2.4. Источники массы и тепла в потоках.

Для учета изменения концентрации вещества в результате химических реакций и массообмена уравнения динамики должны учитывать величину, имеющую смысл интенсивности источников вещества .

Величина может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того, образуется или расходуется -ое вещество в потоке.

Частные выражения для источников вещества и тепла:

а) Химическая реакция в потоке: интенсивность источника вещества в уравнениях, характеризующих изменение его концентрации, равна скорости образования этого вещества , т.е.

. (2.4.1)

б) Массообмен потока с окружающей средой:

,

где - скорость массопередачи.

, (2.4.2)

где:

- поверхность массообмена к единице объема, м²/м³;

- коэффициент массопередачи, м/ч;

- равновесная концентрация вещества в среде, кмоль/м³;

в) Теплообмен потока с окружающей средой:

,

где - скорость теплопередачи.

,

где:

- поверхность теплообмена, отнесенная к единице объема, м²/м³;

- коэффициент теплопередачи, Дж/(м²×град×ч);

- температура среды, град;

3. Порядок выполнения работы.

Решение задач, связанных с отысканием оптимальных условий проведения химических реакций, имеет важное значение при выборе эксплуатационных параметров химических реакторов.

Под оптимальными условиями понимаются оптимальное время пребывания реагентов в реакторе и оптимальная температура в реакторе , обеспечивающие максимальное или минимальное значение заданного критерия R_опт (концентрация продукта на выходе реактора), т.е. для оценки оптимума необходимо выбрать критерии оптимизации (выходной параметр). На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция (функция выгоды), представляющая собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение.

Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (в данном случае максимума) целевой функции (x₂).

3.1. Постановка оптимальной задачи для каскада

идеального перемешивания

Необходимо найти значение и , обеспечивающие экстремум критерия оптимальности при наличии ограничений в виде гидродинамических уравнений при условии:

.

Рис. 3.1.1. Каскад идеального перемешивания

3.1.1. Аналитический метод нахождения

оптимального времени пребывания частиц

Для реакции типа найдем состав смеси на выходе реактора идеального смешения.

Аналитические выражения для скоростей образования реагентов и имеют вид:

, (3.1.1)

. (3.1.2)

Стационарный режим определяется системой гидродинамических уравнений (при t₁=t₂=t):

, (3.1.3)

. (3.1.4)

В результате решения, которой, находим:

, (3.1.5)

. (3.1.6)

В частном случае из уравнения (3.1.6) получим:

. (3.1.7)

Критерием оптимальности является максимальная концентрация (степень превращения) продукта Р на выходе реактора. Для критерия оптимальности:

, (3.1.8)

			=

- константы скорости реакции;

t - время пребывания частиц в реакторе;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ – температура реагента А;

T₂ – температура реагента P.

Дифференцируем выражение (3.1.8) по и , находим систему уравнений, определяющих оптимальные условия реакции:

(3.1.9)

. (3.1.10)

Эта система эквивалентна следующей:

(3.1.11)

. (3.1.12)

Из уравнения (3.1.11) выводим формулу для нахождения оптимального времени пребывания в реакторе при заданном значении температуры:

. (3.1.13)

Подставляя выражение (3.1.13) в уравнение (3.1.12), имеем:

. (3.1.14)

Решение уравнения (3.1.12) для заданного времени пребывания имеет вид:

. (3.1.15).

Отсутствие абсолютного экстремума у критерия оптимальности (3.1.8) означает, что его наибольшее значение следует искать на границе области допустимых значений переменных и .

3.1.2. Характеристика режима и построение графиков.

Рис. 3.1.2. Изменение концентрации в зависимости от времени

для реакции при различных значениях концентрации

продуктав исходном сырье.

Примечание:

При малом значении функция имеет максимум - рис. 3.1.2. а).

На рис. 3.1.2 показано изменение концентраций в зависимости от времени пребывания для различных значений . Величину , соответствующую максимальной концентрации , можно найти двумя методами:

1) аналитическим методом;

2) методом Лагранжа.

Из вида формулы (3.1.13) следует, что с возрастанием температуры оптимальное время уменьшается, и наоборот.

Необходимо выяснить, когда возрастанию выхода продукта способствует повышение, а когда - снижение .

Подставим выражение (3.1.13) в соотношение для критерия оптимальности (3.1.8). В результате получим:

. (3.1.16)

Продифференцируем (3.1.16) по и приравняем производную к нулю:

.

Знак производной совпадает со знаком разности .

Если , то , следовательно, выход продукта увеличивается при повышении температуры .

Если , то , следовательно, выход продукта увеличивается при повышении температуры .

Таким образом, если заданы ограничения на температуру , то оптимальная температура будет:

при ;

при .

рассчитывается по формуле (3.1.13).

Если заданы ограничения , то оптимальное время пребывания будет:

при ;

при .

Оптимальная температура определяется решением уравнения (3.1.12).

3.1.3. Метод Лагранжа.

Пусть требуется найти экстремум функции:

, (3.1.17)

которая зависит от - переменных , на которые накладываются ограничения:

; (3.1.18)

, m<n.

Для решения этой задачи вводится вспомогательная функция:

, (3.1.19)

где:

- неопределенные множители Лагранжа.

Для решения задачи отыскания экстремума функции при ограничениях на переменные (3.1.18) необходимо решить систему уравнений, где функция определяется выражением (3.1.19), совместно с ограничениями (3.1.18):

. (3.1.20)

3.2. Краткие сведения из теории.

Выражения (2.3.2) и (2.3.3) играют роль ограничений типа равенств, следовательно, можно вместо условного экстремума функции искать безусловный экстремум обобщенной целевой функции вида:

. (3.2.4)

В явном виде выражение для концентрации ключевого реагента на выходе из каскада реакторов (x_p) получается путем преобразования (3.2.1) и имеет вид:

(при t₁=t₂=t). (3.2.5)

Прологарифмировав (3.2.5), получим:

. (3.2.6)

Введем обозначения:

(3.2.7)

С учетом (3.2.7) выражение (3.2.6) примет вид:

. (3.2.8)

Выражение для ограничения по времени пребывания реагента в каскаде следует из (3.2.7):

; (3.2.9)

или что, то же самое:

, (3.2.10)

где:

; ; ; . (3.2.11)

С учетом вышеизложенного задача отыскания оптимальных значений переменных в данном случае выглядит следующим образом:

.

При ограничениях:

Для дальнейших расчетов принять следующие числовые значения:

(3.2.12)

; ,

где:

; ; ; ; ; ;

3.3. Порядок выполнения работы

Записать обобщенное (через множители Лагранжа) выражение для целевой функции в виде концентрации ключевого реагента на выходе каскада с учетом ограничений типа равенств:

, (3.3.1)

где:

; .

· записать обобщенное выражение целевой функции (через множители Лагранжа);

· записать необходимые условия существования экстремума обобщенной целевой функции;

· с помощью ЭВМ решить полученную систему уравнений и найти оптимальные значения переменных, рассчитать оптимальные значения искомых переменных;

· изменить концентрацию выходного потока на каскад x_A и решить задачу ранее приведенными способами;

· построить графики зависимости оптимальных значений t_опт и Т_оптот концентрации выходного потока (степени превращения);

· написать отчет о проделанной работе.

4. Результаты работы.

Согласно пункту 3.1. по методу Лагранжа:

·решить систему уравнений на ЭВМ;

·определить оптимальные параметры (и ), которые обеспечивают экстремум критерия оптимальности и максимальную концентрацию вещества на выходе;

·построить графики зависимости концентрации от оптимальных значений и ;

·найти и аналитическим методом, сравнить результаты с расчетами, полученными по методу Лагранжа;

·привести сравнительные характеристики оптимальных режимов.

· написать отчет о проделанной работе.

Исходные данные:

; ; ; ;

; ; ; ;

Допустимый предел повышения температуры .

Program laba2;

uses crt;

const T1=312; T2=220; r=8.32; k01=69; k02=55.34; e1=5636*4.2 ;E2=1112*4.2; x0=0.8;

var y1,y2,y3,y4,y5,a0,a1,a2,a3,a4,K1,K2,max:real;

tayMin,tayMax,ctr:integer;

tay,tay1,tay2,ty1,ty2:integer;

begin

ctr:=1;

repeat

clrscr;

if ctr>1 then writeln('Neverniy diapazon!');

write('Vvedite nijniy diapazon vremeni prebivaniya chastici v reaktore: tayMin=');

readln(tayMin);

write('Vvedite verhniy diapazon vremeni prebivaniya chastici v reaktore: tayMax=');

readln(tayMax);

ctr:=ctr+1;

until (tayMin+tayMax=840) and (tayMin>0) and (tayMax>tayMin);

K1:=60*k01*exp(-E1/(R*T1));

K2:=60*k02*exp(-E2/(R*T2));

A0:=ln(x0);

A3:=1/K1;

A4:=1/K2;

A2:=ln(K1);

Max:=0;

for tay1:=tayMin to tayMax do

for tay2:=tayMax downto tayMin do

begin

A1:=ln(tay1+tay2);

y2:=ln(1+tay1*K1);

y3:=ln(1+tay2*K2);

y4:=exp(y2);

y5:=exp(y3);

y1:=a0+a1+a2-y1-y2;

if y1>max then

begin max:=y1;

ty1:=tay1;

ty2:=tay2;

tay:=round(a3*y4+a4*y5-a3-a4);

end; end;

writeln('OptimaLnoe vremya prebivaniya chastic v 1 reaktore:',ty1:6,'sec');

writeln('OptimaLnoe vremya prebivaniya chastic vo 2 reaktore:',ty2:6,'sec');

writeln('OptimaLnoe vremya prebivaniya reagenta v kaskade:',tay:6,'sec');

writeln('Koncentraciya reagenta na vixode:',exp(max):6:3,'moli/l');

readkey;

end.

ОТВЕТ для диапазона 300-540

Оптимальное время пребывания частиц в 1 реакторе: 300 сек

Оптимальное время пребывания частиц во 2 реакторе: 540 сек

Оптимальное время пребывания реагента в каскаде: 840 сек

Концентрация реагента на выходе: 2,223 моль/л.

Ключевые слова -