Скачать: eyler.zip [59,93 Kb] (cкачиваний: 61)

Кафедра АиТ

Лабораторная работа

«Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»

по дисциплине «Оптимизация и оптимальные управления»

Вариант №4

Численное решение

дифференциальных уравнений

Метод численного решения дифференциального уравнения первого порядка - это нахождение корней уравнения при известных начальных условиях х₀; у(х₀).

Метод Эйлера

По определению, производная - это отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е. .

введём новые переменные:

х₀=х,

у₀=у(х)=у(х₀),

х₁=x+h=х₀+h,

y(x+h)=у(х₁)=y₁,

тогда получим: или .

Следовательно .

Так как , то получим, что .

Теперь пользуясь значением y₁, можем определить следующее значение функции, т.е. и далее ,

при этом, новое значение аргумента будет выражаться по формуле

х_i+1=x_i+h.

Таким образом, зная начальные условия и шаг h, можно решить уравнение на отрезке [a,b], где а=х₀.

При достаточно малом шаге h метод Эйлера даёт решение с большой точностью. Но при уменьшении шага, происходит замедление вычислений.

Алгоритм метода Эйлера

Шаг 1. Задаются начальные данные а=х₀; у₀; b; h.

Шаг 2. Вычисляется новое значение функции по формуле: .

Шаг 3. Вычисляется новое значение аргумента по формуле х_i+1=x_i+h.

Шаг 4. Полученные значения функции и аргумента выводятся на печать.

Шаг 5. Если аргумент функции меньше b, то необходимо перейти к шагу 2, в противном случае управление переходит к шагу 6.

Шаг 6. Конец.

Расчетная часть

Задание. Написать программу решения дифференциального уравнения методом Эйлера, если известны следующие данные:

Отрезок [2;3],

Начальные значения x₀,y₀:[2;0.9],

Шаг:h=0.1.

Решение.

1) Решим дифференциальное уравнение методом Эйлера:

Program Eiler;

Uses CRT;

Var

a,b,x,y,h:real;

Begin clrscr;

Write('(a;b):');

Readln(a,b);

Write('(x0;y0):');

Readln(x,y);

Write('h=');

Readln(h);

Writeln;

Repeat

WriteLn('x=',x:2:1,' ','y=',y:2:4);

y:=y+h*(exp(-x)+y);

x:=x+h;

Until x>b;

Readln;

End.

В результате решения уравнения методом Эйлера получили ряд следующих значений:

Ломаная Эйлера имеет следующий вид: