СКАЧАТЬ:  kursovaya-rabotatoya.zip [112,96 Kb] (cкачиваний: 131)

I.Переходные процессы

Задание

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1.1). В цепи действует постоянная э.д.с. Е. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L₂=0, т. е. участок a – b схемы закорочен. Требуется определить закон изменения во времени тока i₁ после коммутации.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=3/|p|_мин.Здесь |p|_мин. – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

рис. 1.1

Исходные данные: E=150 В, L₁=4 мГн, C₁=5 мкФ, R₁=9 Ом, R₂=10 Ом, R₃=5 Ом, R₄=1 Ом.

Решение

1. Классический метод.

1) Считаем за исходное состояние схемы то, которое соответствует разомкнутому состоянию ключа. Разомкнутому ключу соответствует эквивалентная схема (рис.1.2). Воспользуемся ею для нахождения начальных условий. Учитывая, что в индуктивности при постоянном токе ЭДС не создается, после включения ток не потечёт по R₂, так как L₁ – без сопротивления.

Сопротивления R₁ и R₄ заменим эквивалентным сопротивлением R₅, которое найдём по формуле:

R₅=R₁+R₄

рис 1.2

Рассмотрим переходные процессы в схеме (рис 1.2) после замыкания ключа. Замкнутому ключу соответствует схема (рис.1.3).

рис. 1.3

Переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями, записанными на основе законов Кирхгофа.

i_1пр – установившееся значение тока через индуктивность

i_1св – свободная составляющая тока через индуктивность

u _{c пр}– установившееся значение напряжения на ёмкости

Составляем систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа после коммутации:

(1)

2) Независимые начальные условия – ток в индуктивном элементе i_L(0₊) и напряжение на ёмкостном элементе uc(0₊) неизвестны. Поэтому определим их из расчёта режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Считая, что до коммутации в левом контуре был установившийся режим, при постоянной ЭДС Е, конденсатор был заряжен до напряженияuc=E, т.е. uc(0_-) = uc(0₊) = uc(0) = E, а ток был равен нулю, т.е. i(0_-) = i(0₊) = i(0) = 0. Это и есть независимые начальные условия.

Определяем независимые начальные условия исходя из законов коммутации до включения рубильника:

i_L(0)= i_L(0₊)= i_L(0_-)= i₁(0)=0

u_C(0_-)= u_C(0₊)= u_C(0)=E=150B

3) Запишем искомую величину тока в виде суммы установившейся и свободной составляющих:

i₁(t)= i_1пр+ i_1св.

4) Принуждённую составляющую найдём, рассчитав режим цепи постоянного тока (ЭДС в цепи постоянная) после коммутации.

В установившемся режиме после коммутации ток есть только во внешнем контуре (ток в ветви с конденсатором при действии постоянной ЭДС отсутствует, т.к. отсутствие тока в емкостной цепи объясняется тем, что заряженный от источника постоянной ЭДС конденсатор равносилен разрыву в данной ветви). Учитывая это, составляем эквивалентную схему соответствующую установившемуся режиму.

i_1пр =E/(R₃+R₅)=150/(5+10)=10A=i_1пр

5) Вид свободной составляющей тока и напряжения зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получаем из формулы входного сопротивления цепи в комплексной форме с последующей заменой в ней jw на p и приравниванием к нулю:

Z(p)=0

jω→p

R₃+(pL+R₅)(R₃cp+1)=0

R₃Lcp²+p(R₅R₃c+L)+R₅+R₃=0

Подставляем в полученное уравнение известные значения L, С, R₅, R₃.

0.0000001p²+0.00425p+15=0

умножим обе части уравнения на 10⁷

p²+42500p+150000000=0

D=1806250000-600000000=1206250000

=34731

p₁=8642

p₂=4427

6) Запишем свободную составляющую, обращая внимание на вид корней. Свободная составляющая тока примет вид:

7) Учитывая пункты 4) и 6) запишем искомое решение в виде:

8) Для определения двух постоянных интегрирования запишем полученное в п.7) решение для времени t=0:

i₁ (0) = A1+ A2+10;

получается одно уравнение с двумя неизвестными. Поэтому необходимо составить ещё одно уравнение. Для этого находим производную di₁/dt в момент времени t=0:

Таким образом, получаем систему из двух уравнений:

Из двух алгебраических уравнений можно найти постоянные A1и A2при известных значениях i₁ (0) и di₁/dt½_t=0.

Значения можно определить из пункта 2), .

di₁/dt½_t=0 определим из системы дифференциальных уравнений цепи (1), записанной для момента t = 0:

откуда

Полученное значения подставим в систему уравнений (4)

, тогда

2) Операторный метод.

Исходную схему заменяем на эквивалентную после коммутации (рис 1.4)

рис. 1.4

Для полученной схемы определяем токи, используя либо законы Кирхгофа, либо метод контурных токов, либо метод узловых потенциалов.

Воспользуемся законами Кирхгофа, зададимся обходами контуров

Из уравнения (2) выразим ток I₃(p)

ТокI₃(p) подставим в уравнение (3) системы и выразим ток I₂(p)

ТокиI₃(p) и I₂(p) подставим в уравнение (1) и определим ток I₁(p)

Величины i₁(0) и u_с(0) определяются из классического метода пункта 2)

Подставим величины Е, i₁(0),u_c(0), R₃,R₅,C, L и упростим ток I₁(p), получаем:

Получили изображение тока I₁(p), для перехода к оригиналу i₁(t) применим формулу разложения:

p_k являются корнями уравнения F₂(p)=0

Так как

Результаты расчёта тока i₁классическим и операторным методами совпадают.

На основании полученного аналитического выражения построим график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=3/|p|_мин.Здесь |p|_мин. – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

рис 1.5

II.Четырёхполюсники.

Задание.

Схему (рис. 2) представить как Т-схему пассивного четырёхполюсника. С этой целью все источники ЭДС в схеме закоротить, а левую (первую) и правую (третью) ветви разомкнуть. Разомкнутые зажимы левой ветви обозначить 1 - 1′ и считать их входными, а разомкнутые зажимы правой ветви обозначить 2- 2′ и считать их выходными (рис 2.2). Сопротивление левой ветви обозначить Z₁, средней – Z₃, правой – Z₂. Для полученной схеме составить уравнения четырёхполюсника в одной из матричных форм записи (G). Записать формулы для элементов матриц сначала в общем виде, а затем в числовом.

рис. 2.2

Исходные данные

R₁=100 Ом, L₂=160 мГн, L₃=25мГн, C₂=0,53 мкФ, C₃=6,6 мкФ, f=500 Гц.

Решение

Преобразуем данную схему (рис. 2) в схему изображённую на рис. 2.3

рис. 2.3

Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Четырёхполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырёх по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырёхполюсника.

G – форма записи уравнений четырёхполюсника представляет собой следующую систему уравнений:

(1.1)

При практическом использовании уравнений четырёхполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов.

Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырёхполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны первичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны вторичных зажимов.

1)Режим холостого хода

Схема (рис. 2.2) примет вид:

Подставим значение в исходную систему (1.1).

(1.2)

рис. 2.4

(1.3)

(1.4)

Учитывая первое уравнение системы (1.2) и равенство (1.4), получим:

(1.5)

=>=>

=> =>

=>

Учитывая последнее равенство и второе уравнение системы (1.2) имеем:

(1.6)

2)Режим короткого замыкания ()

рис 2.5

(1.7)

3)Режим холостого хода ()

выразим

=>

отсюда

(1.8)

Найдём сопротивления Z₁, Z₂, Z₃

Z2=R₁=200Ом

Z3=jX_L3 – jX_C3

X₃ = 7832

X_C3 = 320

Z₂ = j328-j4865 = 25120

Z₃ = j X_L2 - jX_C2

X_L2 =

X_C2 =

Z₃ = j502 – j601 = -2329

Подставим полученные сопротивления в выражения (1.5), (1.6), (1.7) и (1.8).

Окончательный результат: G₁₁= См

G₁₂=

G₂₁= G₂₂= Ом

Видно, что полученные значения коэффициентов четырёхполюсника удовлетворяют условию: G₁₂=-G₂₁

III.Электрические фильтры.

Задание

Рассматривая схему (рис. 3а), как схему фильтра, работающего на согласованную нагрузку:

1)определить значения граничных частот полосы прозрачности фильтра (частот среза);

2)качественно построить зависимость характеристического сопротивления Z_c, затухания a и сдвига по фазе b в функции частоты ω;

3)на вход низкочастотного фильтра подать 1-ю гармонику напряжения u₁, на вход высокочастотного фильтра – 3-ю гармонику этого напряжения. Для указанной гармоники входного напряжения определить числовые значения постоянной передачи g=a + jb, характеристического сопротивления Z_c, напряжений и токов во всех ветвях схемы.

Исходные данные: L=20 мГн, C=8 мкФ, T=5.88, U_m=30 В, R_н=59 Ом.

1) Определим область пропускания фильтра, исходя из граничных условий симметричного четырёхполюсника.

Одним из параметров четырёхполюсника является величина, которая позволила бы сравнивать напряжения и токи на входе и выходе четырёхполюсника при согласованной нагрузке.

Составим соотношение этих величин.

где m – модуль отношения - характеризует изменение значения напряжения.

- аргумент отношение – показывает сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе. Её называют постоянной фазы.

Так как напряжение на входе и выходе значительно отличаются, то отношение принято оценивать в логарифмическом масштабе. Поэтому вводят понятие «постоянной ослабления».

- постоянная передачи четырёхполюсника – характеризует изменение напряжения и тока при согласованной нагрузке, как по значению, так и по фазе.

Фильтрующие свойства четырёхполюсника рассмотрим путём сравнения выражения для коэффициента А четырёхполюсника с равным ему выражением гиперболического косинуса от аргументаa+jb:

Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учётом того, что и ) можно представить следующим образом.

Для любого фильтра, собранного по Т-схеме

Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношение в Т-схеме всегда будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числами – отношение двух мнимых чисел всегда есть число действительное. Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент А. Но если коэффициент А действителен, то действительным должно быть и выражение равного ему .

Это выражение действительно, если

(3.1)

При этом

(3.2)

Равенство (3.1) для полосы прозрачности (A=0) удовлетворяется, так как . В силу того, что , уравнение (3.2) для полосы прозрачности переходит в следующее:

Круговой косинус (cosb) может изменяться в пределах от +1 до -1. Поэтому крайние значения коэффициента А в полосе прозрачности равны ±1.

Получаем два неравенства:

(3.3)

(3.4)

где Z₁ – модуль продольного сопротивления

Z₂ – модуль поперечного сопротивления

Полученные равенства являются граничными условиями четырёхполюсника.

Данный четырёхполюсник (рис 3а) является высокочастотным фильтром, поэтому:

тогда f₂ определяется из граничного условия или. f₁ – из условия .

a) Определим граничную частоту f₁.

частота f находится по формуле

то есть первая граничная частота f₁ = ∞.

б) Определим граничную частоту f₂.

Z₁=4Z₂

выражаем ω

используя последнее равенство находим частоту f₂:

Подставим известные значения L и С.

Таким образом значения граничных частот полосы прозрачности фильтра:

f₁= 265 Гц, f₂=∞.

2) Качественно построим зависимость характеристического сопротивления Z_c, затухания a и сдвига по фазе b в функции частоты.

Рассмотрим вопрос об изменении модуля характеристического сопротивления Z_c в полосе прозрачности для высокочастотного Т-фильтра.

Характеристическое сопротивление фильтра

Изменяясь в пределах от нуля до , характеристическое сопротивление, с ростом частоты, остается вещественным. Это соответствует работе фильтра, нагруженного характеристическим сопротивлением, в резонансном режиме. Поскольку такое согласование фильтра с нагрузкой во всей полосе пропускания практически невозможно, реально фильтр работает с a=0 в ограниченном диапазоне частот.

Вне области пропускания частот a определяется из уравнения при b=-π. Плавное изменение коэффициента затухания показывает, что в полосе задерживания фильтр не является идеальным.

В этом случае характер изменения Z_cследующий: Z_c=0 при . С увеличением ω сопротивление Z_c увеличивается и при ω→∞ .

3)С помощью табличных функций и данного графика напряжения (рис.3б) разложим напряжение в ряд Фурье.

На рис. 3.1 показан табличный сигнал.

рис. 3.1

Ряд Фурье для табличного сигнала имеет вид:

Сравним сигналы на рис. 3б и рис. 3.1.

Исходный сигнал выше табличного на постоянный коэффициент ряда – и опережает его по фазе на четверть периода . Учтём в табличном разложении постоянную составляющую А₀, амплитудное значение и фазовый сдвиг по времени .

Подставим в полученный ряд известные значения U_m и T.

Таким образом получили третью гармонику напряжения -

Используя известное значение T определим частоту ω:

Так как мы подаём на вход фильтра третью гармонику напряжения, частота ω определяется как:

Зная ω, можем определить f.

Так как , то есть частота входит в полосу пропускания фильтра, то a=0

b определим по формуле

отсюда

Следовательно, постоянная передачи равна:

Далее определим характеристическое сопротивление Z_c.

Для высокочастотного фильтра характеристическое сопротивление определяется по формуле

, подставив в неё значения L и C, получим:

Получили, что характеристическое сопротивление Z_c равно сопротивлению нагрузки R_н.

Определим коэффициенты четырёхполюсника.

Проверим найденные значения коэффициентов, используя выражение для проверки уравнений типа А:

Далее, используя систему уравнений четырёхполюсника формы записи А

(3.1)

находимU₂ и I₂

U₁ = 6.4 В

Подставив известные значения A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂, I₁ и U₁ в систему (3.1), получим:

(3.2)

из первого уравнения системы (3.2) выразим U₂ и подставим его во второе уравнение.

из последнего уравнения найдём ток I₂.

Имея значение тока I₂, можем найти U_2.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для токов четырёхполюсника

(3.3)

Из уравнения (3.3) выразим ток I₃ и, подставив известные значения токов I₁ и I₂, найдём его значение

Используя закон Ома, найдём напряжения во всех ветвях схемы

где- напряжение на Z₃

- напряжение на Z₁

- напряжение на Z₂

Окончательный результат: