СКАЧАТЬ:  111.zip [468,48 Kb] (cкачиваний: 25)

Цель и содержание работы

• закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков в построении регрессионных моделей объекта по экспериментальным данным с использованием программы MathCAD;
• решение задачи оп­ределения максимума общей производительности по конденсату установки низкотемпературной се­парации (НТС) с параллельно работающими аппаратами на ЭВМ, а также получение практических навыков в решении оптимизационных задач.

Определение оптимального режима НТС

Ниже приведена схема установки НТС.

Производительность i-й нитки в единицах мас­сового расхода определяется следующим выражением:

                                                                     (1)

где  G_i - производительность i-й нитки, ;

Q_i - объемный расход смеси на входе нитки, ;

C - технологическая константа, ;

T₁ - начальная температура смеси, град;

 - тепловой эффект Джоуля-Томсoна, град;

С_p1 - начальная теплоемкость смеси, ;

С_p2 - конечная теплоемкость продукта, ;

 - температурная характеристика сепара­тора, задаваемая в виде таблицы, град.

Поскольку переменными  являются только Q_i и , выражение (1) может быть записано в виде:

                                                                                                            (2)

где R₁ и R₂ - константы.

На основании изложенного, можно следующим образом сформулировать задачу оптимального управ­ления расходами сырого газа на входах в отдельные нитки: распределять газ таким образом, чтобы в любой момент времени суммарный выход конденсата был максимальным, то есть выполнялось условие:

        ;

                                                                                                (3)

где n - число ниток; i = 1..n.

Выражение (3) целевой функции управления может быть преобразовано к чисто аналитическому виду сле­дующим образом. Задаваемая таблично функция  может быть аппроксимирована на отрезке  аналитическим выражением, например, с помощью ортогональных многочленов. Аппроксимация в виде линейной зависимости

                                                                                                                 (4)

приводит к следующему виду целевой функции:

        ;                                                                                           (5)

где               

Выражение (5) на отрезке  определяет участок квадратичной параболы вида

        .                                                                                                                (6)

Таким образом, при отсутствии ограничений типа неравенств, наложенных на аргумент Q_i, зада­ча определения вектора , доставляющего макси­мум целевой функции, могла бы быть решена ана­литически. Наличие указанных ограничений дикту­ет использование одного из методов программиро­вания, реализованного в виде программы ЭВМ.

Порядок выполнения работы

Для решения практической задачи используются следующие числовые характеристики технологического процесса:

Функция  определяется таблицей 1.

                                                                                                                         Таблица 1

Используя данные таблицы 1, необходимо найти с помощью мето­да наименьших квадратов (МНК) коэффициенты а_i и b_i линейной аппроксимации функции  для каждой из 6 ниток.

Для аппроксимирующей функции, определенной выражением (4), можно записать:

                                                                                                                   (7)

где  i = 1..6 - количество технологических ниток;

j = 1..5 - количество затабулированных для каж­дой из i-ой ниток.

Система нормальных уравнений для i-ой нитки имеет следующий вид:

                                                                                                    (8)

После несложных преобразований системы (8) по­лучим выражение для вычисления  коэффициентов а_i, и b_i:

                                                           (9)

Результаты расчета коэффициентов a_i и b_i по формуле (1) заносятся в таблицу 2.

                                                                                                                         Таблица 2

По полученным коэффициентам a_i и b_i записы­ваются значения  для каждой из 6 ниток:

        .

Используя числовые характеристики техноло­гического процесса и значения коэффициентов ап­проксимации a_i и b_i, необходимо записать выражение для целе­вой функции в виде:

        .                                                                                                       (10)

Коэффициенты r и s для i-ой нитки рассчиты­ваются по формулам:

которые получаются из выражений (5) и (6). Резуль­таты расчета коэффициентов r_i и s_i заносятся в таб­лицу 3.

                                                                                                                  Таблица 3

  По полученным значениям коэффициентов r_i и s_i записы­ваются значения G_i(Q_i) для каждой из 6 ниток:

и выражение для целевой функции:

        .

Построим графики зависимости G(Q). Определим по ним оптимальный режим НТС при заданном ограничении ∑Q=550000. Если приравнять Q переменной х, то получим:

На основе анализа полученного графика зависимости G_i(Q_i) были найдены следующие объемные расходы смеси на входе для каждой нитки:

Обработка результатов эксперимента

1. Усредняем результаты измерений по i-ой нитке.

2. Выполняем проверку воспроизводимости.

Проверка воспроизводимости – это проверка на выполнение второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий . Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве дисперсий ²{Y₁}=²{Y₂}=... ²{Y_N} при экспериментах соответственно в точках .

Находим оценки дисперсий по формуле:

Так как все дисперсии получены по выборкам одинакового объема m, то число степеней свободы для всех дисперсий одинаково и равно

При вычислении  принимают число степеней свободы  на единицу меньше, чем число параллельных опытов m, т.к. одна степень свободы уже использована для вычисления .

Одним из важнейших положений современной теории планирования эксперимента является рандомизация. План эксперимента составляется так, чтобы рандомизировать, т.е. сделать случайными те систематически действующие факторы, которые трудно поддаются учету и контролю, для того, чтобы рассматривать их как случайные величины и учитывать статистически.

3. Проверка однородности оценок дисперсий с помощью критерия Кохрена.

Принимается нулевая гипотеза об однородности дисперсий воспроизводимости опытов. Однородность дисперсий означает, что среди всех дисперсий   нет таких, которые бы значительно превышали все остальные.

Для проверки гипотезы об однородности оценок дисперсий следует пользоваться критерием Кохрена, который основан на законе распределения отношения максимальной эмпирической дисперсии к сумме всех дисперсий, т.е.

Если вычисленное значение критерия G окажется меньше табличного значения Gкр, найденного для q %-ного уровня значимости, зн.=2=N – числа степеней свободы знаменателя, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

В нашем случае, для q=5%; числ.=5-1=4; зн.=6, Gкр=0,48.

Так как G=0.262<Gкр=0.48, следовательно, полученные результаты эксперимента качественные и могут быть использованы для построения регрессионной модели.

Найдем среднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов).

4. Проверяем значимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента, предварительно найдя дисперсию оценок. 

После определения оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезу о значимости коэффициентов bi. Лучше всего это сделать в виде нуль-гипотезы, т.е. гипотезы о равенстве . Если она подтвердилась, то коэффициент bi следует признать статистически незначимым и отбросить из искомой модели; если гипотеза не подтвердилась, то соответствующий коэффициент bi следует признать значимым и включить в модель.

Проверка гипотезы проводится с помощью t - критерия Стьюдента, который при проверке нуль-гипотезы формируется в виде:

где  - дисперсия ошибки определения коэффициента b_i.

Табличное значение критерия t_i (υ3=24 и q=5 %): tкр=2.06.

Из полученных уравнений видно, что коэффициенты параметра a_i незначимы в регрессионной модели, т.к. все a_i < tкр, а параметра b_i – значимы, поэтому все найденные оценки коэффициентов b_i должны войти в модель, а оценки a_i не входят.

Вычисленные величины параметра ti превышают табличное значение  (ti>tкр), то найденный для 5 %-ного уровня значимости и vзн=N(m-1)=24 (числа степеней свободы) коэффициент значимо (неслучайно) отличается от нуля и его следует сохранить в регрессионной модели. В этом случае значение коэффициента больше ошибки опыта, которую можно оценить величиной доверительного интервала :

В нашем случае этому требованию удовлетворяют все 6 коэффициентов b_i.

5. Выполним проверку гипотезы об адекватности представления результатов эксперимента найденному уравнению связи (с использованием F-критерия Фишера).

При определении критерия Фишера принимается иная ну­левая гипотеза, чем при экспериментах на вероятностных моде­лях. Здесь нулевая гипотеза гласит о том, что модель среднего  достаточно хорошо описывает исследуемый процесс. Регрессионная модель окажется адекватной, если выдви­нутая гипотеза будет опровергнута.

По критерию Фишера сравнивают дисперсии оцениваемой и противопоставляемой моделей. Последняя должна быть более точной, чем оцениваемая модель. Поэтому в данном случае критерий Фишера равен отношению дисперсии модели среднего  к  остаточной дисперсии :

Критерий детерминации определяется по формуле:

Значение R² определяет долю рассеяния эксперименталь­ных значений функции отклика, учитываемую регрессионной зависимостью. Модель считается работоспособной, если R>0,75.

Уравнение регрессии адекватно описывает результаты экс­перимента, если значение F боль­ше табличного значения критерия Фишера F_T, определяемого при принятом уровне значимости q и числах степеней свободы v4=N-1 и v₃=N-k. Если условие F > F_T выполняется, это означает, что уравнение регрессии опи­сывает результаты эксперимента в F_T раз лучше модели среднего. Тогда нулевая гипотеза отвергается и регрессионная модель адек­ватна.

F_T=6.26, F=6.396, следовательно условие F > F_T выполняется, значит модель адекватна.

6. Оценим работоспособность модели, используя коэффициент (индекс) детерминации.

Так как R=0.935>0.75, то модель признается работоспособной.

7. Решение задачи оптимизации методом множителей Лагранжа с ограничениями в виде неравенств.

Решим задачу оптимизации режима работы НТС методом множителей Лагранжа с ограничениями в виде неравенств:

1.

2.

3. .

Последние 2 неравенства представим в ином виде, добавив ослабляющую переменную :

Задача сводится к максимизации функции G_i(Q_i). Сформируем функцию Лагранжа:

.

Составляем систему уравнений из приравненных нулю частных производных относительно Q, u и λ:

Так как для учитывания всех ограничений важно, чтобы множители λ не были равны 0, то для дальнейшего упрощения примем, что , а .

Тогда:

Так как  – сложная функция, то частные производные от  будут:

После упрощения получим:

Выразим четные (λ_2i) и нечетные (λ_i) множители через λ₁₃:

Подставим эти выражения в :

По полученным уравнениям определяем все неизвестные λ и находим значения расхода для каждой нитки и максимальный выход конденсата установки НТС.

Вывод: По результатам расчетов методом множителей Лагранжа получено значение максимального выхода конденсата с установки  г/ч.

На основе расчетов методом наименьших квадратов было получено значение  г/ч.

Приложение 1

t-распределение Стьюдента. Значения t(ν₃, q) в зависимости от числа степеней свободы ν₃ и уровня значимости q=P[t > t_ν3,q]

Приложение 2

F -распределение Фише­ра. Значения F(ν₄, ν₃, q) в зависимости от числа степеней свободы ν₄, ν₃, и уровня значимости q=Р[F > F(ν₄, ν₃, q)]=0,05