Скачать: modelirovanie-sistem-laba-3.zip [163,88 Kb] (cкачиваний: 13)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

«Оптимизация технологического процесса

в каскаде идеального смешения»

1. Цель и содержание работы

Объектом изучения в данной лабораторной работе является установившийся процесс протекания реакции в группе аппаратов идеального перемешивания.

Цель работы заключается в следующем:

·закрепление полученных в теоретической части курса "Моделирование технологических процессов" знаний о постановке, формализации и методах решения оптимизационных задач для каскада реакторов идеального смешения;

·получение практических навыков решения реальных оптимизационных задач на ЭВМ;

·получение количественных представлений о влиянии важнейших режимных параметров процесса на совокупность оптимизирующих факторов.

2. ОСновные Сведения из теории

Математические модели химических реакторов строятся на основе гидродинамических моделей, учитывающих характер распределения времени пребывания частиц потока реагирующей смеси в данном реакторе с добавлением уравнений химической кинетики.

2.1. Основные понятия химической кинетики

Скорость химической реакции - изменение числа молей реагентов в результате химического взаимодействия в единицу времени на единицу объема:

. (2.1.1)

Согласно уравнению (2.1.1), вводя концентрацию с, получим:

, (2.1.2)

или . (2.1.3)

Знак "+" указывает, что в реакции вещество накапливается, знак "-" - что концентрация вещества снижается.

Константа скорости характеризует процесс, протекающий на микроуровне взаимодействия молекул, и зависит от вида молекул, вступающих в реакцию веществ, и от температуры.

.

Порядок реакции представляет собой сумму показателей степеней при концентрациях реагирующих веществ. Скорость реакции многих компонентов аппроксимируется уравнением:

, (2.1.4)

в котором , где - порядок реакции по компоненту , - по компоненту , - общий порядок.

Степень превращения: x_A=(c_A0 - c_A)/c_A0, где c_A0и c_A – начальная и конечная концентрации реагирующего вещества.

2.2. Типовые математические модели структуры потоков в аппаратах

Модель идеального смешения. Условия физической реализуемости этой модели выполняются, если во всем потоке происходит полное смешение частиц потока. Любое изменение концентрации вещества на входе потока в зону идеального смешения мгновенно распределяется по всему объему. Уравнение изменения концентрации имеет вид:

, (2.2.1)

где:

- скорость потока, поступающего в зону идеального смешения, м³/ч;

- объем зоны идеального смешения, м³;

Выходные кривые при ступенчатом и импульсном возмущении изображены в табл. 2.2.1. Модели идеального перемешивания соответствует апериодическое звено.

Модель идеального вытеснения. В соответствии с этой моделью принимается поршневое течение без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении вещества в направлении, перпендикулярном движению. Время пребывания в системе всех частиц одинаково.

Математическое описание модели имеет вид:

, (2.2.2)

где:

- концентрация вещества;

- время пребывания частиц в реакторе;

- линейная скорость потока;

- координата.

Модели идеального вытеснения соответствует звено чистого запаздывания.

Диффузионная модель. Различают однопараметрическую и двухпараметрическую модели.

Однопараметрическая модель. Ее основой является модель вытеснения, осложненная обратным перемешиванием. Основным параметром является коэффициент продольного перемешивания .

(2.2.3)

Двухпараметрическая модель. В этой модели учитывается перемешивание потока модели в продольном и радиальном направлениях. Модель характеризуется коэффициентом продольного и радиального перемешивания.

(2.2.4)

Каскадная модель. Она представляет собой последовательное соединение аппаратов идеального перемешивания.

Математическое описание включает линейных дифференциальных уравнений:

, . (2.2.5)

2.3. Закон Аррениуса

Зависимость константы скорости реакции от температуры представляется в виде закона Аррениуса:

. (2.3.1)

Модель реактора идеального перемешивания состоит из двух уравнений: гидродинамического и теплового. Однако можно ограничиться одним гидродинамическим уравнением, которое в установившемся режиме имеет вид:

,

- время пребывания в реакторе.

Для простой химической реакции уравнение может быть записано в следующем виде:

, (2.3.2)

где:

- температурный коэффициент (константа скорости реакции);

- абсолютная температура реакции;

- расчетное значение абсолютной температуры;

- постоянный сомножитель температурного коэффициента;

- энергия активации;

- универсальная газовая постоянная.

Из рис. 2.3.1 видно, что в диапазоне допустимого изменения температуры кривая закона Аррениуса может быть аппроксимирована прямой линией вида:

(2.3.3)

С учетом сказанного выше, обозначив через общее фиксированное время пребывания в каскаде, можем описать процесс в каскаде следующей системой уравнений:

(2.3.4)

Рис. 2.3.1. Определение оптимальной температуры

2.4. Источники массы и тепла в потоках

Для учета изменения концентрации вещества в результате химических реакций и массообмена уравнения динамики должны учитывать величину, имеющую смысл интенсивности источников вещества .

Величина может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того, образуется или расходуется -ое вещество в потоке.

Частные выражения для источников вещества и тепла:

а) Химическая реакция в потоке: интенсивность источника вещества в уравнениях, характеризующих изменение его концентрации, равна скорости образования этого вещества , т.е.

. (2.4.1)

б) Массообмен потока с окружающей средой:

,

где - скорость массопередачи.

, (2.4.2)

где:

- поверхность массообмена к единице объема, м²/м³;

- коэффициент массопередачи, м/ч;

- равновесная концентрация вещества в среде, кмоль/м³;

в) Теплообмен потока с окружающей средой:

,

где - скорость теплопередачи.

,

где:

- поверхность теплообмена, отнесенная к единице объема, м²/м³;

- коэффициент теплопередачи, Дж/(м²×град×ч);

- температура среды, град;

3. Порядок выполнения работы

Решение задач, связанных с отысканием оптимальных условий проведения химических реакций, имеет важное значение при выборе эксплуатационных параметров химических реакторов.

Под оптимальными условиями понимаются оптимальное время пребывания реагентов в реакторе и оптимальная температура в реакторе , обеспечивающие максимальное или минимальное значение заданного критерия R_опт (концентрация продукта на выходе реактора), т.е. для оценки оптимума необходимо выбрать критерии оптимизации (выходной параметр). На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция (функция выгоды), представляющая собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение.

Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (в данном случае максимума) целевой функции (x₂).

3.1. Постановка оптимальной задачи для каскада идеального перемешивания

Необходимо найти значение и , обеспечивающие экстремум критерия оптимальности при наличии ограничений в виде гидродинамических уравнений при условии: .

Рис. 3.1.1. Каскад идеального перемешивания

3.1.1. Аналитический метод нахождения оптимального времени пребывания частиц

Для реакции типа найдем состав смеси на выходе реактора идеального смешения.

Аналитические выражения для скоростей образования реагентов и имеют вид:

, (3.1.1)

. (3.1.2)

Стационарный режим определяется системой гидродинамических уравнений (при t₁=t₂=t):

, (3.1.3)

. (3.1.4)

В результате решения которой находим:

, (3.1.5)

. (3.1.6)

В частном случае из уравнения (3.1.6) получим:

. (3.1.7)

Критерием оптимальности является максимальная концентрация (степень превращения) продукта р на выходе реактора. для критерия оптимальности:

, (3.1.8)

t - время пребывания частиц в реакторе;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ – температура реагента А;

T₂ – температура реагента P.

Дифференцируем выражение (3.1.8) по и , находим систему уравнений, определяющих оптимальные условия реакции:

(3.1.9)

. (3.1.10)

Эта система эквивалентна следующей системе:

(3.1.11)

. (3.1.12)

Из уравнения (3.1.11) выводим формулу для нахождения оптимального времени пребывания в реакторе при заданном значении температуры:

. (3.1.13)

Подставляя выражение (3.1.13) в уравнение (3.1.12), имеем:

. (3.1.14)

Решение уравнения (3.1.12) для заданного времени пребывания имеет вид:

. (3.1.15).

Отсутствие абсолютного экстремума у критерия оптимальности (3.1.8) означает, что его наибольшее значение следует искать на границе области допустимых значений переменных и .

3.1.2. Характеристика режима и построение графиков

Рис. 3.1.2. Изменение концентрации в зависимости от времени для реакции при различных значениях концентрации продукта в исходном сырье.

Примечание: При малом значении функция имеет максимум - рис. 3.1.2. а).

На рис. 3.1.2 показано изменение концентраций в зависимости от времени пребывания для различных значений . Величину , соответствующую максимальной концентрации , можно найти двумя методами:

1) аналитическим методом;

2) методом Лагранжа.

Из вида формулы (3.1.13) следует, что с возрастанием температуры оптимальное время уменьшается, и наоборот.

Необходимо выяснить, когда возрастанию выхода продукта способствует повышение, а когда - снижение .

Подставим выражение (3.1.13) в соотношение для критерия оптимальности (3.1.8). В результате получим:

. (3.1.16)

Продифференцируем (3.1.16) по и приравняем производную к нулю:

.

Знак производной совпадает со знаком разности .

Если , то , следовательно, выход продукта увеличивается при повышении температуры .

Если , то , следовательно, выход продукта увеличивается при повышении температуры .

Таким образом, если заданы ограничения на температуру , то оптимальная температура будет:

при ;

при .

рассчитывается по формуле (3.1.13).

Если заданы ограничения , то оптимальное время пребывания будет:

при ;

при .

Оптимальная температура определяется решением уравнения (3.1.12).

3.1.3. Метод Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции:

, (3.1.17)

которая зависит от - переменных , на которые накладываются ограничения:

; (3.1.18)

, m<n.

Для решения этой задачи вводится вспомогательная функция:

, (3.1.19)

где- неопределенные множители Лагранжа.

Для решения задачи отыскания экстремума функции при ограничениях на переменные (3.1.18) необходимо решить систему уравнений, где функция определяется выражением (3.1.19), совместно с ограничениями (3.1.18):

. (3.1.20)

3.2. Краткие сведения из теории

Выражения (2.3.2) и (2.3.3) играют роль ограничений типа равенств, следовательно, можно вместо условного экстремума функции искать безусловный экстремум обобщенной целевой функции вида:

. (3.2.4)

В явном виде выражение для концентрации ключевого реагента на выходе из каскада реакторов (x_p) получается путем преобразования (3.2.1) и имеет вид:

(при t₁=t₂=t). (3.2.5)

Прологарифмировав (3.2.5), получим:

. (3.2.6)

Введем обозначения:

(3.2.7)

С учетом (3.2.7) выражение (3.2.6) примет вид:

. (3.2.8)

Выражение для ограничения по времени пребывания реагента в каскаде следует из (3.2.7):

; (3.2.9)

или что, то же самое:

, (3.2.10)

где:

; ; ; . (3.2.11)

С учетом вышеизложенного задача отыскания оптимальных значений переменных в данном случае выглядит следующим образом:

.

При ограничениях:

Для дальнейших расчетов принять следующие числовые значения:

(3.2.12)

; ,

где:

; ; ; ; ; ;

3.3. Порядок выполнения работы

Записать обобщенное (через множители Лагранжа) выражение для целевой функции в виде концентрации ключевого реагента на выходе каскада с учетом ограничений типа равенств:

, (3.3.1)

где:

; .

•· записать обобщенное выражение целевой функции (через множители Лагранжа);

•· записать необходимые условия существования экстремума обобщенной целевой функции;

•· с помощью ЭВМ решить полученную систему уравнений и найти оптимальные значения переменных, рассчитать оптимальные значения искомых переменных;

•· изменить концентрацию выходного потока на каскад x_A и решить задачу ранее приведенными способами;

•· построить графики зависимости оптимальных значений t_опт и Т_оптот концентрации выходного потока (степени превращения);

•· написать отчет о проделанной работе.

4. Результаты работы

Согласно пункту 3.1 по методу Лагранжа:

•решить систему уравнений на ЭВМ;

•определить оптимальные параметры (и ), которые обеспечивают экстремум критерия оптимальности и максимальную концентрацию вещества на выходе;

•построить графики зависимости концентрации от оптимальных значений и ;

•найти и аналитическим методом, сравнить результаты с расчетами, полученными по методу Лагранжа;

•привести сравнительные характеристики оптимальных режимов.

•написать отчет о проделанной работе.

Исходные данные:

; ; ; ;

; ;

Допустимый предел повышения температуры .

Требования по оформлению отчета

Отчет должен содержать:

1. Титульный лист.

2. Цель работы и краткую теорию.

3. Схему процесса и расчетные формулы.

4. Результаты расчетов и таблицы измерений, графики.

5. Выводы, касающиеся результатов исследований.