Скачать:  otchet-po-labe3.zip [37,65 Kb] (cкачиваний: 35)

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №3

по дисциплине:

«Оптимизация и оптимальные управления» 

Многочлен Лагранжа

Будем искать интерполирующий многочлен в виде линейной комбинации  многочлена -й степени

 ,                             (1)

потребовав   при   этом,   чтобы   многочлены  подчинялись условиям

Этим требованиям отвечает многочлен Лагранжа

тогда   интерполяционный   многочлен   Лагранжа   запишется   в виде

                (2)

Нетрудно видеть, что линейная и квадратичная интерполя­ции являются частными случаями интерполяции Лагранжа. Так, для линейной интерполяции   и  

а для  квадратичной (при ) имеем

В случае интерполяции периодической функции с периодом  можно построить многочлен, подобный многочлену Лагранжа, в виде

Используя обозначение  формуле (2) можно придать более сжатый вид.  Для этого продифференцируем  по х:

.

         При х=х_i имеем (i=0, 1,…n):

Тогда формула Лагранжа (2) принимает вид:

                                   (2а)

Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа 

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычисле­ний существенно улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.

В табл. 1 показано построение такой схемы для 4 узлов ( i=0, 1, 2, 3). Таблица составляется заново для каждого нового значе­ния аргумента х.

Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения  P_i  разностей по стро­кам:

P₀ =(x-x₀)(x₀-x₁)(x₀-x₂)(x₀-x₃ );

P₁ =(x₁-x₀)(x-x₁)(x₁-x₂)(x₁-x₃ )  и т.д.

Таблица 1

Легко видеть, что использованное в табл. 1 обозначение P_i  — это   знаменатель в формуле Лагранжа (2а), т.е.

                                   (i=0, 1, ..., n) 

С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид

.

Все необходимые значения последовательно получаются в таб­лице. Сумма S образуется сложением элементов последнего столб­ца. Для получения окончательного значения   достаточно ум­ножить S на произведение  (произведение диагональных разностей таблицы).

Задание 3. Функция задана таблицей 2. Вычислить значения этой функции в точках: а) ; б) , используя схему ручных вычислений по формуле Лагранжа.

Таблица 2

Решение.

а)

L_n(x)= 28,25 ·(-0,18) ≈ -5,08

б)

L_n(x)= -42,5 ·(-0,0075) ≈ 0,32

Вывод: Используя схему ручных вычислений по формуле Лагранжа, получила значение функции L_n(x) в точке: а) х=1,36, равное -5,08; б) х=5,82, равное 0,32.