Скачать:  otchet-po-model.zip [222,25 Kb] (cкачиваний: 21)

ОТЧЕТ ПО

ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ № 1,2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ВАРИАНТ № 4

выполнил:

проверил:

Лабораторная работа№1

Определение коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов

Цель работы

Нахождение коэффициентов в уравнении регрессии с применением метода наименьших квадратов (МНК) с использованием программы Mathcad.

Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК)

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится к определению минимума функции многих переменных.

Если есть функция дифференцируемая, то требуется выбрать при выполнении минимума квадратичного критерия:

(1.1)

Линейное приближение по МНК

Пусть искомая функция f(x,) является линейной относительно х. В этом случае задача сводится к отысканию двух параметров а₀ и а₁ в зависимости

f(x,)= а₀ + а₁х. (1.2)

Критерий (1.1) примет вид

(1.3)

Условия минимума этого критерия таковы:

(1.4)

Система уравнений (1.4), получаемых дифференцированием выражения (1.3), имеет вид:

(1.5)

или, после преобразований,

(1.6)

Метод Крамера для решения системы линейных уравнений (1.6) приводит к следующим формулам для искомых параметров:

(1.7)

Частными случаями уравнения линейной регрессии с одной независимой переменной х являются:

- полиномиальная регрессия, когда

(1.8)

и ее разновидности – линейная регрессия от одной переменной (m=1):

(1.9)

и параболическая регрессия (m=2):

(1.10)

- трансцендентная регрессия и ее разновидности

в виде зависимости показательного типа:

(1.11)

которая линеаризуется путем логарифмирования:

(1.12)

и дробно-показательного типа:

(1.13)

которая также линеаризуется путем логарифмирования:

(1.14)

Обозначим , , , тогда после подстановки получим:

. После определения коэффициентов , и используя операцию, обратную логарифмированию, получим исходное степенное уравнение.

Для обратно-пропорциональной зависимости: если точечный график дает ветвь гиперболы, приближающую функцию можно искать в виде

(1.15)

Для перехода к линейной функции сделаем подстановку u=1/x.

(1.16)

Практически перед нахождением приближающей функции вида (1.16) значения аргумента следует заменить обратными числами. Полученные значения парамет­ров а и b подставить в формулу (1.15).

Эмпирическое корреляционное отношение, характеризующее тесноту связи между X и Y, определяется следующим образом:

(1.17)

Для оценки силы линейной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции:

(1.18)

Здесь определяются по формулам

(1.19)

(1.20)

Коэффициент корреляции характеризует не любую зависимость, а только линейную. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины Х и У связаны точной линейной функциональной зависимостью у=а₀+а₁х, то ; причем знак соответствует знаку коэффициента а₁. В общем случае, когда величины Х и У связаны произвольной стохастической зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах -1.

Задание

Определить коэффициенты в уравнении регрессии,используя МНК.

Решение

Задаем исходные данные в следующем виде:

Обозначения: х – входной параметр; у - выходной параметр.

Разделим все множество X на 5 интервалов и на каждом интервале и найдем среднее значение y:

Полученные значения запишем в виде:

По исходным данным получим поле корреляции Y1=f(X) и по средним точкам построим ломаную:

Определим вид уравнения регрессии и параметры уравнения регрессии

Определим коэффициенты для линейной зависимости:

1 способ: с помощью функции line(x,y)

2 способ:

Как видим, коэффициенты совпадают.

Следовательно, линейная зависимость имеет вид:

Построим график линейной зависимости:

Определим коэффициенты для полиноминальной зависимости:

1 способ:

2 способ:

с помощью встроенной функции regress(x,y,n), где n – порядок полинома.

Параболическая зависимость имеет следующий вид:

Построим график параболической зависимости

Определим коэффициенты для гиперболической зависимости:

1 способ:

2 способ: используя функцию line(x,y)

Гиперболическая зависимость имеет следующий вид:

Построим график гиперболической зависимости:

Определим коэффициенты степенной зависимости:

Степенная зависимость имеет вид:

Построим график степенной зависимости:

Определим суммы квадратов отклонений вычислительных значений каждой функции от заданных у.

Линейная зависимость:

Параболическая зависимость:

Степенная зависимость:

Сравним полученные результаты.

Сумма квадратов отклонений для линейной функции Q11=85,346, для параболической Q33=41,603, для гиперболической Q55=6,484∙10^-3, для степенной Q44=27,063. Сравнивая качество приближений, находим, что приближение в виде гиперболической зависимости в данном случае предпочтительнее.

Лабораторная работа№2

Регрессионный анализ данных в Mathcad

Цель работы

Проведение регрессионного анализа в Mathcad.

Теоретические сведения

Полиномиальное приближение функций

В тех случаях, когда линейное приближение оказывается неудовлетворительным, т.е. дает значительное отклонение расчетной зависимости от аппроксимируемой, используется приближение полиномами второй степени и выше (m>2) вида:

(1.21)

Рассмотрим вывод матричной формулы для определения коэффициентов многочлена второй степени (m=2).

Определение параметров а₀, а₁, а₂ по методу наименьших квадратов сводится к нахождению минимума критерия (1.3) как функции трех переменных:

(1.22)

Необходимые условия минимума этого критерия имеют вид:

(1.23)

или

(1.24)

Регрессионный анализ проводится после того, как определен вид уравнения регрессии и найдены значения его коэффициентов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов уравнения регрессии и устанавливается адекватность уравнения.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости остаточная дисперсия определяется следующим образом:

. (1.25)

Тогда адекватность принятого уравнения оценивается сравнением и дисперсии относительно среднего :

(1.26)

по критерию Фишера

. (1.27)

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное:

, ,

для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы, тем эффективнее уравнение регрессии.

В MathCAD табличное значение критерия Фишера с учетом принятой доверительной вероятности γ и чисел степеней свободы определяется оператором qF(γ, k1, k2).

Этапы построения уравнений приведены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Этапы построения уравнений

Задание

Провести регрессионный анализ для зависимостей, полученных в лабораторной работе № 1

Решение:

Расчет относи тельной погрешности для зависимости

1)Гиперболическая зависимость:

2) Параболическая зависимость: