СКАЧАТЬ:  1111.rar [348,85 Kb] (cкачиваний: 11)  

Лабораторная работа №1

по дисциплине: «Оптимизация и оптимальные управления»

на тему: «Оптимизация технологического процесса в каскаде идеального смешения»

ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

Объектом изучения в данной лабораторной работе является установившийся процесс протекания реакции в группе аппаратов идеального перемешивания.

Цель работы заключается в следующем:

· закрепление полученных в теоретической части курса знаний о постановке,формализации и методах решения оптимизационных задач для каскада реакторов идеального смешения;

· получение практических навыков решения реальных оптимизационных задач на ЭВМ;

· получение количественных представлений о влиянии важнейших режимных параметров процесса на совокупность оптимизирующих факторов.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Математические модели химических реакторов строятся на основе гидродинамических моделей, учитывающих характер распределения времени пребывания частиц потока реагирующей смеси в данном реакторе.

Модель идеального смешения.Условия физической реализуемости этой модели выполняются,если во всем потоке происходит полное смешение частиц потока.Любое изменение концентрации вещества на входе потока в зону идеального смешения мгновенно распределяется по всему объему.

Каскадная модель.Она представляет собой последовательное соединение аппаратов идеального переиешивания.

Закон Аррениуса: Зависимость константы скорости реакции от температуры представляется в виде закона Аррениуса:

Для простой химической реакции уравнение может быть записано в следующем виде:

где:

- температурный коэффициент (константа скорости реакции);

- абсолютная температура реакции, К;

- расчетное значение абсолютной температуры, К;

- постоянный сомножитель температурного коэффициента;

- энергия активации,[кДЖ/кмоль]

- универсальная газовая постоянная [кДЖ/кмоль*К]

Из рис.1 видно, что в диапазоне допустимого изменения температуры кривая закона Аррениуса может быть аппроксимирована прямой линией вида:

С учетом сказанного выше, обозначив через общее фиксированное время пребывания в каскаде, можем описать процесс в каскаде следующей системой уравнений:

Рис.1.Определение оптимальной температуры

Решение задач, связанных с отысканием оптимальных условий проведения химических реакций, имеет важное значение при выборе эксплуатационных параметров химических реакторов.

Под оптимальными условиями понимаются оптимальное время пребывания реагентов в реакторе τ и оптимальная температура в реакторе Tопт,обеспечивающие максимальное или минимальное значение заданного критерия Rопт(концентрация продукта на выходе реактора),т.е.для оценки оптимума необходимо выбрать критерии оптимизации (выходной параметр). На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция (функция выгоды), представляющая собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение.

Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции .

Постановка оптимальной задачи для каскада идеального перемешивания.

Необходимо найти значение Т_опт и τ_опт, обеспечивающие экстремум критерия оптимальности при наличии ограничений в виде гидродинамических уравнений при условии :

Аналитический метод нахождения оптимального времени пребывания частиц τ_опт и Т_опт.

Для реакции типа А→Р→Sнайдем состав смеси на выходе реактора идеального смешения.

Аналитические выражения для скоростей образования реагентов А и Р имеют вид:

Стационарный режим определяется системой гидродинамических уравнений (при t₁=t₂)::

в результате решения которой находим:

В частном случаеиз уравнения (10) получим:

Критерием оптимальности является максимальная концентрация (степень превращения) продукта Р на выходе реактора. Для критерия оптимальности:

где K(T₁), K(T₂) - - константы скорости реакции;

t - время пребывания частиц в реакторе;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ – температура реагента А;

T₂ – температура реагента P.Дифференцируем выражение (12) по t и T, находим систему уравнений, определяющих оптимальные условия реакции:

Эта система эквивалентна следующей системе:

Из уравнения (15) выводим формулу для нахождения оптимального времени пребывания в реакторе при заданном значении температуры:

Подставляя выражение (17) в уравнение (16), имеем:

Решение уравнения (16) для заданного времени пребывания имеет вид:

Отсутствие абсолютного экстремума у критерия оптимальности (12) означает, что его наибольшее значение следует искать на границе области допустимых значений переменных T и τ.

Для определения оптимальной температуры необходимо решить уравнение (16). Подставим выражение (17) в соотношение для критерия оптимальности (12). В результате получим:

Если заданы ограничения на температуру , то оптимальная температура будет:

при

при

Метод Лагранжа

Если требуется найти экстремум функции:

которая зависит от - переменных , на которые накладываются ограничения:

то вместо условного экстремума функции можно искать безусловный экстремум обобщенной целевой функции вида:

где - неопределенные множители Лагранжа.

Оптимум определяется из системы уравнений, в которых частные производные функции Лагранжа по всем переменным и множителям Лагранжа приравниваются к нулю.

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Исходные данные:

Аналитический метод.

Используя закон Аррениуса (3) найдем необходимые значения К(Т1) и К(Т2).

Из уравнения (17) найдём оптимальное время пребывания в реакторе при заданной температуре:

По формуле (11) найдем концентрацию продукта Р на выходе реактора:

xp(τ)=0.096

Рис.2. График зависимости концентрации вещества на выходе от времени пребывания реагентов в реакторе.

Для определения оптимальной температуры построим следующий график:

Рис.3. Определение оптимальной температуры

Из уравнения (19) выразим отношение:

Из этого следует что , следовательно Т_опт=Т_min=288°С

Метод Лагранжа

В явном виде выражение для концентрации ключевого реагента на выходе из каскада реакторов имеет вид:

при

Прологарифмировав, получим:

Введем обозначения:

Выражение для ограничения по времени пребывания реагента в каскаде следует из вышеизложенных обозначений:

или

где ; ; ;

С учётом вышеизложенного задача отыскания оптимальных значений переменных в данном случае выглядит следующим образом:

Подставим исходные данные в прологарифмированную формулу:

1. Запишем обобщенное выражение целевой функции через множители Лагранжа при ограничениях и .

2. В среде MathCad решим систему уравнений с помощью блока Given-Find.

Таким образом, t=455c, T=288K, и расчеты аналитического метода сошлись с расчетами метода Лагранжа.

Вывод: таким образом, мы закрепили свои знания о постановке и методах решения оптимизационных задач, решили систему уравнений на ЭВМ в программе Mathcad Professional. При решении поставленной задачи аналитическим методом мы получили что максимальная концентрация вещества на выходе из реактора достигается в момент времени τ = 32.316 секунд при минимальной температуре 288°С. При решении задачи методом Лагранжа мы получили что необходимая нам концентрация вещества на выходе с каскадов реакторов равная 0.668 будет получена в момент времени τ = 170.127 секунд.