7.  Синтез многомерных дискретных регуляторов в пространстве состояния 

7.1.    Формулировка задачи оптимального управления

Задача синтеза многомерного регулятора в пространстве состояния формализуется обычно в виде задачи о максимальной точности с интегральным квадратичным функционалом I :

(249)

где 1₀, (₁- соответственно начальное и конечное время,

( - *₀)- интервал управления (при (₁                          имеем бесконечный интервал

управления),

х - вектор переменных состояния системы размерностью п (п - вектор); и - г - вектор переменных управления;

^ - (п х п) - квадратная положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов состояния;

К - (г х г) - квадратная положительно полуопределенная диагональная матрица весовых коэффициентов управления.

Вообще говоря, в критерии задачи (249) вместо вектора состояния х следовало бы писать отклонение вектора состояния от его заданного значения х_зад. Однако для упрощения записи полагаем х_зад = 0 .

Размерность вектора состояния равна порядку дифференциального уравнения (системы уравнений), которыми описывается данная динамическая система.

Первое слагаемое (квадратичная форма матрицы 0) вводится в критерий задачи (249) с целью минимизации суммы интегральных
квадратичных критериев для переменных состояния взятых с весовыми

коэффициентами равными элементам матрицы ^.

Второе слагаемое в критерии задачи (249) (квадратичная форма матрицы К ) позволяет минимизировать сумму квадратичных интегральных критериев для переменных управления взятых с весами равными элементам матрицы К и таким образом ввести ограничения на управление.

Поскольку многомерные регуляторы проще всего реализовать с помощью цифровых вычислительных устройств, перейдем к дискретному аналогу задачи (249):

(250)

где N - число периодов квантования по времени в интервале управления (Как в задаче (240), последующее состояние и предыдущее управление в силу запаздывания в объекте управления отнесены к одному шагу).

7.2.    Уравнения состояния и измерения

При решении задачи оптимального управления (249) уравнения динамики объекта (системы) управления записывают в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме записи и называют матричным уравнением состояния.

Для линейных стационарных систем уравнение состояния имеет вид:

х = Ах + Ви,

где х - п - вектор первых производных переменных состояния,

А и В - соответственно (п х п) - и (п х г) - матрицы состояния и управления.

В реальных условиях измерению доступны только отдельные элементы вектора состояния или их линейные комбинации, поэтому уравнение состояния дополняется матричным уравнением измерения (выхода), связывающим 1 - вектор выходных переменных у с вектором состояния:

у = С • х,                                                       (252)

где С - (1 х п) - матрица выхода.

В качестве примера рассмотрим получение матричного уравнения состояния для одномерного по управлению объекта, описываемого дифференциальным уравнением п - го порядка (2), которое перепишем в виде

п-1                                     т                   т-1

Лп^_ч             Лп—1^                              лт_Л1              Лт—1_л,

а у а у а и а и а_п + а_п 1----------------------- +---------- + а0 у = Ъ_т        + Ъ_{т л}             +---------- + Ъ0 и

^п &^п ж^{п—1                                                             т} аг от^{4 0}

Пусть для определенности т = п 1.

Запишем преобразование Лапласа уравнения (253)

^(апР^П + ^ап-1 Р^П~¹ + • ” + ^а0 ^Ьу⁽Р⁾ = ^(ъп—1Р^П—1 + ^Ъп-2Р^П— + • ” + ^Ъ0 ^)и(Р⁾ , (254) или

^А( Р⁾ у⁽ Р⁾ = ^В( Р^{)и (}Р⁾,                                                 (255)

где А ( Р ) и В(р) - полиномы от Р порядков п и (п — 1) соответственно.

Из (255) следует, что

у⁽Р⁾ = ^В(Р^{) и(}Р)1^А(Р⁾,                                                       (256)

Обозначим

^{и (}Р)1 ^А(Р⁾ = ^х( Р⁾,                                                (257)

тогда выражения (256), (257) можно записать в виде:

у ⁽Р⁾ = ^В(Р^{) х(}Р⁾                                                           (258)

^А( Р^{) х(} Р⁾ = ^{и (}Р⁾                                                          (259)

Запишем оригиналы выражений (258), (259)

п-1     п-2

У = Ъ_п-1 х + Ъ_п2 х +           + Ъ₁ х + Ъ₀ х

п            п-1

а_п х+ а_п_₁ х +----- + а₁ х + а₀ х = и

Введем переменные состояния

х₁ = х х₂ = х

х₃ = х

п-2

^хп-1 = ^х п-1

хп = х

Тогда уравнение (261) с учетом обозначений (262) можно записать в виде следующей системы уравнений первого порядка:

^хп-1 = ^хп

^хп = — ^{(и - а}0^х1 ^{- а}1 ^х2-------------- ^ап-1 ^хп)

а

По существу первые (п -1) уравнений системы (263) являются обозначениями, а п - ое уравнение получено из уравнения (261).

Вводя обозначения

получаем матричное уравнение состояния в форме (251).

описываемого следующими системами уравнений:

&1 =^-(У ^Т1 ^)х1 + ^(К7 ^Т1 )^и1

&3 = ^-(¹/^Т3 ^)х3 + (⁽3/^Т3 ^)х1

х

^х4 =^-(¹/^Т4 ^)х4 + ⁽4 /^Т4 ^Х2 ^х5 = ^-(¹/^Т5 ^)х5 + ⁽5 /^Т5 )^х4

У1   = ^х2 ^{- К}6 ^х4

У 2 = х₃ + х₅

матрицы состояния, управления и выхода выглядят следующим образом:

Для перехода к дискретному уравнению состояния рассмотрим решение уравнения состояния (251) при постоянных матрицах А, В,

начальном состоянии ^х₀ и ступенчатом управлении ^и₀ :

х(^) = е^{А<1 ?0)}х₀ + А ¹ [е^{А(/ ?0)} - Е]Ви₀

Матричная экспонента е^А(г ^ определяется разложением в

степенной ряд

^А-⁽1 ^-0 ⁾

е ^{( 0)} * Е + А(? -10) + А² (I- ^0)^/2! +                    + А^к (? - ?0)^к/к! +— (266)

Обозначим

_____  ,-,^А •^(г-10⁾

I-/(

С^ = А'¹ [е^А(?-?0) - Е]В = А'¹ (р - Е)х

Матрицы р и С называются переходными матрицами состояния и управления соответственно.

Если матрица А плохо обусловлена, нахождение матрицы В вызывает определенные трудности, поэтому желательно определить матрицу С так, чтобы избежать операции обращения матрицы А .

Введем в рассмотрение матрицу Ч :

^Ч,-0 = ^А ' ^(р-о - ^Е)

С учетом (266), (267) выражение для матрицы Ч принимает вид:

^Ч,-,_о = ^Е(? ^{- ,}о⁾ + ^А(/ ^- 07^2! + ■” + ^{А 1(, - ,}о^)к 1^к! + •” (269) Тогда матрицы С и Р могут быть выражены через матрицу Ч следующим образом:

С-,о = Ч-о^В                                                               (27о)

^р,-,о = -,о + ^Е                                                            (271)

Как видим, для вычисления матрицы С по формуле (27о) не требуется обращать матрицу А .

С учетом обозначений (267), (268) выражение (265) для переходной функции приобретает вид:

^х ^ ⁾ = ^р-,_о ^хо + ^С,-,_о и о Положив в последнем соотношении

,_о = кТ; х_о = Х[кТ]; и_о = и[кТ]; , = (к + 1)Т; , - ,_о = Т, получаем дискретное уравнение состояния:

х[(к + 1)Т ] = Р (Т) х[кТ ] + С (Т )и[кТ ] или в упрощенной форме записи:

^хк+1 = ^рхк + ^Сик                                                       (272)

Матрицы Р(Т) и С(Т) можно найти из выражений (269) ^ (271), заменив в них (, -,_о) на Т :

Ч(Т) = ЕТ + АТ ²/2! + А²Т³ /3! + • • • + А^к-1Т^к/к! + • • •                                (273) Р (Т) = АЧ (Т) + Е                              (274)

С (Т) = У (Т) В                   (275)

Дискретным аналогом уравнения выхода (252) является уравнение

^ук = Сх_к                                                          (276)

7.3.    Синтез дискретного П-регулятора состояния

Решаем задачу (250) при условии, что объект управления описывается уравнением (272).

Предположим, что в процессе решения мы находимся на к -том от начала или 7 -том от конца шаге управления (к = N - ]). Обозначим минимальное значение целевого функционала на оставшихся шагах управления (функцию оптимального поведения) через 1*_к :

¹1=^т1П                             +1 + ^и1^Кик)                                           (277)

^икк

Уравнение дискретного П - регулятора будем искать в виде:

^ик = ^Кр, Л,                        (278)

где К_р, _к - (г х п) - матрица коэффициентов передачи оптимального регулятора на к -том шаге.

Последовательно выражая х_к+₁ через х_к и и_к через х_к с помощью

уравнений объекта (272) и регулятора (278) для к = N -1, N - ] , функцию оптимального поведения (277) можно представить в виде квадратичной

*

формы некоторой матрицы Р_к :

I* = х^Т_кРк хк                                                             (279)

или для момента времени (к +1):

¹к+1 = ^хк+1 ^Рк:+1 ^хк+1 ⁽²⁸⁰⁾

*

Р_к - квадратная симметричная (п х п) - матрица.

В соответствии с принципом оптимальности Беллмана, каково бы ни было состояние системы перед очередным к -тым шагом, управление и_к на этом шаге выбирается так, чтобы минимизировать сумму функции в круглых скобках (250) на к -том шаге и функции оптимального поведения на оставшихся (к -1 )-м шагах, т.е.

I* = ^т‘^п + «1^К«к + 4,⁾,

к

или с учетом (280):

4* = ^т1п[^[₊1 ^[ + ^Рк₊1^{) Х}к+1 + “1^КЩ^]          (281)

^ик

Поскольку состояние -_к+, в момент к ещё неизвестно, его можно определить из уравнения объекта (272). При этом выражение (281), в котором для кратности обозначено

Рк+1 = й + Р+1 ,                                                     (282)

принимает вид:

I* = ^т1п1х^Т'^рТР₁+1 р^-к + ²*1^рТрыС«к +

^ик

+ Г ⁽р^ТРк+1^С + ^Р)щ ^{]                             (283)}

Оптимальное управление на к -том шаге находим из условия стационарности I_к:

= 2[с^Тр₊₁ р [ + {в^Тр_ыс+к ) ]=о,

откуда

Г = ~(о^ТР_к+1С + к)"’ С^ТР_к+1 р-к                                       (284)

Сопоставляя (284) с (278), убеждаемся, что

к„, к = -(с^ТР₄₊₁С + к)^-1 С^ТР_к+.р .                                       (285)

Для определения матрицы Р_к+₁ подставим (284) в (283). После

преобразований получаем

I* = х!Р^ТР_ы [е - С (с^ТРк₊,С + д}^-1 С^ТР_Ы ]рхк (286)

Сопоставляя (286) с (279), а также учитывая (282), находим:

Рк = ^ + Р^ТРк+1 [е - с (с^ТРк+[ Д^ С^ТРк+. ]р      (287)

Уравнение (287) есть конечно-разностный аналог

дифференциального уравнения Риккати. При бесконечном интервале управления (N ^ да) оно вырождается в алгебраическое уравнение:

р = + р^Тр е - с (с^трс + дх^-1 С^ТР р

а выражение (285) для матрицы коэффициентов передачи регулятора принимает вид:

(289)

Выражения (289), (288) позволяют рассчитать матрицу коэффициентов оптимального по точности П - регулятора состояния.

Уравнение (288) является нелинейным и в общем случае его решение в явном виде получить не удается. Однако его можно рассматривать как рекуррентное соотношение:

и использовать для его решения итерационные методы. В качестве критерия останова можно использовать, например, близость евклидовых норм матриц на соседних шагах.

Структурная схема многомерной дискретной системы с объектом управления (272) и оптимальным по точности П - регулятором состояния (289) приведена на рис. 79.

8.4.   Синтез дискретного ПИ-регулятора состояния - выхода

Поскольку система с П-регулятором, как отмечалось в разделе 2.3, характеризуется статической ошибкой, рассмотрим теперь систему с ПИ-

регулятором, описываемым уравнением:

к

^гк = ^К 0 X ^е + ^К1 ^хк                (290)

1=1

где е = у_зад - у₁ - 1 -вектор рассогласования выхода относительно его заданного значения (для простоты считаем у _зад = 0);

К ₀ и К₁- соответственно (г х 1) - и (г х п) - матрицы

коэффициентов передачи И-составляющей и П-оставляющей закона регулирования.

Регулятор, описываемый уравнением (290), является пропорциональным по состоянию и интегральным по выходу и называется поэтому ПИ-регулятором состояния - выхода.

Для того, чтобы избавиться в (290) от суммы, запишем уравнение ПИ-регулятора в приращениях:

^Гк = $к-1 + ^К0+ ^К1 ^(хк ^{- х}к-1^х            (291)

Будем решать задачу:

где Аи_к = и _к - и_к-1 - приращение вектора управления. (Считаем, что

объект управления по-прежнему описывается уравнением (272)).

Поскольку, как видно из (290), управление зависит теперь не только от состояния, как в регуляторе (278), но и от суммы рассогласований

выхода, введем расширенный вектор состояния -к :

1

х^р = к ~

X,,

Для того, чтобы избавиться от суммы в определении расширенного вектора состояния, перейдем к его приращению:

е_к

АХ ^р =

Ах,,

^Ах к = Х_к^- Х_к-1

Определим теперь конечно - разностное уравнение для вектора Ах^р .

Учитывая, что у_зад = 0, приращение вектора рассогласования равно:

^Ае к+1 = ^-Аук+1 , или с учетом уравнения выхода (276)

^Гк+1 = ^Гк ^{- САХ}к +1                 (293)

Подставляя в (293) конечно - разностное уравнение объекта (272), записанное в приращениях

(294)

^АХ к+1 = ^РАХ к + ^САй к

получаем

^ек+1 = ^ек ^{- СрАХ}к ^- С^САи_к

Вводя обозначения

можем объединить уравнения (295), (294) в конечно - разностное уравнение эквивалентного объекта (расширенное уравнение состояния):

Лх^р₊, = Е^Р Ах к + С^Р Лщ                                       (296)

Теперь задачу (292) можно свести к задаче (250), записав её в виде:

^{т1п 1} = Ё ((^Лхк+1 ^{( ((}+1 + ^М1^КМк )

(297)

к=0

Поскольку в исходной задаче (292) весовые коэффициенты относились только к вектору рассогласования выхода, расширенная матрица весовых коэффициентов состояния в задаче (297) определяется следующим образом

Таким образом, задача синтеза ПИ-регулятора состояния - выхода (291) сведена к задаче (297) эквивалентной задаче синтеза П-регулятора с расширенным вектором состояния и эквивалентным объектом (296). Решая эту задачу с помощью соотношений, аналогичных (289), (288), получаем г х (1 + п)- матрицу коэффициентов ПИ-регулятора К_ПИ , которую можно расчленить на подматрицы коэффициентов П- и И- составляющих регулятора ^К1 и ^К0 :

К ПИ =| Ко м К,

8.5.   Синтез дискретного наблюдателя состояния

Поскольку реализация регуляторов (278) или (291) требует знания вектора состояния, возникает задача восстановления состояния по выходным переменным. Эта задача решается с помощью устройств, называемых наблюдателями состояния. Одним из возможных вариантов реализации наблюдателя является наблюдатель Люенбергера, описываемый в дискретном случае уравнением:

или

^Хк+1 ^{_              К}Н^С^ + ОТк + ^Кн^ук ^,

Хк-

где х_к - оценка вектора состояния,

К_н - (п х 1) - матрица коэффициентов передачи наблюдателя, в определении которой и заключается задача синтеза наблюдателя. Уравнению (298) соответствует структурная схема на рис. 80.

Как видно из рис. 80, наблюдатель состояния представляет замкнутую систему с двумя входами у_к и и _к . Если эта система устойчива и обладает малой статической ошибкой, то по окончании переходного

процесса У_к стремится к у_к и, следовательно, &_к стремится к х _к .

Задача определения матрицы коэффициентов наблюдателя состояния так же, как и задача синтеза ПИ-регулятора, может быть сведена к задаче, эквивалентной задаче синтеза П-регулятора (250).

Рассмотрим ещё раз систему с объектом (272) и стационарным регулятором (278). Подставляя (278) в (272), получаем уравнение замкнутой системы:

или

которому соответствует следующее характеристическое уравнение:

(300)

Характеристическое уравнение наблюдателя состояния (299):

4ефЕ - (Е - К_НС)]= 0,

или после транспонирования выражения в квадратных скобках:

&ех[гЕ -(Е^т - С^тК^Т_Н )]= 0

Введем обозначения

Тогда характеристическое уравнение наблюдателя принимает вид:

(301)

Сравнивая (300) и (301), убеждаемся, что задача синтеза наблюдателя состояния эквивалентна задаче синтеза эквивалентного П- регулятора:

для эквивалентного объекта управления

Решая эквивалентную задачу с помощью соотношений (289), (288), определяем матрицу коэффициентов передачи эквивалентного регулятора

Кр3 и, следовательно, искомую матрицу коэффициентов передачи

наблюдателя

Кн = -Кр .

Структурная схема многомерной дискретной АСР с ПИ - регулятором состояния - выхода и наблюдателем состояния приведена на рис. 81.

У зад