Скачать:  laba-po-optimizacii-yayayayaya.zip [161,53 Kb] (cкачиваний: 20)

Кафедра «Автоматизации и информационных технологий»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине:

«Оптимизация и оптимальные управления»

на тему:

«Оптимизация технологического процесса

в каскаде идеального смешения»

Теоретическая часть

Основные сведения из теории

Математические модели химических реакторов строятся на основе гидродинамических моделей, учитывающих характер распределения времени пребывания частиц потока реагирующей смеси в данном реакторе с добавлением уравнений химической кинетики.

Основные понятия химической кинетики

Скорость химической реакции - изменение числа молей реагентов в результате химического взаимодействия в единицу времени на единицу объема:

. (1)

Согласно уравнению (1), вводя концентрацию с, получим:

, (2)

или . (3)

Константа скорости характеризует процесс, протекающий на микроуровне взаимодействия молекул, и зависит от вида молекул, вступающих в реакцию веществ, и от температуры.

.

Порядок реакции представляет собой сумму показателей степеней при концентрациях реагирующих веществ. Скорость реакции многих компонентов аппроксимируется уравнением:

, (4)

в котором , где - порядок реакции по компоненту , - по компоненту , - общий порядок.

Степень превращения: x_A=(c_A0 - c_A)/c_A0, где c_A0и c_A – начальная и конечная концентрации реагирующего вещества.

Закон Аррениуса

Зависимость константы скорости реакции от температуры представляется в виде закона Аррениуса:

. (5)

Модель реактора идеального перемешивания состоит из двух уравнений: гидродинамического и теплового. Однако можно ограничиться одним гидродинамическим уравнением, которое в установившемся режиме имеет вид:

,

- время пребывания в реакторе.

Для простой химической реакции уравнение может быть записано в следующем виде:

, (6)

где - температурный коэффициент (константа скорости реакции);

- абсолютная температура реакции;

- расчетное значение абсолютной температуры;

- постоянный сомножитель температурного коэффициента;

- энергия активации;

- универсальная газовая постоянная.

В диапазоне допустимого изменения температуры кривая закона Аррениуса может быть аппроксимирована прямой линией вида:

(7)

С учетом сказанного выше, обозначив через общее фиксированное время пребывания в каскаде, можем описать процесс в каскаде следующей системой уравнений:

(8)

практическая часть

Цель и содержание работы

Объектом изучения в данной лабораторной работе является установившийся процесс протекания реакции в группе аппаратов идеального перемешивания.

Рис. 1. Каскад идеального перемешивания

Цель работы заключается в следующем:

·закрепление полученных в теоретической части курса "Моделирование технологических процессов" знаний о постановке, формализации и методах решения оптимизационных задач для каскада реакторов идеального смешения;

·получение практических навыков решения реальных оптимизационных задач на ЭВМ;

·получение количественных представлений о влиянии важнейших режимных параметров процесса на совокупность оптимизирующих факторов.

Решение задач, связанных с отысканием оптимальных условий проведения химических реакций, имеет важное значение при выборе эксплуатационных параметров химических реакторов.

Под оптимальными условиями понимаются оптимальное время пребывания реагентов в реакторе и оптимальная температура в реакторе , обеспечивающие максимальное или минимальное значение заданного критерия R_опт (концентрация продукта на выходе реактора), т.е. для оценки оптимума необходимо выбрать критерии оптимизации (выходной параметр). На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция (функция выгоды), представляющая собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение. Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (в данном случае максимума) целевой функции (x₂).

1. Аналитический метод нахождения оптимального времени пребывания частиц

Для реакции типа найдем состав смеси на выходе реактора идеального смешения.

Аналитические выражения для скоростей образования реагентов и имеют вид:

, (9)

. (10)

Стационарный режим определяется системой гидродинамических уравнений (при t₁=t₂):

, (11)

. (12)

В результате решения находим:

, (13)

. (14)

В частном случае из уравнения (14) получим:

. (15)

Критерием оптимальности является максимальная концентрация (степень превращения) продукта р на выходе реактора

, (16)

где - константы скорости реакции;

t - время пребывания частиц в реакторе;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ – температура реагента А;

T₂ – температура реагента P.

Дифференцируем выражение (16) по и , находим систему уравнений, определяющих оптимальные условия реакции:

(17)

. (18)

Построим график зависимости производной от температуры Т.

Как видно из графика, производная в заданном интервале отрицательна, а это значит, что при увеличении температуры, целевая функция, т.е. максимальная концентрация продукта р на выходе будет уменьшаться. Поэтому наибольшее значение функции будет соответствовать нижней границе изменения температуры. Т.е. оптимальная температура Т = 286 К.

Из уравнения (17) выводим формулу для нахождения оптимального времени пребывания в реакторе при заданном значении температуры:

. (19)

По уравнению (19) можно судить, что температура реагента и время пребывания в аппарате связаны между собой обратной зависимостью и что при увеличении времени, целевая функция будет увеличиваться. При заданном ограничении , оптимальное время будет определяться верхней границей диапазона, то есть τ=385c.

2. Метод Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции:

, (20)

которая зависит от - переменных , на которые накладываются ограничения:

; (21)

, m<n.

Для решения этой задачи вводится вспомогательная функция:

, (22)

где - неопределенные множители Лагранжа.

Для решения задачи отыскания экстремума функции при ограничениях на переменные (21) необходимо решить систему уравнений, где функция определяется выражением (22), совместно с ограничениями (21):

. (23)

1.Запишем обобщенное выражение целевой функции через множители Лагранжа при ограничениях и .

2.В среде MathCad решим систему уравнений с помощью блока Given-Find.

Таким образом, τ=385c, T=286K, и расчеты аналитического метода сошлись с расчетами метода Лагранжа.

3.Построение графиков зависимости концентраций и от и Т

Запишем выражения зависимости концентраций продуктов А и Р от времени протекания реакций и температуры в реакторах, а также исходные данные.

Вывод. В данной лабораторной работе я изучил математические модели химических реакторов, ознакомился с математической формулировкой задачи оптимизации процесса идеального смешения в каскаде реакторов, когда требуется максимизировать концентрацию продукта. Решение получил двумя способами - аналитически и методом Лагранжа. В ходе лабораторной работы получил количественные представления о влиянии важнейших режимных параметров процесса (температуры и времени пребывания) на оптимизируемый фактор (концентрацию продукта).