СКАЧАТЬ:moy.zip [132,26 Kb] (cкачиваний: 64)  

Содержание

Часть 1Переходные процессы в линейных электрических цепях……………5

Классический метод расчета……………………………………………5

Операторный метод расчета…………………………………………….10

Часть 2 Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников………………………………………………….13

Часть 3 Электрические фильтры……...………………………………18

Выводы………………………………………………………………………… 23

Список литературы………………………………………………………………25

Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Дано: электрическая цепь, в которой происходит коммутация. В цепи действует постоянная ЭДС Е. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L₂=0, т.е. участок a– b схемы закорочен. Е=150 В, L₁=2мГн, С₁=5 мкФ, R₁=4 Ом, R₂=10 Ом, R₃=5 Ом, R₄=6 Ом.

Найти: закон изменения во времени величины U_l1 и построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/p_min. Задачу решить классическим и операторным методами.

Решение: Электрическая схема в первоначальном состоянии с разомкнутой ветвью m-n имеет вид рис. 1:

Рис. 1

Классический метод расчета переходных процессов.

1). Электрическая цепь после коммутации примет вид:

Рис. 2

Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Положительные направления обхода выберем по часовой стрелке для всех контуров.

(1)

Выражение (1) дифференцируем и получим новую систему:

(2)

2) Определим независимые начальные условия, когда цепь еще разомкнута, то есть схема примет вид:

Независимые начальные условия – ток в индуктивном элементе i_L(0₊) и напряжение на ёмкостном элементе u_c(0₊)неизвестны. Поэтому определим их из расчёта режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Считая, что до коммутации в левом контуре был установившийся режим, при постоянной ЭДС Е, конденсатор был заряжен до напряженияu_c = E, т.е. u_c(0_-) = u_c(0₊) = u_c(0) = E, а ток был равен нулю, т.е. i(0_-) = i(0₊) = i(0) = 0. Это и есть независимые начальные условия.

Определяем независимые начальные условия исходя из законов коммутации до включения рубильника:

i_L(0)= i_L(0₊)= i_L(0_-)= i₁(0)=0

u_C(0_-)= u_C(0₊)= u_C(0)=E=150B

3) Запишем искомую величину тока в виде суммы установившейся и свободной составляющих: i₁(t)= i_1пр + i_1св.

4) Определим принужденную составляющую после коммутации:

В установившемся режиме ток в ветви с конденсатором при действии постоянной ЭДС отсутствует, т.к. заряженный от источника постоянной ЭДС конденсатор равносилен разрыву в данной ветви:.

5) Вид свободной составляющей тока и напряжения зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получаем из формулы входного сопротивления цепи в комплексной форме с последующей заменой в ней jw на p и приравниванием к нулю:

Z(p)=0

jω→p

R₁ R₂R₃cp+ R₁ R₂ + R₁ R₃ Lcp²+ R₁Lp+ R₄ R₂ R₃cp+ R₄ R₂+ R₄R₃Lcp²+ R₄ Lp+ + R₂R₃Lcp²+ R₂ Lp+ R₂R₃ +R₃ Lp)=0

P²(R₁R₃Lc+ R₄R₃Lc+ R₂R₃ Lc) + p(R₁R₂R₃c+ R₁L+ R₄ R₂R₃c+ R₄L+ R₂L+R₃L) + +R₁R₂ + R₄R₂+ R₃R₂=0

Подставляем в полученное уравнение известные значения L, С, R₁, R₂, R₃, R₄.

0,000001p²+ 0,0525p+150=0

Найдём корни этого уравнения. Получим:

p₁= -49450

p₂= -3050

6) Запишем свободную составляющую, обращая внимание на вид корней(действительные). Свободная составляющая тока примет вид:

7) Учитывая пункты 4) и 6) запишем искомое решение в виде:

8) Для определения двух постоянных интегрирования А₁ и А₂, запишем полученное решение и его производную для начального момента времени t=0.

(3)

Возвратимся в пункт 1 и перепишем систему (1) с для t=0.

(4)

В этой системе алгебраических уравнений с четыремя токами, производной тока и напряжением две величины и уже были найдены с применением законов коммутации. Следовательно, остальные три величины , и можно вычислить

Определим :

Подставим полученные значения в систему (3)

,

Решая данную систему получим следующие постоянные интегрирования

Записываем величину i₁ (t) с учетом А₁,А₂:

Искомая величина U_L1(t) запишется:

Ответ:

Операторный метод расчета переходных процессов.

1). Электрическая цепь после коммутации примет вид рисунка 2. Составим эквивалентную операторную схему (рис. 3). В этой схеме учтено, что изображение постоянной величины Е равно .

Запишем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа

(5)

Выразим все токи из каждого уравнения системы

2). В данной системе независимые начальные условия и были найдены при расчете переходных процессов классическим методом:

3). Далее выразим и, подставив его во второе уравнение системы (5), найдем :

Второе уравнение системы примет вид:

Подставим величины Е, i₁(0),U_c(0), R₁, R₂,R₃,R₄,C, L выразим ток I₁(p), и после математических преобразований получим уравнение для его нахождения:

Из полученного уравнения, методом частных значений, определим коэффициенты А,В и С.

Получим:

Получили изображение тока I₁(p), для перехода к оригиналу i₁(t) применим формулу разложения:

, тогда ток I₁(p)будет изображаться :

Искомая величинаU_L1(t) запишется:

Ответ:

Результаты расчёта U_L1 классическим и операторным методами совпадают.

На основании полученного аналитического выражения построим график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=3/|p|_мин. Здесь |p|_мин. – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Часть 2. Четырехполюсники. Определение параметров четырехполюсников.

Дано: L₁=2,12 мГн, L₂=3,98 мГн, C₂=7,56 мкФ,R₃=25 Ом, f=600 Гц,

Найти: Схему (рис. 2) представить как Т-схему пассивного четырёхполюсника. С этой целью все источники ЭДС в схеме закоротить, а левую и правую ветви разомкнуть. Сопротивление левой ветви обозначить Z1, средней – Z3, правой – Z2. Для полученной схеме составить уравнения четырёхполюсника в одной из матричных форм записи (G). Записать формулы для элементов матриц сначала в общем виде, а затем в числовом.

Решение:Преобразуем данную схему (рис. 2) в схему изображённую на рис. 2.1

рис. 2.1

Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Четырёхполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырёх по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырёхполюсника.

1)G – форма записи уравнений четырёхполюсника представляет собой следующую систему уравнений:

(1.1)

2) В данной схеме необходимо представить емкостные, индуктивные и резистивные элементы в виде комплексных сопротивлений. Учитывая, что f=600 Гц, найдем угловую частоту ω для цепи:

Определим сопротивления катушек и конденсаторов по формулам:

3). Определим комплексные сопротивления четырехполюсника:

4). Схема четырехполюсника с комплексными сопротивлениями будет иметь конечный вид:

Рис. 2.2

5) Рассмотрим режим холостого хода:

Схема (рис. 2.2) примет вид:

В этом режиме значение .

Исходная система (1.1) примет вид:

(1.2)

рис. 2.3

Из первого уравнения системы (1.2) определим:

Из второго уравнения системы (1.2) определим:

6) Рассмотрим режим короткого замыкания:

Схема (рис. 2.2) примет вид:

В этом режиме значение .

Исходная система (1.1) примет вид:

(1.3)

7) Далее найдем напряжение и ток по закону Ома:

;

С учётом произведённых расчетов, перепишем первое уравнение системы (1.3) в виде:

Поделим обе части равенства на и сократим дроби:

Выразим отсюда G₁₂:

8) Из второго уравнения системы (1.3) выразим G₂₂:

Окончательный результат: G₁₁= 0,0825j (См)

G₁₂= 1,6591

G₂₁= 1,6591

G₂₂= -24,9992-13,2542 (Ом)

Видно, что полученные значения коэффициентов четырёхполюсника удовлетворяют условию: G₁₂=G₂₁

Часть 3. Электрические фильтры.

Рассматривая схему (рис. 3а), как схему фильтра, работающего на согласованную нагрузку:

1)определить значения граничных частот полосы прозрачности фильтра (частот среза);

2)качественно построить зависимость характеристического сопротивления Z_c, затухания a и сдвига по фазе b в функции частоты ω;

3)на вход низкочастотного фильтра подать 1-ю гармонику напряжения u₁, на вход высокочастотного фильтра – 3-ю гармонику этого напряжения. Для указанной гармоники входного напряжения определить числовые значения постоянной передачи g=a + jb, характеристического сопротивления Z_c, напряжений и токов во всех ветвях схемы.

Дано: L=9,57мГн; C=3,48мкФ; T=1,74c; U_m=104,6В; R_н=65,7Ом.

Решение:

1) Определим область пропускания фильтра, исходя из граничных условий симметричного четырёхполюсника:

(1)и (2)

выражаем полосу пропускания НЧФ

а) или

Таким образом первая граничная частота для НЧФ является .

b)

Подставляем значения и

Таким образом согласно определению НЧФ имеет следующую частоту пропускания (0;1234) Гц или (0;7749) рад/с. Выше частоты f₂ начинается полоса непропускания.

2) Определим область пропускания фильтра исходя из граничных условий симметричного четырехполюсника:

или

Поскольку в области пропускания А=0 последнее уравнение примет следующий вид

Так как

Зная что имеем

Отсюда:

Так как

Определим постоянную передачи , которая определяется:

g=A+jB=

Характер изменения коэффициента затухания и фазы качественно иллюстрируют кривые

При

Рассмотрим изменение величины характеристического сопротивления в полосе прозрачности для Т-схемы НЧФ.

, где

Подставляем b и c, и получаем формулу

С увеличением частоты Z_с уменьшается от Z_с1 до Z_с2.

При .

При достижении

Зная, что зоне затухания Z_с имеет индуктивный характер для Т-фильтра НЧ, построим график зависимости от ω.

4) Разложим напряжение фильтра в ряд Фурье, используя табличные разложения:

Выделим в напряжении U₁(t) постоянную составляющую и мысленно проведём новую ось времени на высоте U_m/2. Стандартный вид разложения полученной функции:

Тогда относительно новой оси времени оставшуюся часть напряжения запишем в виде:

С учётом постоянной составляющей U₁(t) раскладывается в ряд Фурье следующим образом:

Так как нам дан НЧФ, то на его вход необходимо подать первую гармонику напряжения

Найдем коэффициенты

Подставим полученные числовые значения в уравнение А-типа:

Преобразуем первое уравнение системы

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы

Найдем ток , а затем напряжение

По закону Кирхгофа выразим ток через токи и :

Найдем напряжение на конденсаторе и на катушках:

Выводы

1) В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, то начало отсчета времени переходного процесса t = 0 начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим 0_-, а сразу после мгновенной коммутации 0₊.При анализе переходных процессов используются два закона коммутации:

1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t = 0₊, или, короче, t= 0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0_-, и дальше начинает изменяться именно с этого значении.

2. На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией. и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения.

В выполненном задании мы определили ток в переходном процессе с помощью классического и операторного метода расчетов, получив одинаковые значения тока. Однако классический метод расчета переходных процессов требует многократного решения алгебраических уравнений для нахождения начальных значений функции и ее производных, что и представляет основную трудность решения этим методом, и для определения постоянных интегрирования по начальным условиям. Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их более выгодно интегрировать операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа.

2) В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, то есть четырехполюсники. Зависимости между двумя напряжениями и токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие будут связаны с ними системой уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника. В моих уравнениях коэффициенты A₁₁, А₁₂, А₂₁, А₂₂ определяют сам четырехполюсник и зависят от схемы соединения и параметров составляющего четырехполюсник элементов электрической цепи. С тоски зрения режима на первичных и вторичных выводах четырехполюсники, имеющие одинаковые значения коэффициентов, неотличимы, то есть эквивалентны, хотя их внутренняя структура может быть различной.

Таким образом, можно утверждать, что четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты.

3) Электрические фильтры – это четырехполюсники составленные из катушек индуктивности конденсаторов, которые пропускают к приемнику из всего спектра частот источника один или несколько заданных диапазонов частот. Диапазон частот пропускаемых фильтром без затухания, называют полосой прозрачности; диапазон частот пропускаемых с затуханием, - полосой затухания. Сопротивление нагрузки Z_н присоединяемой на входе фильтра, должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением фильтра Z_н. это согласование видно в решенном мною задании в равенстве R_н=Z_с=65,7 Ом.

Список литературы

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Гардарики,2000г.

2.Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. т. 1,2; Л., Энергоатомиздат, Ленинградское отделение,1981г.

3.Ионкин Г.В.,Зевеке П.А. и др. Основы теории цепей.-М.: Энергоатомиздат, 1989г.

4.Сборник задач и упражнений по ТОЭ. Под редакцией Ионкина Г.В. - М.: Энергоатомиздат, 1982г.

5.Ионкин Г.В. Основы теории линейных цепей .М.: Энергоатомиздат, 1982г.

6.Сборник задач и упражнений по ТОЭ. Под редакцией Бессонова Л.А. - М.: Высш.шк., 2000г.