ФЭА / АИТ / В.Ф. Комиссарчик Автоматическое регулирование технологических процессов
(автор - student, добавлено - 14-04-2013, 10:24)
Скачать:
Введение Одной из важнейших задач автоматизации технологических процессов является автоматическое регулирование, имеющее целью поддержание постоянства (стабилизацию) заданного значения регулируемых переменных или их изменение по заданному во времени закону (программное регулирование) с требуемой точностью, что позволяет обеспечить получение продукции нужного качества, а также безопасную и экономичную работу технологического оборудования. В качестве регулируемых переменных обычно используются режимные (уровень, температура, давление, расход) или качественные (влажность, плотность, вязкость, состав и т. д.) показатели функционирования технологических процессов, характеризующие материальный или энергетический баланс в аппаратах и свойства продукта. Задача автоматического регулирования реализуется посредством автоматических систем регулирования (АСР). Структурная схема замкнутой АСР приведена на рис. 1.
На рис. 1 обозначено: ОР - объект регулирования (технологический процесс или аппарат); у - регулируемая переменная; х - регулирующее воздействие, с помощью которого осуществляется процесс регулирования. Регулирующими воздействиями обычно являются расходы жидких, газообразных, сыпучих тел; РО - регулирующий (рабочий) орган, с помощью которого изменяется расход вещества (энергии). Для изменения расходов жидких и газообразных тел широкое применение находят рабочие органы дросселирующего типа с изменяющимся проходным сечением; $ - положение рабочего органа обычно измеряемое в % хода РО (например, перемещение штока клапана или поворот заслонки). Поскольку регулирующее воздействие х, как правило, не измеряется, в качестве регулирующего воздействия обычно принимают 8, тем самым относя РО к объекту регулирования; Р- возмущающие воздействия, оказывающие влияние на величину регулируемой переменной; Р - автоматический регулятор - совокупность элементов, предназначенных для решения задачи регулирования; Узад - заданное значение регулируемой переменной, которое должно поддерживаться регулятором; - сравнивающее устройство, вырабатывающее сигнал рассогласования (ошибки) Лу: ЛУ = У зад - У В качестве примера на рис. 2 изображена схема регулирования температуры продукта 0пр на выходе теплообменника изменением подачи теплоносителя От.
Одним из основных возмущений в этой системе является расход нагреваемого продукта Спр . Поводом для регулирования в замкнутой АСР является возникновение ошибки Ау. При её появлении регулятор изменяет регулирующее воздействие х до полного устранения ошибки (в идеальной системе). Таким образом, АСР предназначена для поддержания регулируемой переменной на заданном уровне при колебаниях возмущающих воздействий в определённых пределах. Другими словами, основной задачей регулятора является устранение рассогласования Ау изменением регулирующего воздействия. Важнейшим достоинством замкнутой АСР является то, что она реагирует на любое возмущение, приводящее к возникновению рассогласования. В то же время подобным системам принципиально присуща ошибка регулирования, поскольку возникновение рассогласования Ау всегда предшествует его устранению и, кроме того, замкнутая АСР при определённых условиях может стать неустойчивой. Основными задачами, возникающими при расчёте АСР, являются:
Целью расчёта замкнутой АСР является обеспечение требуемого качества регулирования. Под качеством регулирования будем понимать значения показателей, характеризующих форму кривой переходного процесса в замкнутой АСР при ступенчатом воздействии на её входе. Примерный вид переходных характеристик замкнутой АСР по каналам задающего и возмущающего (в частном случае регулирующего) воздействий показан на рис. 3. Переходная характеристика замкнутой системы по каналу задающего воздействия (линия Уфакт на рис. 3а) отражает характер перехода регулируемой переменной от одного установившегося значения к другому.
Идеальным было бы, если бы этот переход совершался скачком (линия уид) Переходная характеристика по каналу регулирующего воздействия (линия уфакт на рис. 3б) отражает процесс подавления системой возмущения. Идеальным было бы, чтобы система вообще не реагировала на возмущение (линия уид). В настоящем пособии рассматриваются методы решения типовых задач, возникающих при расчёте АСР различных типов, находящих применение в практике автоматизации технологических процессов.
1.1. Основные характеристики и свойства объектов регулирования Объект регулирования может находиться в одном из двух состояний: статике или динамике. Статикой называется установившийся режим, в котором входные и выходные величины объекта постоянны во времени. (Это определение справедливо для устойчивых (статических) объектов). Динамика - это изменение во времени выходной переменной объекта вследствие изменения входной переменной или ненулевых начальных условий. Статические характеристики объектов регулирования Поведение объекта регулирования в статике характеризуется статической характеристикой «вход-выход», представляющей зависимость между установившимися значениями выходной и входной переменных: У = {(X ) Уст уст По виду статических характеристик различают линейные и нелинейные объекты. Статическая характеристика линейного объекта представляет прямую, проходящую через начало координат с уравнением у = Кх (Характеристику с уравнением у = Кх + Ъ , не проходящую через начало координат, можно свести к линейной, обозначив у - Ъ = у .) Объекты, статические характеристики которых отличаются от прямой, являются нелинейными. Тангенс угла наклона статической характеристики а, равный производной выходной переменной по входной, называется статическим коэффициентом передачи объекта: Ау К = 11т —— = 1да Ах^о Ах Коэффициент К имеет размерность: единиц выходной переменной на единицу входного воздействия. Физический смысл: изменение регулируемой переменной на единицу входного воздействия, т.е. коэффициент передачи характеризует крутизну статической характеристики. Для линейных объектов К=у/х - константа, для нелинейных К есть функция х. При расчёте АСР нелинейные характеристики обычно линеаризуют. Широкое применение находит линеаризация касательной (линейным приближением разложения в ряд Тейлора). Пусть х0 , у о - точка, в окрестности которой линеаризуется функция у=/(х). Считая ду _ Ду = у - у о дх Ах х - х 0 ( ) = \ ду I ( ) находим (у уо) = * ^х хо) (1) V Ао При использовании линеаризованного уравнения (1) следует учитывать, что точность линеаризации уменьшается с ростом величины приращения Ах, поэтому линеаризация касательной справедлива лишь в достаточно малой окрестности точки х^. Кроме того, поскольку в выражение (1) входит производная функции /(х), данный способ линеаризации пригоден лишь для дифференцируемых функций. Динамические характеристики объектов регулирования. Дифференциальное уравнение Основной динамической характеристикой объектов регулирования является дифференциальное уравнение. Объекты могут описываться дифференциальными уравнениями двух типов: обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения описывают объекты с сосредоточенными параметрами, которые условно можно считать емкостями с идеальным (мгновенным) перемешиванием. Переменные в таких объектах зависят только от времени и не зависят от координат точки измерения переменной. Уравнения в частных производных описывают объекты с распределёнными параметрами (физически это обычно аппараты, у которых одна из координат много больше остальных, например, теплообменник «труба в трубе», аппараты колонного типа и т.п.). В таких объектах значения переменных зависят не только от времени, но и координат точки измерения переменных, поэтому в дифференциальные уравнения входят не только производные по времени, но и по координатам. Обычно при расчётах уравнения в частных производных аппроксимируют системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем будем рассматривать объекты, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями вида: спу сп-1у ^у , стх ап + ап , — + + а, + а0 у = Ът I + Ъ0 х; т < п, (2) п сНп сИп-1 С( т сНт (2)
где п - порядок левой части и всего уравнения в целом, т - порядок правой части. Поскольку реальные объекты регулирования представляют инерционные звенья, всегда т<п. Для уменьшения числа коэффициентов левую и правую части дифференциального уравнения можно разделить на один из коэффициентов (например, а0) и, таким образом, считать его равным единице. В статике уравнение (2) принимает вид у = Ъо х, следовательно, коэффициент Ъ0 равен статическому коэффициенту передачи объекта. Передаточная функция Действия над дифференциальными уравнениями упрощаются при использовании преобразования Лапласа. Кроме того, преобразование Лапласа позволяет ввести понятие передаточной функции. Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что функции х(1) вещественной переменной I ставится в соответствие функция х(р) комплексной переменной р = а + . х(1) называется оригиналом, х(р) -изображением по Лапласу. Операция преобразования по Лапласу записывается следующим образом: х(р) = Ь[ х(1)], Ь - интегральный оператор Лапласа, определяемый следующим образом
Основные свойства преобразования Лапласа
е ~рт (теорема смещения оригинала), т.е.
Ь[х(1 -т)} = х( р)е
Это свойство позволяет находить изображения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
1\ = РХ(Р) I с х(0)=0 поэтому формально переменную р можно считать символом дифференцирования. В статике р=0. В общем случае Скх
= р х(р) с X (0)=0 Поскольку интегрирование есть действие обратное дифференцированию, интегрированию оригинала соответствует деление изображения на р: х(()( }= х( р)/ р Свойство (5) позволяет записать изображение по Лапласу дифференциального уравнения (2): (апРп + ап-1 РП~1 + • ” + а1 Р + 1)У(Р) = (ЪтРт + • ” + Ъ0 )х(Р) Таким образом, изображение по Лапласу дифференциального уравнения (2) представляет алгебраическое выражение, которое можно разрешить относительно изображения выходной переменной у(р), а затем снова перейти от изображения к оригиналу. Эта операция называется обратным преобразованием Лапласа и обозначается оператором Ь~1: х(1) = Ь~1 {х( р)} Обратное преобразование Лапласа определяется интегралом 1 а+]ф х(() =- | х(р)е р др 2П а- 1 а-]ю Для облегчения нахождения изображения по оригиналу и оригинала по изображению составлены таблицы соответствия между оригиналами и их изображениями для простейших функций. (Эти таблицы приводятся в руководствах по преобразованию Лапласа и в учебниках по теории управления). Для нахождения оригиналов сложных изображений пользуются формулой разложения изображения на простые дроби. (см п.6.3.). Отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению входной переменной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией У( р) Ътрт + •” + Ъо Ж (р) = х(р) апрп + ••• +1 или, поскольку Ъо = К, передаточную функцию можно записать в виде: ™ ч т,Ътрт + ••• +1 „В(р) Ж (р) = к^--------------- =к Ар, (6) апр + ••• +1 А(р) где А(р) и В(р) - полиномы отр порядков п и т соответственно. Какая же связь между передаточной функцией и статическим коэффициентом передачи? Передаточная функция - это динамическая характеристика, коэффициент передачи - статическая характеристика. Статика (покой) есть частный случай динамики (движения). Следовательно, К есть частный случай Ж(р) в статике. Поскольку в статикер=о, то К = Ж (о) Временные характеристики Временной характеристикой объекта называется его реакция на типовой апериодический сигнал. В качестве входных сигналов чаще всего используют ступенчатую функцию или её производную - 8 - функцию. Реакция объекта или любого динамического звена на ступенчатую функцию единичной амплитуды (единичную ступенчатую функцию) называется переходной характеристикой объекта (звена) к(1). Реакцию объекта на ступеньку произвольной амплитуды х0 называют кривой разгона объекта (рис.4). Для получения переходной характеристики из кривой разгона у(!) следует разделить каждую ординату кривой разгона на амплитуду ступеньки:
Щ) = у({ )/ х0
Реакция объекта на 8 функцию (в реальных условиях на импульс конечной длительности и амплитуды, например, прямоугольный) называется импульсной характеристикой (весовой функцией) объекта управления (рис. 5). Частотные характеристики Определяют поведение объекта в частотной области при подаче на его вход гармонического сигнала: х(*) = хтахЗШ^, где о = 2п/ = 2п / Т - круговая частота сигнала, / - частота, Т - период повторения сигнала, хтах -амплитуда сигнала. На выходе линейного объекта также возникают гармонические колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой (рис. 6): У(*) = Утах(о* + Рр; Р = у 36°°
Рис. 7. Значения утах и р зависят от частоты входного сигнала. Поскольку нас интересует изменение сразу двух величин - амплитуды и фазы, частотные характеристики удобно рассматривать в комплексной плоскости. Гармонический входной сигнал изображается на комплексной плоскости вектором х(уо), длина (модуль) которого равен амплитуде хтах, а угол наклона (аргумент) равен фазе колебаний о* (рис. 7): х(*) ^ хтах(°У° = х(1°) (Символ да в данном случае означает «изображается»). Аналогично выходной сигнал объекта у(1) изображается в комплексной плоскости вектором У(ую) : У(?) « Утах(ю) ^{М+<Р) = У(}ю) Изображения х(]ю) и У(]ю) называются изображениями по Фурье (спектрами Фурье) гармонических сигналов х(1) и у(1). Отношение изображений Фурье выходного гармонического сигнала к входному называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) или комплексной частотной характеристикой Ж(ую): Ж(]ю) = = Утах(ю) е]<р(ю) = Л(ю)е]*(ю) х( Ую) х тах(ю) Модуль частотной передаточной функции А(ю) на частоте ю определяет коэффициент передачи объекта на данной частоте, (р(ю) - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами на частоте ю . Передаточная функция есть функция комплексной переменной р = а + ]ю. Частотная передаточная функция есть функция мнимой переменной ]ю . Следовательно, частотная передаточная функция есть частный случай передаточной функции, когда переменная р принимает чисто мнимое значение ]ю . Поэтому формально выражение для частотной передаточной можно найти, заменяя в передаточной функции Ж(р) переменную р на ]ю , т.е. полагая р = ]ю : Ът (ю)т +............. + К Ж (ю) = ап (]ЮТ +............. + 1 В чём же разница между передаточной функцией и частотной передаточной функцией? Передаточная функция отражает поведение объекта регулирования или любого динамического звена в динамике при произвольной форме входного воздействия. Частотная передаточная функция отражает Частотную передаточную функцию записывают в алгебраической форме (декартовых координатах): Ж (у о) = Р(о) + ^^(о), Р(о) = Ке[ж(у'о)} ^(о) = Зт\Ж(]ю)], либо в показательной форме (полярных координатах): Ж (]ю) = А(о) ето) А(о) = \Ж (уо)|; р(о) = агд[Ж (]ю)] Годограф вектора Ж(у о) (график, описываемый концом вектора Ж(у о) при изменении частоты от о до да) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). АФХ показывает, как изменяются отношения амплитуд и сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами при изменении частоты входного сигнала (рис. 8). Зависимости отношения амплитуд выходного и входного сигналов А(о) и сдвига по фазе между выходным и входным сигналами р(о) от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками соответственно (рис. 9). АФХ содержит такую же информацию об объекте (звене), как АЧХ и ФЧХ вместе взятые.
Основные свойства объектов регулирования. Нагрузка Нагрузка - количество вещества или энергии, отбираемое в процессе работы от объекта регулирования. Изменение нагрузки, как правило, является основным возмущающим воздействием в системе регулирования, т.к. приводит к нарушению равновесия между притоком и стоком вещества (энергии) в объекте, что вызывает изменение регулируемой переменной (например, уровня жидкости в ёмкости (рис. 10))
Кроме того, изменение нагрузки приводит к изменению динамических характеристик объекта. Например, в ёмкости с идеальным перемешиванием (рис.10) постоянная времени равна отношению объёма жидкости, запасённой ёмкостью, к нагрузке, т. е. постоянная времени этого объекта обратно пропорциональна нагрузке. Ёмкость Ёмкость- количество вещества (энергии), которое способен накопить объект. Ёмкость характеризует инерционность объекта регулирования. Объекты регулирования могут быть одно- и многоемкостными. Многоемкостные объекты состоят из двух и более емкостей, разделённых переходными сопротивлениями. Количество емкостей определяет порядок дифференциального уравнения объекта. Например, ёмкость с жидкостью на рис. 1о относится к числу одноёмкостных объектов. Примером трёхемкостного объекта является кожухо-трубчатый теплообменник на рис. 2, в котором нагреваемая жидкость получает тепло через стенки трубок от теплоносителя. Первая ёмкость - количество тепла в нагреваемой жидкости в межтрубном пространстве. Вторая ёмкость - количество тепла в теплоносителе внутри трубок. Третья ёмкость - количество тепла в стенках труб (эта ёмкость обычно мала по сравнению с остальными, и ею пренебрегают). Самовыравнивание Самовыравнивание - способность объекта восстанавливать равновесие между притоком и стоком вещества (энергии) за счёт изменения регулируемой переменной вследствие внутренней отрицательной обратной связи в объекте регулирования. Например, в ёмкости со свободным сливом (рис. 1 о) при увеличении притока увеличивается уровень и за счёт этого увеличивается сток до тех пор, пока равновесие между притоком и стоком не восстановится. Чем больше величина самовыравнивания, тем меньше под действием возмущений отклоняется регулируемая переменная. Таким образом, самовыравнивание облегчает работу автоматического регулятора. В зависимости от величины самовыравнивания объекты регулирования можно разделить на объекты с положительным, нулевым и отрицательным самовыравниванием. С динамической точки зрения объекты с положительным самовыравниванием являются устойчивыми инерционными звеньями. Их переходные характеристики заканчиваются в установившемся режиме
Количественно величина самовыравнивания характеризуется коэффициентом самовыравнивания р, представляющем модуль величины обратной статическому коэффициенту передачи объекта: 1 р=К Коэффициент самовыравнивания показывает, на сколько должна измениться входная переменная объекта для того, чтобы выход изменился на единицу. Линейные объекты обладают постоянным самовыравниванием (р = сот1), нелинейные - переменным (р = Уаг). К объектам, не обладающим самовыравниванием (объектам с нулевым самовыравниванием), относятся так называемые нейтральные или астатические объекты, представляющие с динамической точки зрения интегрирующие звенья. Изменения регулируемой переменной в таких объектах могут быть сколь угодно большими. Примером нейтрального объекта является ёмкость с принудительным сливом (рис. 12). Здесь при ^пр ^ ^ст уровень растёт до переполнения ёмкости или падает до нуля.
При равенстве между притоком и стоком такой объект может находиться в равновесии при любом значении регулируемой переменной, поэтому и называется нейтральным или астатическим. Установившийся участок переходной характеристики астатического объекта представляет прямую, на которой регулируемая переменная изменяется с постоянной скоростью (кривая 2 на рис. 11). Уравнение идеального интегрирующего звена I У({) = Ка | х(*)й, йу / &
К = X Параметр Ка, характеризующий самовыравниванием, называется приведённой скоростью разгона нейтрального объекта и имеет смысл скорости изменения регулируемой переменной, приходящейся на единицу входного воздействия. Существуют объекты, в которых при определённых условиях возникает неуправляемый процесс. В этих объектах скорость изменения регулируемой переменной в переходном процессе имеет тенденцию к
объекты с
самонарастанию (кривая 3 на рис. 11). Такие объекты называют объектами с отрицательным самовыравниванием. С динамической точки зрения они являются неустойчивыми звеньями. Для нейтральных и неустойчивых объектов р = 0 . Запаздывание Запаздывание - промежуток времени от момента нанесения возмущения до начала изменения регулируемой переменной. Различают чистое и ёмкостное запаздывание. Чистое (транспортное) запаздывание т0- время, которое поток вещества (энергии) затрачивает на прохождение расстояния от точки нанесения возмущения до точки измерения регулируемой переменной в одноёмкостном объекте. Примером звена с чистым запаздыванием является ленточный питатель (транспортёр) (рис. 13). Время чистого запаздывания равно отношению длины активного участка конвейерной ленты 1 к линейной скорости ленты V:
В многоемкостных объектах несколько емкостей соединены последовательно, что вызывает замедление перетока вещества (энергии) из одной ёмкости в другую и приводит к возникновению емкостного запаздывания. На рис. 14 показаны переходные характеристики одно - (п=1), двух - (п=2), и многоемкостных (п=т) объектов. При числе емкостей п>1 в переходной характеристике появляется точка перегиба П. С ростом п начальный участок переходной характеристики всё больше тяготеет к оси абсцисс, в результате чего и образуется емкостное запаздывание те. Между чистым и емкостным запаздываниями существует принципиальное различие. При чистом запаздывании регулируемая переменная равна нулю на протяжении всего времени запаздывания. При емкостном запаздывании она изменяется, хотя и очень мало. Во временной области транспортное и емкостное запаздывание проявляются приблизительно одинаково, а в частотной области поведение этих звеньев существенно различается. Реальные объекты обычно содержат оба типа запаздывания, в результате чего общее запаздывание т равно их сумме: Т = Т0 +Те Отделить на экспериментальной характеристике емкостное запаздывание от чистого практически невозможно. Поэтому, если чистое запаздывание определяется по экспериментальной кривой разгона, его величина всегда субъективна, т.е. зависит от исследователя. Запаздывание резко ухудшает качество регулирования в АСР. 1.1. Методы математического описания объектов регулирования Методы математического описания объектов регулирования можно разделить на аналитические (т.е. не требующие проведения эксперимента на промышленном объекте) и экспериментальные (т.е. основанные на результатах эксперимента). Аналитическими называются методы получения математических моделей объектов, основанные на анализе физико-химических процессов, происходящих в объекте, с учётом его конструкции и характеристик перерабатываемых веществ. Достоинства аналитических моделей объектов
Экспериментальные методы получения моделей включают получение временных или частотных характеристик в результате проведения промышленного эксперимента и их аппроксимацию, т.е. подбор аналитического соотношения, с требуемой точностью описывающего экспериментальные данные. При снятии временных характеристик объект находится в переходном режиме от одного установившегося состояния к другому. При снятии частотных характеристик объект вводится в установившийся режим гармонических колебаний. Поэтому получение частотных характеристик, в принципе, позволяет получить более представительную информацию об объекте, в гораздо меньшей степени зависящую от случайных возмущений, действующих на объект. Но эксперимент по снятию частотных характеристик является более трудоёмким по сравнению с экспериментом по снятию временных характеристик и требует специальной аппаратуры. Поэтому наиболее доступным в реальных условиях является получение временных характеристик. Следует однако отметить, что экспериментальные модели объектов можно использовать только для тех объектов и тех условий их функционирования, для которых проводился эксперимент. 1.3. Получение и аппроксимация временных характеристик объектов регулирования Подготовка и проведение эксперимента При разработке схемы эксперимента по снятию временных характеристик объектов регулирования решаются вопросы, связанные с измерением и регистрацией испытательного воздействия и регулируемой переменной. Планирование эксперимента сводится к выбору вида испытательного воздействия, величины его амплитуды и количества опытов. Для получения кривой разгона в качестве испытательного воздействия используют ступенчатую функцию. Если ступенчатое воздействие недопустимо (объект регулирования без самовыравнивания или недопустимо длительное отклонение регулируемой переменной от номинала), используется воздействие типа прямоугольный импульс. Полученная таким образом импульсная переходная характеристика в соответствии с принципом суперпозиции для линейных объектов может быть перестроена в кривую разгона. При выборе амплитуды испытательного воздействия ищут компромисс между следующими противоречивыми требованиями. С одной стороны, амплитуда входного воздействия должна быть достаточна большой для уверенного выделения полезного сигнала на фоне шумов измерения. С другой стороны, слишком большие отклонения регулируемой переменной могут привести к нарушениям режима работы объекта, приводящим к снижению качества продукции или возникновению аварийного режима. Кроме того, при больших возмущениях сказывается нелинейность статических характеристик объекта. При определении количества опытов полезно учесть следующие факторы: линейность статической характеристики объекта, степень зашумлённости характеристик, величину колебаний нагрузки, нестационарность характеристик во времени. Перед проведением эксперимента объект должен быть застабилизирован в окрестности номинального режима его функционирования. Эксперимент по снятию временной характеристики продолжается до тех пор, пока не установится новое значение регулируемой переменной. При зашумлённости объекта экспериментальные характеристики сглаживаются по времени при высокочастотном шуме или по множеству при низкочастотном шуме. Аппроксимация переходных характеристик объектов регулирования. Задача аппроксимации включает три этапа.
Переходные характеристики объектов с самовыравниванием и сосредоточенными параметрами аппроксимируют дробно-рациональной передаточной функцией в общем случае с чистым запаздыванием вида: Ъ рт + +1 Кб (Р) = Коб ^ г е ■рт (7) а„Р +......... +1 Для объектов без самовыравнивания в знаменателе передаточной функции (7) сомножителем добавляется переменная преобразования Лапласа р - признак интегрирующего звена. Как показывает практика, удовлетворительная точность аппроксимации достигается при использовании моделей, для которых п=1,2,3, а п-т=1 при отсутствии точки перегиба в кривой разгона и п-т >2 при её наличии.
Для оценки точности аппроксимации необходимо построить расчётную характеристику и определить максимальную ошибку аппроксимации. Выражения для переходных характеристик, соответствующих некоторым аппроксимирующим передаточным функциям, приведены в табл.1. При расчётах на ЭВМ в выражениях для переходных характеристик следует перейти к дискретному времени 1=1А( (А( - интервал дискретности отсчётов), а при наличии в модели (7) чистого запаздывания т = кЬй к аргументу Г 0 при I < к I (/ - к) при I > к Аппроксимация переходных характеристик объектов с самовыравниванием инерционным звеном первого порядка с запаздыванием а) Графический способ (метод касательной) Передаточная функция ищется в виде:
Для определения т и Т к переходной характеристике (рис.15) проводят касательную АВ в точке перегиба С (точке перегиба соответствует максимальный угол а между касательной и осью абсцисс)
Отрезок ОА, отсекаемый касательной на оси абсцисс, принимается за время чистого запаздывания т : т = ОА Длина подкасательной (проекция отрезка АВ на ось абсцисс) принимается за Т: Т=АБ Коэффициент передачи К находится как отношение приращений выходной и входной величин в установившемся режиме: Лу у уст уст
б) Интерполяционный способ Кривая разгона предварительно нормируется от 0 до 1 по формуле уЦ) _ у(°) _ 0
< у (1) < 1 у(сю) _ у(0) На нормированной кривой (рис.16) выбираются две точки А и В (узлы интерполяции), через которые должна проходить расчётная кривая.
Нормированная переходная характеристика звена с передаточной функцией (8) равна (11) Записывая выражение (11) для точек А и В получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: 1а _т 4 _т Разрешая эту систему относительно т и Т, получаем:
1 в 1п(1 _ ~а ) _ 1а 1п(1 _ Ув ) 1п(1 _ уА) _ 1п(1 _ ув)
ь(1 _ Уа ) 1п(1 _ Ув) Аппроксимация переходных характеристик объектов регулирования без самовыравнивания интегрирующим звеном с запаздыванием или реальным интегрирующим звеном Аппроксимирующая передаточная функция ищется в виде:
К
Ш (р) = р или Ш (р) = Р(тР +1) Параметры моделей (13), (14) можно легко определить, проведя асимптоту ВС к установившемуся участку кривой разгона (рис.16.): у
Т=ОА (для модели (14)) Аппроксимация переходных характеристик объектов регулирования звеном п-ного порядка Поскольку рассматриваемый ниже метод предназначен для аппроксимации переходных характеристик объектов без чистого запаздывания и с самовыравниванием, то из кривой разгона необходимо предварительно исключить составляющие, соответствующие звеньям чистого запаздывания и интегрирующему, если таковые имеются. Для исключения составляющей, обусловленной чистым запаздыванием, следует все абсциссы кривой разгона уменьшить на величину чистого запаздывания т (т.е. перенести начало координат вправо на т). При этом в передаточной функции объекта с чистым запаздыванием Кб (Р) = К (Р) • е -рт Участку АВ переходной характеристики без запаздывания (рис.17) соответствует переходная функция №об (р).
При аппроксимации переходной характеристики объекта без самовыравнивания она представляется в виде разности двух характеристик (рис.18): У) = У1 ) - У2 ) Для этого проведём асимптоту ВС к установившемуся участку характеристики и луч ОА параллельный ВС. Вычитая у](1 )из у(1), находим -у2(1). у](1)- переходная характеристика интегрирующего звена с передаточной функцией ЖД р) = Р Коэффициент Ка по-прежнему находится по формуле (15): К а а Ах уст у2{() - переходная характеристика объекта с самовыравниванием. Ей соответствует передаточная функция Ж2 ( Р) . В силу линейности преобразования Лапласа передаточная функция объекта, соответствующая характеристике у({), равна: К Жоб (р) = Щ (р) - Ж2( р) = -^ - Щ (р) Р Коэффициенты передаточной функции Ж2 (р) могут быть найдены описываемым ниже методом. Приводя выражение для Жоб (р) к общему знаменателю, получаем искомую передаточную функцию объекта без самовыравнивания. Определение коэффициентов передаточной функции объекта методом площадей Симою Метод предназначен для определения коэффициентов дробнорациональной передаточной функции объекта вида Щб(р) = КбЬ",рт„ + '''+1 (16) апр + -+1 На практике, как отмечалось, п=1,2,3; т=0,1. Коэффициент передачи Коб , как всегда, определяется по формуле (9). Для упрощения расчётов нормируем кривую разгона объекта в диапазоне 0-1 по формуле (10). Для нормированной кривой у() при единичном входном воздействии Коб = 1. Запишем выражение обратное передаточной функции (16) и разложим его в бесконечный ряд по степеням р:
Приводя (17) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, находим: а1 = Ъ1 + 81 а 2 = Ъ2 + Ъ181 + 8 2 а з = Ъз + Ъ181 + Ъ18 2 + 8 з *, (18) ак = Ък + Ък-181 + * ” + Ъ18к-1 + 8к в частном случае при т=0 а1 = 81 а 2 = 8 2 (19) ак = 8к Числитель и знаменатель искомой передаточной функции (16) содержат (п+т) неизвестных коэффициентов, поэтому для их нахождения нужно, чтобы система (18) ( или в частном случае (19)) содержала столько же уравнений. Итак, система (18) (или (19)) позволяет определить коэффициенты передаточной функции (16) через неизвестные пока коэффициенты разложения 8к. Для определения последних рассмотрим изображение по Лапласу отклонения нормированной переходной характеристики от установившегося значения:
4 - у(—)}= !{1|- ф(—)} = - [1 - Коб (р)] р Из (20) находим -1— {1- рЬ[1 - У (" )]}= } ^об( р) или с учётом определения преобразования Лапласа (3): 1
1 - р{[ - У (—)]-Р'Ж Коб (р) , Раскладывая функцию е -р в ряд по степеням р—: — —2 —3 —к е~р = 1 - р— + р2 р3 — + ••• + (-1)крк— + •••, 1! 2! 3! к! можем представить интеграл в выражении (21) в виде суммы интегралов: <Х) <Х) го <х> 2 |(1 - )е - р1л =|(1 - ~ )а— - р |(1 - ~ ь ж+р21(1 - ~) —ж+-+ 0 0 0 1! 0 2! Copyright 2021. Для правильного отображения сайта рекомендуем обновить Ваш браузер до последней версии!
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||