СОДЕРЖАНИЕ:

Введение…..…………………………………………………………………….....3

1.Теоретическая часть…………………………………………………………….4

1.1. Переходные процессы.. ………..4

1.1.1 Классический метод…………………………………………....4

1.1.2 Операторный метод……………………………………….…....9

1.2. Электрические фильтры………………………………………………14

2.Расчётная часть………………………………………………………………...19

2.1 Переходные процессы ……………………………………………….19

2.1.1 Классический метод………………………………………….18

2.1.2 Операторный метод…………………………………………..21

2.2 Электрические фильтры……………………………………………...25

Вывод………………………………………………………………………….…27

Заключение………………………………………………………………………28

Приложение……………………………………………………………………...29

Список литературы……………………………………………………………...30

1.Теоретическая часть

1.1 Переходные процессы

1.1.1Классический метод

В устройствах производства, передачи и преобразования электрической энергии, в установившемся режиме, токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или сохраняют неизменные значения. Всякое изменение топологии цепи или параметров входящих в нее элементов нарушает характер токов и напряжений, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся.

Любое изменение режима работы электрической цепи (включение, выключение, переключение каких-либо элементов) называется коммутацией, считается, что она происходит мгновенно. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Во время переходных процессов величины токов в отдельных ветвях и напряжения на отдельных элементах могут в несколько раз превышать значения, соответствующие установившемуся режиму.

При расчете переходных процессов начало отсчета времени переходного процесса совмещают с моментом коммутации, причем через обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через – момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

При рассмотрении переходных процессов исключается электрическая дуга, которая возникает при включении и выключении. Чтобы исключить влияние электрической дуги будем считать, что ключ замыкается или размыкается мгновенно, и в момент коммутация уже произошла.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, только если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, из этого следуют два закона коммутации.

Первый закон коммутации: ток в ветви, содержащей катушку индуктивности, а также магнитный поток, возникающий в результате изменения тока, при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Второй закон коммутации: напряжение и заряд на конденсаторе при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Математически законы коммутации можно записать следующим образом:

; (1)

. (2)

Законы коммутации могут не выполняться в цепях, имеющих узлы с ветвями, содержащими только емкости и источники тока, или контуры с ветвями, содержащими только индуктивности и источники напряжения. Коммутация в таких цепях называется некорректной.

Определение начальных условий при некорректной коммутации производят, используя принцип непрерывности магнитного потока и закон сохранения электрического заряда.

Принцип непрерывности магнитного потока – магнитный поток сквозь произвольно замкнутую поверхность равен нулю: . В линейных электрических цепях магнитный поток L-элемента определяется потокосцеплением, поэтому можно записать:

. (3)

Закон сохранения электрического заряда – алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе:

. (4)

Основными методами анализа переходных процессов в линейных цепях являются:

1) классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи;

2) операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам;

3) частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза;

4) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия;

5)метод переменных состояний, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в форме Коши.

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют для схем, полученных после коммутации, основываясь на известных методах расчета электрических цепей, таких как метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Решение полученной системы уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

При этом падение напряжений в активных сопротивлениях rи на реактивных элементах: конденсаторе Cи катушке индуктивности L определяются соответственно:

,

, (5)

.

Учитывая, что решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению относительно выбранной переменной.

Порядок дифференциального уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением:

,

где и – число катушек индуктивности и конденсаторов соответственно после указанного упрощения исходной схемы; – число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); – число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Обозначим искомую функцию времени (напряжение, ток, потокосцепление и т. п.) через x = x(t),тогда дифференциальное уравнение m-го порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника f(t), имеет вид:

, (6)

где b₀, b₁, ..., b_m-1, b_m – коэффициенты, зависящие от параметров цепи (в дальнейшем будем рассматривать цепи только с постоянными параметрами); f(t) – функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Дифференциальное уравнение (1) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно из курса высшей математики, его решение есть сумма общего решения x_св однородного дифференциального уравнения m-го порядка:

и частного решения x_пр уравнения (1)

х = х_св + х_пр.

Частное решение данного неоднородного уравнения, получаемое с учетом внешнего воздействия , называется принужденной составляющей решения х_при определяется из соотношений для установившегося режима данной цепи после коммутации.

Общее решение однородного уравнения определяет процессы, которые протекают в цепи без участия внешнего воздействия , и называется свободной составляющей х_св. Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

= 0. (7)

В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

, (8)

где А_1, А₂, …, А_m – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

В случае, когда корни уравнения – вещественные и равные, т. е.
p₁ = p₂ = …p_m = p, свободная составляющая определяется уравнением:

.

Если корни комплексно-сопряженные , тогда решение имеет вид:

, (9)

где А и – постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий задачи.

В табл. 1 обобщены данные для определения свободных составляющих дифференциального уравнения m-го порядка.

Таблица 1

Выражения для свободных составляющих

общего решения неоднородного дифференциального уравнения

Примечание.– постоянные интегрирования.

Начальные условия задачи определяют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно в момент коммутации ; и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда и (или) .

Нулевые и ненулевые значения начальных условий для тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе называются независимыми.Для определения независимых начальных условий в цепи до коммутации (t = 0_–) любым известным способом рассчитываем токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Согласно законам коммутации полученные значения и будут являться независимыми начальными условиями. Начальные условия остальных токов и напряжений называются зависимыми.Чтобы определить их, для цепи, образованной после коммутации, составляют уравнения Кирхгофа и записывают эти уравнения для момента коммутации с учетом законов коммутации. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно искомых величин при .

Если число корней характеристического уравнения больше одного, то необходимо иметь не только начальные условия искомой переменной, но и ее производных. При этом порядок производных, начальное значение которых необходимо знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно для .

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс.

1.1.2. Операторный метод

Сущность операторного метода. Некоторая функция вещественной переменной t, удовлетворяющая условию Дирихле (на конечном промежутке времени функция должна иметь конечное число разрывов первого рода и должна быть периодической), в момент времени , сопоставляется с функцией комплексной переменой (– комплексная переменная).

В данном случае функция вещественной переменной называется оригиналом, а функция комплексной переменной – изображением.

Переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа.

Математически можно записать, что функция является изображением функции , следующим образом:

или, (10)

а функция f(t) оригиналом F(p):

или. (11)

Оригинал функции можно найти и с помощью теоремы разложения. Если изображение функции представлено в виде дроби , причем многочлены (относительно р) N(p) и M(p) удовлетворяют следующим условиям: степень N(p) ниже степени M(p), а_к и b_k – вещественные числа, а корни р₁, р₂, …, р_n уравненияM(p) = 0 различны, то оригинал находим по формуле , где М`(р_к) – значение производной при р= р_к, N(р_к) – значение числителя при р = р_к.

В том случае, если один из корней равен нулю, то

, (12)

М(0) и N(0)– значение знаменателя и числителя соответственно при р_к = 0.

Если имеются корни кратностью m_k, то оригинал вычисляется по формуле . (13)

Кроме вышеперечисленных способов нахождения оригинала и изображения функции, их можно определить с помощью созданных программных продуктов, таких, например, как Mathcad или с помощью специальных таблиц, которые приводятся в справочниках по высшей математике или в учебных пособиях по ТОЭ [3, 9]. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу приводится и в данном издании (прил. 2).

При нахождении изображения (оригинала) сложной функции следует помнить, что переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью интегрального преобразования и поэтому:

,

.

Использование преобразований Лапласа при расчете переходных процессов в электрических цепях позволяет перейти от системы интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы к системе алгебраических уравнений, что существенно упрощает процедуру нахождения искомых токов и напряжений в цепи.

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом заключается в следующем.

1.Находят независимые начальные условия – ток на катушке индуктивности i_L(0) и напряжение на конденсаторе u_C(0) в момент коммутации.

2. Составляют операторную схему замещения. Помня при этом,

• что операторная схема сохраняет конфигурацию послекоммутационной электрической цепи;

• активные сопротивления переносятся в операторную схему без изменения;

• индуктивность L заменяется элементом pL последовательно, с ним включается добавочная эдс, которая направлена по току. Величина добавочной эдс равна Li_L(0);

• емкость С заменяется элементом , после которого последовательно включается добавочная эдс, равная и направленная против направления тока;

• эдс и токи заменяются их изображениями.

Если задача имеет нулевые независимые начальные условия u_С(0)=0, i_L(0)=0, то добавочные эдс в операторную схему не включаются.

3. Используя любой известный метод расчета электрических цепей (метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов и т. д.), определяют изображения токов I(p) для операторной схемы.

Законы Кирхгофа в операторной форме:

– алгебраическая сумма изображений токов в узле равна нулю:

, (14)

– алгебраическая сумма изображений напряжений в замкнутом контуре равна нулю:

. (15)

Проверкой правильности нахождения изображения токов служит выполнение следующих предельных соотношений:

– ,

– ,

– ,

– .

4. Изображение напряжения на любом из элементов цепи находим по закону Ома в операторной форме:

, (16)

, (17)

. (18)

По формулам предельного соотношения можно проверить и правильность нахождения изображений напряжения.

5. От изображения токов I(p) и напряжений U(p) переходим к их оригиналам i(t) и u(t).

Операторный метод удобен при расчете сложных электрических цепей.

При применении этого метода можно пользоваться всеми методами расчета электрических цепей.

При ненулевых начальных условиях, пользуясь методом наложения, можно сначала решить задачу для нулевых начальных условий, а затем на полученные результаты наложить те результаты, которые получаются только от действия дополнительных источников энергии.

1.2. Электрические фильтры

Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) токов других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания.

В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки.

Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике.

Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений (), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей ().

Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т- или П-образной схеме, т.е. приили.В этой связи при изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия коэффициентов затухания и фазы.

Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. 2.

Таблица 2. Классификация фильтров

Если фильтр имеет нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением

(14)

В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности),т.е., . а значит, идеальный фильтр должен быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Вне области пропускания (в полосе затухания) в идеальном случае, т.е. и.

Рассмотрим схему простейшего низкочастотного фильтра, представленную на рис. 1.

Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т-образной схемы замещения определяется соотношениями :

(15)

или конкретно для фильтра на рис. 1.

(16)

Характеристического сопротивление фильтра:

Анализ соотношения показывает, что с ростом частоты w характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших , характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер.

В полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный вывод о неидеальности реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания будет отличен от нуля.

Схема простейшего высокочастотного фильтра приведена на рис. 2.

Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями

Как и для рассмотренного выше случая, А – вещественная переменная..

(19)

Данному неравенству удовлетворяет диапазон изменения частот:

Характеристическое сопротивление фильтра:

Полосовой фильтр формально получается путем последовательного соединения низкочастотного фильтра с полосой пропускания и высокочастотного с полосой пропускания .

(22)

Режекторный фильтр формально является полосно задерживающим фильтром:

(23)

2. Расчётно-техническая часть

2.1. Переходные процессы

2.1.1 Классический метод

Задание.

Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Дана электрическая цепь (рис.4), в которой происходит коммутация. В цепи действует постоянная э.д.с. Е. Параметры цепи: E=100 B, L=1 млГн, С=10мкФ, R1=50 Ом, R2=20 Ом, R3=30 Ом. Требуется определить

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=3/pмин.

Рис.4.

Решение:

1.Составляем систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа после коммутации:

2. Определяем независимые начальные условия исходя из законов коммутации до отключения рубильника:

3.Записываем искомую величину в виде:

;

4.Определим,рассчитав режим цепи постоянного тока после коммутации.

5.Составляем характеристическое уравнение и найдём корни характеристического уравнения.

6.Свободные составляющие тока:

7.Искомое решение примет вид.

8.Определим коэффициенты интегрирования для полученного решения:

Таким образом,аналитическое выражение тока индуктивной катушка:

2.1.2. Операторный метод

Для решения воспользуемся законами Кирхгофа, зададимся обходами контуров. Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно двум k = n_в –n_у + 1 = 3 – 2 + 1 = 2. Зададимся направлениями изображений контурных токов I₁₁(p), I₂₂(p) .Составим уравнения для первого и второго контуров:

2.Полученную систему уравнений решим по методу Крамера:

4. Найдем оригинал изображения тока на катушке. Изображение тока на катушке имеет вид рациональной дроби, причем степень числителя меньше степени знаменателя и коэффициенты при р и в числителе, и в знаменателе – вещественные числа, поэтому можно воспользоваться теоремой разложения в следующей ее записи:

.

Для нахождения оригинала выполним следующие действия.

1.Приравняем M(p) к нулю, найдем корни полученного квадратного уравнения:

Получим .

2.Найдем производную от M(p)по р..

3.Далее определим:

4.Подставим полученные значения в приведенную формулу разложения, получим закон изменения тока через катушку

индуктивности:

5. Найдем теперь закон изменения напряжения на катушке, используя уравнение связи:

2.2 Электрические фильтры

Задача. Фильтр низкой частоты собран по Т- образной схеме. Емкость каждого конденсатора С=0,25*Ф, индуктивность катушки L=0.2*Гн. На входные зажимы фильтра подано напряжение U=100 В при частоте f=12600 .На выходные зажимы подключено сопротивление , согласованное с фильтром при частоте f.

Вычислить характеристическое сопротивление фильтра и коэффициент передачи g=a+ib.Используя величины и g,определить комплексы токов на входе и выходе фильтра. Рассчитать все остальные токи и напряжения в схеме и построить полную векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение:Определим сопротивления ВЧФ

Составим Т- образную схему высокочастотного фильтра типа К:

Для Т-образного ФВЧ типа к характеристическое сопротивление при согласованной нагрузке может быть найдено, как и для любого симметричного четырёхполюсника:

Для определения остальных токов и напряжений во всех ветвях построим более подробно схему ФВЧ:

Рассмотрим показания напряжения и тока на каждом из участков схемы:

1).

2).

3).

Выводы

В ходе выполнения первой части курсовой работы «Переходные процессы» были изучены классический и операторный методы нахождения временных характеристик. Сравнивая предложенные методы, можно сделать вывод, что классический метод расчета наиболее полно отражает физические процессы, протекающие в цепях при переходных процессах, операторный метод позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, что значительно упрощает расчеты. Классический метод оказался более прост, так как требовал меньше математических выкладок. Временные характеристики, найденные этими двумя методами совпали. Был применен комплексный метод для нахождения частотных характеристик цепи. Также были приобретены практические навыки применения нахождения определителя методом Крамера и прохождения простейших сигналов через цепи.

В ходе выполнения второй части курсовой работы «Электрические фильтры» было изучено нахождение комплекса токов на входе и выходе Т- образного высокочастотного фильтра, вычисление характеристического сопротивления фильтра и коэффициента его передачи.

Заключение

При рассмотрении переходных процессов исключается электрическая дуга, которая возникает при включении и выключении. Чтобы исключить влияние электрической считают, что ключ замыкается или размыкается мгновенно, и в момент коммутация уже произошла.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, только если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, из этого следуют два закона коммутации.

Классический метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связующих токи и напряжения цепи, в результате появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной заданной функции действительной переменной, называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю, сопоставляется другая функция комплексного переменного называемая изображением.

Приложение А

Приложение БКлючевые слова -