ФЭУ / Экономика предприятий / Планирование выпуска на уровне отраслей
(автор - student, добавлено - 23-12-2012, 01:10)
Планирование выпуска на уровне отраслей
Часто при экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является знаменитая модель "Затраты-выпуск", полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности: • рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта; • взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология); • вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей; • вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм; • равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще. Уравнение Леонтьева, как пример описательной модели экономики на уровне интуитивных рассуждений, было получено нами в §1.4 (см. Пример 1.1). Здесь мы приведем экономически обоснованную строгую аргументацию этой модели. Сначала рассмотрим наиболее упрощенный ее вариант. В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации. Вернемся к предпосылкам модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается. Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом. Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n ( ). Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j , необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина - суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе. Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (рис. 6.1). Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству Левую часть равенства (6.1.1) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (6.1.1) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, система (6.1.1) показывает самодостаточность производства - для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (6.1.1) следует, что весь валовый выпуск полностью распределяется между потребителями. Последние два обстоятельства говорят о замкнутости экономики - нет поступления извне, и продукция не экспортируется. Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (6.1.1). Наиболее общая, чем изображенная на рис. 6.1, схема межотраслевого баланса, которая используется на практике, содержит дополнительные столбики учета невоспроизводимых факторов (таких, как каменный уголь), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода. Эти столбики можно отнести к дополнительным (фиктивным) отраслям n+1 ,...,n+k , для которых при . В модели (6.1.1) можно учитывать и экспорт товаров и инвестирование, фиксируя их объемы в столбике конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины . В целом межотраслевой баланс содержит два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление. В этом случае говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении. Более сложную структуру имеет схема межотраслевого баланса в денежном выражении, которая состоит из четырех разделов: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения. Подробные сведения для практического использования такой схемы можно найти, например, в книге Коссова В.В. "Межотраслевой баланс" - М.: "Экономика", 1966 г. одставляя технологические коэффициенты в (6.1.1), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение С помощью технологической матрицы эту систему уравнений можно написать в векторной форме: Уравнение (6.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью "Затраты-выпуск". Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (6.2.1). Определение 6.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (6.2.1) имеет неотрицательное решение , . Перепишем систему (6.2.1) в виде . Тогда или где E - единичная -матрица. Теперь видно, что существование неотрицательного решения системы (6.2.1) определяется существованием невырожденной матрицы , обратной к матрице . Напомним, что матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу , определяемую условиями . Матрица B является невырожденной в том и только в том случае, если , где - детерминант (определитель) матрицы B. Обратная матрица существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы B положительны (условие Хокинса-Саймона): Для того чтобы применить эти условия существования и невырожденности к матрице , приведем ряд дополнительных построений. Система (6.2.1) является частным случаем (при ) более общей системы где . Рассмотрим следующую, связанную с уравнением (6.2.3), систему где D - -матрица с элементами Если для всех i,j , то систему (6.2.3) можно преобразовать в (6.2.4) , положив , где - символ Кронекера. Обратно, система (6.2.4) может быть преобразована в (6.2.3) . Для этого нужно взять достаточно большое положительное число ( ) и положить . Отсюда , причем . Следовательно, если мы найдем условия существования неотрицательного решения системы (6.2.4) , то тем самым докажем продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (6.2.3) при . Справедливы следующие утверждения. Теорема 6.1. Матрица D системы (6.2.4) , элементы которой удовлетворяют условиям (6.2.5) , неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (6.2.4) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно). (Квадратная матрица D называется неотрицательно обратимой, если она невырожденна и ее обратная матрица неотрицательна). Теорема 6.2. Уравнение (6.2.4) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны. Из приведенных утверждений следует, что необходимым и достаточным условием продуктивности модели Леонтьева (6.2.1) является существование неотрицательно обратимой матрицы , т.е. чтобы матрица была невырожденна ( ) и чтобы обратная матрица была неотрицательна. Итак, если эти условия выполнены, то искомый вектор выпуска x определяется по формуле (6.2.2) . Матрица предоставляет информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением . Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида. Известно, что матрицу можно представить в виде степенного ряда матриц: где , , и т.д. Видим, что вычисление (аппроксимация) обратной матрицы связано со сходимостью бесконечного степенного ряда Если матрица неотрицательно обратима, то ряд (6.2.6) сходится, т.е. сумма (6.2.6) конечна и равна . Подытоживая сказанное, мы можем утверждать, что для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом Здесь слагаемые Ac, , ... интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, Ac - затраты, необходимые для производства (выпуска) c , - затраты, необходимые для производства (выпуска) Ac и т.д. Содержательный смысл этой последовательности таков: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов Ac; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов Ac , придется дополнительно затратить и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (6.2.1) можно получить итерационно по формуле с начальным условием . Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели где - транспонированная матрица A . Уравнению (6.2.7) можно придать смысловую стоимостную окраску. Действительно, можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости . Существование решения двойственного уравнения (6.2.7) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов. Если уравнение (6.2.7) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями (6.2.1) и (6.2.7) . Действительно, рассмотрим "двойственные" к (6.2.3) и (6.2.4) уравнения такие что (6.2.7) является частным случаем (при ) уравнения (6.2.8) , а (6.2.8) и (6.2.9) , как и (6.2.3) и (6.2.4) , взаимно преобразуемы друг в друга. Тогда для матрицы справедливы утверждения, аналогичные теоремам 6.1 и 6.2, а также следующая теорема. Теорема 6.3. Для того чтобы модель Леонтьева (6.2.1) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (6.2.7) была прибыльной. Мы здесь рассмотрели классическую (исходную) модель Леонтьева, которая описывает производство по схеме затраты-выпуск. Значимость модели Леонтьева заключается еще и в том, что она применяется для описания ряда других экономических задач, а также служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения этого приведем интерпретацию уравнения (6.2.1) как модели международной торговли и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи. При трактовке уравнения (6.2.1) как модели торговли n означает число торгующих между собой стран, - национальный доход i-ой страны, - национальные расходы i -ой страны, - объем импорта из страны i в страну j , приходящийся на одну единицу национального дохода страны j. Элементу придается смысл коэффициента внутреннего потребления своей продукции i -ой страной. И в такой интерпретации, очевидно, все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и, более того, национальный доход и национальные затраты всегда являются положительными величинами. В данном случае модель (6.2.1) дает ответ на вопрос: каковы должны быть объемы национальных доходов стран, обеспечивающие стабильный уровень национальных расходов и установившийся режим обмена товарами между странами? Выше было замечено, что одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в (6.2.1) произведением Ax, будут учтены и первичные факторы. Оказывается, такое обобщение превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу. Предположим, что в модели (6.2.1) каждый товар производится с использованием продукций всех отраслей и еще m видов первичных ресурсов. Обозначим через количество k-го первичного фактора, затрачиваемого в производство xj количества j-го товара, а через - количество k -го первичного фактора, необходимое для производства одной единицы товара вида j . Из определения этих величин следует, что, как и в случае вторичных ресурсов, имеет место выражение . Таким образом, для каждого товара j мы имеем n+m видов представления его выпускаемого объема: Поэтому производство во всех n отраслях может быть описано n линейными производственными функциями (см. §4.2) (здесь для всех ресурсов вида i и k , участвующих в выпуске товара вида j , предполагаются условия ). Как следует из (6.2.10) и (6.2.11) , для любых i и k Поэтому справедливы уравнения: Суммируя обе части этих уравнений по j, получим выражения, определяющие суммарные по всем отраслям объемы затрат вторичных и первичных факторов производства: Так как уравнения (6.2.12) относятся к товарам каждой отрасли, используемым как на производственное, так и на конечное потребление, должно быть или в матричной форме . Введем в рассмотрение матрицу трактуемую как технологическая матрица для первичных ресурсов, и предположим, что известен вектор запасов всех первичных ресурсов, т.е. Тогда из (6.2.13) следует условие . Обозначим через и векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно. Поставим следующий вопрос: при каком векторе выпуска реализация конечного продукта приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса первичных ресурсов? В ответ получаем следующую задачу линейного программирования: Так как по смыслу задачи максимизация дохода осуществляется через вектор выпуска, эту задачу целесообразно переписать, выразив в целевой функции вектор спроса c из уравнения (6.2.1) : По правилам, приведенным в §2.4 (см. (2.4.2) и (2.4.4)), напишем для (6.2.14)-(6.2.15) двойственную задачу с новой переменной : Введем изменение масштаба цен и запишем двойственные задачи (6.2.14)-(6.2.15) и (6.2.16)-(6.2.17) в более компактном виде: |
|