СКАЧАТЬ:  list-microsoft-excel.zip [76,04 Kb] (cкачиваний: 34)

Лабораторная работа №5

По дисциплине:

«Оптимизация и оптимальное управление» 

Решение систем линейных алгебраических уравнений

метод последовательных приближений

Метод Эйлера

По определению, производная - это отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е. . введём новые переменные: х₀=х, у₀= у(х)= у(х₀), х₁=x+h=х₀+h, y(x+h)=у(х₁)=y₁, тогда получим:  или  . Следовательно . Так как , то получим, что . Теперь пользуясь значением y₁, можем определить следующее значение функции, т.е.  и далее , при этом, новое значение аргумента будет выражаться по формуле  х_i+1=x_i+h.

Таким образом, зная начальные условия и шаг h, можно решить уравнение на отрезке [a,b], где а=х₀.

При достаточно малом шаге h метод Эйлера даёт решение с большой точностью. Но при уменьшении шага, происходит замедление вычислений.

Алгоритм метода Эйлера

1.  1.        Задаются начальные данные а=х₀; у₀; b; h.
2.  2.      Вычисляется новое значение функции по формуле: .
3.  3.       Вычисляется  новое значение аргумента по формуле х_i+1=x_i+h.
4.  4.      Полученные значения функции и аргумента выводятся на печать.
5.  5.      Если аргумент функции меньше b, то необходимо перейти к шагу 2, в противном случае управление переходит к шагу 6.
6.  6.      Конец.

блок-схема метода Эйлера

Расчетная часть

Решим дифференциальное уравнение методом Эйлера:

Дано:

Интервал [1;5],

Начальные значения x₀,y₀:[1;1],

Шаг: h=0.5.

Программа реализованная в Pascal 7.0

Program airateiler;

Uses crt;

Var

a,b,x,y,h:real;

Begin

clrscr;

Write('a='); readln(a);

write('b='); readln(b);

Write('x='); readln(x);

write('y='); readln(y);

write('h='); readln(h);

Repeat

     Writeln('         x=',x:4:2);

        Writeln('                  y=',y:4:2);

         y:=y+h*(exp(3/2*ln(4*x-2))+y);

     x:=x+h;

Until x>b;

Readln;

end.

Результат:

По результатам вычислений построим кривую: