СКАЧАТЬ:  ww.zip [715,57 Kb] (cкачиваний: 30)

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №1

по дисциплине: «Моделирование систем»

на тему: «Оптимизация процесса низкотемпературной

сепарации»

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА НТС

Цель работы: Построение регрессионной модели установки НТС по результатам экспериментов и определение максимума его общей производительности по конденсату в зависимости от значений расходов на входе.

Сведения из теории:

1. 1.     Построение математической модели

Построение математической модели технологического процесса в зависимости от поставленной задачи может преследовать следующие цели:

• Минимизировать расход материала на единицу выпускаемой продукции при сохранении качества;
• Произвести замену дорогостоящих материалов на более дешевые;
• Сократить время обработки в целом или на отдельных операциях и т.п.

Прежде всего, необходимо выбрать переменную y, которую будем называть целевой функцией или параметром оптимизации, за который принимают один из показателей качества продукции либо по каждой технологической операции отдельно, либо по всему технологическому процессу сразу. Параметр оптимизации должен соответствовать следующим требованиям:

• параметр должен изменяться при любом изменении режимов технологического процесса;
• параметр должен быть статически эффективным, т.е. измеряться с наибольшей точностью;
• параметр должен быть информационным, т.е. всесторонне характеризовать технологический процесс;
• параметр должен иметь физический смысл, т.е. должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса;
• параметр должен быть однозначным, т.е. должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия.

Самой простой математической моделью является линейная модель. Она может быть описана уравнением:

,                                                    (1)

где a и b – коэффициенты линейной регрессии, x – входной параметр, y – выходной параметр.

Одним из приближённых экспериментальных методов построения математической модели является метод наименьших квадратов (МНК), по которому математическая модель является самой точной, если:

                                          (2)

где  – текущее значение выходного параметра,  - текущее значение выходного параметра согласно регрессионной модели.

         Для случая линейной модели график левой части выражения (2) имеет один минимум, который можно определить из системы уравнений:

                                     (3)

или

                                 (4)

Решив систему, можем получить искомые коэффициенты линейной регрессии:

                                        (3)

                                                  (4)

1. 2.     Анализ регрессионной модели 

2.1. Анализ регрессионных моделей по критерию Стюдента:

Согласно критерию Стюдента, коэффициент является значимой в регрессионной модели, если:

                                              (5)

где  − исследуемый коэффициент,  − его среднеквадратическое отклонение,  − величина из таблицы t-распределения Стюдента, которая зависит от числа степеней свободы (количества входных параметров) и от коэффициента q (обычно для технических систем принимают q = 0,05).

2.2. Проверка адекватности модели по критерию Фишера

         Согласно критерию Фишера математическая модель адекватно описывает объект (или уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента) если:

                                                (6)

где  − дисперсия модели среднего, характеризующее рассеяние результатов эксперимента относительно его среднего значения,  − остаточная дисперсия, оценивающее погрешность полученной модели,  − величина из таблицы F-распределения Фишера, которая зависит от числа степеней свободы ,  (здесь N – количество опытов, d – количество коэффициентов в уравнении регрессии) и от коэффициента q (обычно для технических систем принимают q = 0,05).

            Проверка работоспособности модели:

Проверка работоспособности модели осуществляется с помощью критерия детерминации и определяется как:

                                          (7)

Модель считается работоспособной, если

1. 3.     Определение оптимального режима НТС

Рис. 1. Схема установки НТС

        Производительность i-й нитки в единицах мас­сового расхода определяется следующим выражением:

                        (8)

        где  G_i − производительность i-й нитки, ;

        Q_i − объемный расход смеси на входе нитки, ;

        C − технологическая константа, ;

        T₁ − начальная температура смеси, град;

         − тепловой эффект Джоуля-Томсoна, град;

        С_p1 − начальная теплоемкость смеси, ;

        С_p2 − конечная теплоемкость продукта, ;

         − температурная характеристика сепара­тора, задаваемая в виде таблицы, град;

Поскольку переменными в выражении (8) являются только Q_i и , оно может быть записано в виде:

                                             (9)

где R₁ и R₂ − константы.

На основании изложенного, можно следующим образом сформулировать задачу оптимального управ­ления расходами сырого газа на входах в отдельные нитки: распределять газ таким образом, чтобы в любой момент времени суммарный выход конденсата был максимальным, то есть выполнялось условие:

;

                                (10)

где n - число ниток; i = 1...n.

Выражение (9) целевой функции управления может быть преобразовано к чисто аналитическому виду сле­дующим образом. Задаваемая таблично функция  может быть аппроксимирована на отрезке  аналитическим выражением, например, с помощью ортогональных многочленов. Аппроксимация в виде линейной зависимости

                                            (11)

приводит к следующему виду целевой функции:

;                                    (12)

где

Выражение (5) на отрезке  определяет участок квадратичной параболы вида:

.                                                (13)

Таким образом, при отсутствии ограничений типа неравенств, наложенных на аргумент Q_i, задача определения вектора , доставляющего макси­мум целевой функции, могла бы быть решена ана­литически. Наличие указанных ограничений дикту­ет использование одного из методов программиро­вания, реализованного в виде программы ЭВМ.

1. 4.     Метод сканирования

Метод сканирования заключается в последовательном просмотре значений критерия оптимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных, и нахождении среди этих точек такой, в которой критерий оптимальности имеет минимальное (максимальное) значение. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько «густо» располагаются выбранные точки в допустимой области изменения независимых переменных.

Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно «густым» расположением исследуемых точек всегда гарантируется отыскание глобального оптимума, такая как анализируется вся область изменения независимых переменных. Другое достоинство – независимость поиска от вида оптимизируемой функции.

К недостаткам метода относится, в первую очередь, необходимость вычисления значений целевой функции для большого числа точек. Это должно гарантировать, что оптимум не будет пропущен при применении данного метода поиска.

Наиболее простой алгоритм поиска оптимума методом сканирования, называемый еще иногда поиском на сетке переменных заключается в том, что по каждой из независимых переменных даются приращения в соответствующем порядке, обеспечивающем заполнение всей области изменения этих переменных равномерной и достаточно густой сеткой. В простейшем случае двух переменных х₁ и х₂ сканирование сводится к просмотру значений критерия оптимальности при заданном значении одной переменной х₂ для ряда значений другой x₁, которые определяются как отстоящие друг от друга на величину шага Δх₁, по переменной х₁. После того, как весь диапазон изменения переменной при заданном значении х₂ исследован и для него найдено минимальное значение критерия оптимальности, изменяется  значение переменной  х₂ также на величину некоторого шага Δх₂ по этой переменной и т. д. Графическое представление поиска методом сканирования при двух переменных показано на рисунке 2.

Для произвольного числа независимых переменных шаг по каж­дой следующей переменной производится после того, как полностью завершен цикл по предыдущей.

Дополнительные ограничения на независимые переменные по существу не усложняют процедуры использования   метода   сканирования, так как в этом случае точки, которые не удовлетворяют заданным условиям, просто исключаются из рассмотрения и значения критерия оптимальности в них не вычисляются. Наличие дополнительных ограничений на независимые переменные даже ускоряет решение задачи, если, конечно, эти ограничения не заданы в виде трудновычисляемых соотношений. Поиск ведется проще, если ограничения заданы в виде неравенств, когда приемлемость точки решается простой проверкой этих условий. Однако метод сканирования можно применить также и в случае, если ограничения имеют вид равенств.

Число вычислений критерия оптимальности при определении положения оптимума методом сканирования возрастает в показательной зависимости от размерности решаемой задачи. Поэтому эффективное применение данного метола в основном ограничивается задачами невысокой размерности п = 2…3, если используется простейший алгоритм поиска, рассмотренный выше для отыскания оптимума с невысокой точностью.

Существуют различные модификации метода сканирования, применяемые в основном для сокращения объема вычислений. Одна из таких модификаций заключается в том, что используется алгоритм с переменным шагом сканирования. Вначале величина шага выбирается достаточно большой, по возможности значительно превышающей требуемую точность определения положения оптимума, и выполняется грубый поиск, который локализует область нахождения глобального оптимума. После того, как эта область определена, производится поиск с меньшим шагом только в пределах указанной области. Практически можно организовать целый ряд таких процедур последовательного уточнения положения оптимума.

На рис. 3 показан поиск с переменным шагом для функции двух переменных. Кружком обозначено истинное положение оптимума, а крестиком – приближение, найденное в результате грубого поиска.

Важнейшим моментом при использовании метода сканирования с переменным шагом является выбор начального грубого шага поиска. Если начальная величина шага Δ₀ выбрана слишком большой, то может возникнуть опасность пропуска глобального оптимума. Если же начальный шаг выбран слишком малым, то может быть велик необходимый для поиска объем вычислений. При выборе величины начального шага существенную помощь может оказать информация о поведении целевой функции, наличии локальных экстремумов.