены правильно. Для полученного аналитического выражения построим график изменения тока в функции времени в интервале от t=0 до t=0,003 c. Запишем функцию изменения искомого тока в ином виде, используя радианы:

График представлен на рис. 4.

Рис. 4

Часть 2. Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников.

Дано: L₁=40,2 мГн, L₃=0 мГн, C₁=35,4 мкФ, C₃=53 мкФ, R₂=25 Ом, f=150 Гц.

Рис. 5

Найти: схему представить как Т-схему пассивного четырехполюсника и найти элементы матрицы Z, записать формулы для них сначала в общем виде, а затем в числовом.

Решение: 1). После преобразования схемы в условии задачи она примет вид Т-схемы пассивного четырехполюсника:

Рис. 6

В данной схеме необходимо представить емкостные, индуктивные и резистивные элементы в виде комплексных сопротивлений. Учитывая, что f=150 Гц, найдем угловую частоту ω для цепи:

Далее вычислим сопротивления каждого элемента:

2). Определим комплексные сопротивления четырехполюсника:

3). Схема четырехполюсника с комплексными сопротивлениями будет иметь конечный вид:

Рис. 7

Запишем для этой схемы систему уравнений типаZ:

Для того, чтобы найти коэффициенты уравнений, надо провести мысленные опыты холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). Проведем эти опыты, выбрав первым опыт холостого хода.

4). При холостом ходе на вторичных выводах (или ) схема четырехполюсника примет следующий вид:

Рис. 8

Запишем систему уравнений типа Z для режима ХХ. При этом все токи и напряжения будут с индексом «х»:

Так как в этой системе ток I_2X=0, то она примет следующий вид:

Выразим по закону Ома для участка цепи:

Из схемы четырехполюсника при ХХ нетрудно увидеть, что:

Следовательно: . Выразим отсюда и подставим в уравнение (10,а):

Приравняем правые части равенства (10,б)и (11):

;

Поделим обе части равенства на .

5). При коротком замыкании вторичных выводов (или ) схема четырехполюсника будет иметь вид:

Рис. 9

Запишем систему уравнений типа Z для режима КЗ, учитывая при этом, что напряжения и токи будут с индексом «к»:

так как , то система примет следующий вид:

Далее найдем напряжение и ток по закону Ома:

Подставим (13) в (12,а):

Приравняем правые части (13) и (15). Получим:

Поделим обе части равенства на и сократим дроби:

Выразим и подставим значения:

По формуле (12,б) найдем :

где

Подставим значения и вычислим :

6). Проверка для уравнений типа Z:

Ответ:

Часть 3. Электрические фильтры.

Дано: L=2,52 мГн, C=1,4 мкФ, T=0,63 мс,U_m=17 В, R_н=55,0 Ом. Электрическая схема (рис. 10), рассматриваемая как схема фильтра, работающего на согласованную нагрузку, на вход которой воздействует периодическое напряжение . Схема нагружена на активное сопротивление R_н.

Рис. 10

Найти: значения граничных частот полосы прозрачности фильтра (частот среза); качественно построить зависимость характеристического сопротивления Z_с, затухания a и сдвига по фазе b в функции частоты ω; на вход фильтра подать 3-ю гармонику напряжения u₁ (рис. 11). Для указанной гармоники входного напряжения определить числовые значения постоянной передачи g=А+jВ, характеристического сопротивления Z_с, напряжения и токов во всех ветвях схемы.

Рис. 11

Решение: 1). Данная схема представляет собой схему Т–образного фильтра. Найдем для нее сопротивления (продольное) и (поперечное):

Граничные частоты полосы пропускания определим из условий:

и

Найдем из условия 2):

определяется по первому условию:

или

.

По полученным значениям сделаем вывод о том, что фильтр высокочастотный. Полоса пропускания (прозрачности) фильтра имеет вид: . Частота среза равна:

2). Построим зависимость характеристического сопротивления Z_с, затухания a и сдвига по фазе b в функции частоты ω (рис. 12). Для этого воспользуемся анализом высокочастотных Т-образных фильтров, приведенным в учебнике №3 (стр. 171-172).

Рис. 12

3). Так как мы имеем высокочастотный фильтр, то на вход следует подать 3–ью гармонику напряжения u₁. Исходя из схемы зависимости прежде всего выделим в напряжении постоянную составляющую и мысленно проведем новую ось времени на высоте . Тогда относительно новой оси времени (используя табличное разложение в ряд Фурье в учебнике №2, стр. 754) оставшуюся часть напряжения запишем в виде:

Так как на вход данного фильтра надо подать 3-ю гармонику напряжения u₁, то ряд будет преобразован к следующему виду:

Найдем угловую частоту и, соответственно, частоту при данном напряжении:

Так как частота при заданном напряжении расположена в интервале полосы прозрачности фильтра, т. е. , то постоянная ослабления А=0. Постоянная фазы В может быть найдена по формуле:

Следовательно, постоянная передачи будет равна:

По формуле в учебнике №3 (стр. 172) найдем характеристическое сопротивление :

Так как , то не нарушается условие режима согласованной нагрузки.

Далее рассчитаем токи и напряжения во всех ветвях схемы. Данная схема представляет собой симметричный четырехполюсник, поэтому расчет произведем, используя форму записи А уравнений четырехполюсников. Первоначально запишем систему типа А и найдем комплексные сопротивления. Схема фильтра с комплексными сопротивлениями будет иметь вид рис. 13:

Рис. 13

Для схемы примем, что и . Так как , то:

Для определения коэффициентов системы (16)воспользуемся готовыми уравнениями для формы записи А из учебника №2 (стр. 158):

Найдем оставшиеся токи и напряжения, изображенные на рис. 14. Выразим из уравнения (16,а)ток и подставим в уравнение (16,б):

Рис. 14

Найдем ток по закону Кирхгофа:

Напряжения на емкостных и индуктивных элементах определим при помощи закона Ома.

Ответ: Полоса пропускания фильтра: ; частота среза: ; постоянная передачи: ; характеристическое сопротивление ; ; ; ; ; ; ; .

Список литературы.

1. Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989 – 528 с.

2. Под ред. проф. П. А. Ионкина. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. – М.: Энергоиздат, 1982 – 768 с.

3. Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1996 – 638 с.

4. Под ред. Л. А. Бессонова. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. – М.: Высшая школа, 2000 – 528 с.