ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Теоретическая часть

Основные сведения из теории

Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, опре­деленную на отрезке [a, b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией явля­ется, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений. 

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки  соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов , то для каждого из них в качестве интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно записать уравнение прямой, проходящей через точки  и  в виде

,

Отсюда

                                                                         (1)

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке. Блок схема данного алгоритма представлена на следующем рисунке.

Кубический сплайн

Пусть на [а, b] задана не­прерывная функция f(x). Введем сетку

a=x_Q<x₁<.. .<x_N-1<x_N=b

и обозначим f_i=f(x_i) i=0, 1, ..., N,

Сплайном, соответствующим данной функции f(x) и  данным узлам    называется функция s(x), удовлетворяющая следую­щим условиям:

а) на каждом сегменте , i=1, 2, ..., N, функция s(x) является многочленом третьей степени;

б)   функция s(x), а также ее первая и вторая производные не­прерывны на [а,b];

в)  s(x_i)=f(x_i), i=0, 1, ..., N.

Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями а) — в), называется также ин­терполяционным кубическим сплайном.

         практическая часть

Задание

Дана функция . Необходимо построить для нее линейную и кубическую сплайн функции на отрезке [-π; π].

1)    Построим линейную сплайн функцию.

Найдем коэффициенты, используя формулу (1):

Изобразим эти прямые графически:

Рассмотрим лишь те части прямых, которые соответствуют интервалам изменения их аргументов.

Концы отрезков многочленов совпадают, как и их касательные в этих точках, значит приближение выполнено правильно.

2)    Построим кубическую сплайн функцию.

Получим таблицу по имеющейся зависимости y=tanh(x):

На каждом из отрезков , i=1, 2, ..., N  будем искать функцию s(x)=s_i(x) в виде многочлена третьей степени

,

где a_i, b_i, c_i, d_i  - коэффициенты, подлежащие определению.

Введенные коэффициенты имеют следующий смысл:

поэтому

     .

Из условий интерполирования s(x_i)=f(x_i), i=0, 1, ..., N получаем, что

.

Далее, требование непрерывности функции s(x)приводит к условиям

.

Отсюда, учитывая выражения для функций s_i(x) получаем при i=0, 1, …, N-1 уравнения

.

.

Учитывая формулы из условий непрерывности первой и второй производных:

получим систему уравнений:

.

Решим эту систему, учитывая, что h постоянен и равен 1,26:

Учитывая, что , найдем значения остальных коэффициентов с_i:

По найденным коэффициентам с_i коэффициенты b_i d_i определяются с помощью явных формул

Таким образом, определили все неизвестные коэффициенты. Теперь можно записать выражения для каждой функции в виде многочлена третьей степени:

Построим графики, используя полученные многочлены:  

Концы отрезков многочленов совпадают, как и их касательные в этих точках, значит приближение выполнено правильно.

ВЫВОД: В ходе выполнения данной лабораторной работы я изучил основные  виды интерполяции – линейную и интерполяцию кубическими сплайнами, рассмотрела применение этих методов на основе функции . В итоге пришел к выводу, что решение задачи с помощью кубических сплайнов дает большую сходимость и устойчивость, а точность построения зависит от числа интервалов разбиения.