СКАЧАТЬ:  2.zip [192,44 Kb] (cкачиваний: 34)

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №2

по дисциплине: «Моделирование систем»

на тему: «Применение метода Лагранжа»

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА

Цель работы: Изучение метода Лагранжа для ограничений в виде равенств и решение задача минимизации функции.

Сведения из теории:

Рассмотрим методы решения задач, которые могут быть представлены как задачи отыскания экстремума соответствующего критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены определенные ограничения, имеющие вид равенств или неравенств. Примером подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом максимальное или минимальное значение. Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа, сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений.

Условным экстремумам функции  называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны уравнением f(x, у)=0 (уравнение связи).

Для определения условного экстремума могут быть использованы методы дифференциальною исчисления, когда функция f(x₁,..,x_n) имеет не ниже второй производной. Процесс решения состоит в определении внутри допустимого  множества всех  стационарных точек функции f(x₁,..,x_n), удовлетворяющих   условию ,   далее   проверке   всех стационарных точек на максимум и сравнении этих значений с максимальными значениями, которых достигает функция на границах допустимого множества. Недостатком классического метода является отсутствие стандартизованного метода, пригодного для любых видов ограничений.

Проблема отыскания условного экстремума функции многих переменных была изучена Лагранжем, предложившим так называемый метод множителей для задач с ограничениями – равенствами . Интересный сам по себе, этот метод позволил получить в более позднее время ряд обобщений, которые привели к разработке алгоритмов решения задач с неклассическими условиями.

Используя метод множителей Лагранжа, можно отыскать максимум или минимум функции при ограничениях типа равенств. Основная идея метода заключается в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания экстремума специально построенной функции Лагранжа без ограничений.

Идею метода множителей Лагранжа поясним на следующем примере.

Рассмотрим задачу минимизации функции двух переменных (целевая функция)

,

где на х и у наложено единственное ограничение, задаваемое уравнением

                                                  (1)

Причем требования неотрицательности и целочисленности х и у отсутствуют. Рассматриваемые f(x,у) и g(x,у) непрерывно дифференцируемы, свойства g(x, у) таковы, что из равенства g(x,y)=0 следует y = h(x) (т. е. выражается в явном виде через х). Требуется получить необходимые условия, которым должна удовлетворять точка локального экстремума z.

Таким образом, уравнение g(x, у) = 0 можно разрешить относительно у как функцию от х, т. е. y = h(x). Конечно, на практике может оказаться трудным или даже невозможным найти явный вид функции h(x). При выполнении определенных условий дифференцируемости производная функции h(x)

                                                  (2)

Тогда функцию

                                                     (3)

можно записать как функцию одной независимой переменной х. Необходимым условием минимума функции z будет соотношение

т.е.                                                                                        (4)

Соотношения (1) и (2) могут быть решены с целью получения значений х^*, y^* в точке минимума.

Этот результат может быть представлен в иной форме. Если положить

                                                   (*)

при х = х^*, у = у^*, то в точке минимума выполняются соотношения

                                                   (5)

причем последнее следует непосредственно из соотношения (*).

Совместное решение уравнений (5) относительно x, у, λ позволяет найти все точки, в которых ожидается локальный экстремум функции z.

Главное состоит здесь в том, что систему (5) можно получить более коротким и чисто формальным путем. Для этого достаточно составить по данным исходной задачи функцию Лагранжа

                                          (6)

которая представляет собой сумму целевой функции и произведения множи­теля Лагранжа  λ на функцию ограничения. Затем нужно приравнять к нулю частные производные по x, у, λ. Тогда необходимые условия минимума функции f(x, у) при наличии ограничений могут быть записаны в следующем виде:

                                 (7)

Суть метода множителей Лагранжа заключается именно в отыскании решений системы (7) с последующей проверкой достаточных условий экстремума в точках х и у, сравнении получаемых результатов и выборе наилучшего из них, чем и определяются глобально оптимальные значения х^*, y^* и z^*.