Содержание

Содержание. 2

Цель работы.. 3

Сведения из теории. 3

Практическая часть. 5

Цель работы

1. Изучение градиентных методов безусловной оптимизации: метод дробления шага, метод наискорейшего спуска, метод Ньютона.
2. Оптимизация заданной функции всеми тремя вышеуказанными методами
3. Сравнение результатов
   1. 1.     Метод с дроблением шага:
   2. Задаются точность и начальная координата поиска, α и β
   3. Вычисляется значение функции и его производных в начальной точке, норма
   4. Задается величина шага
   5. Вычисляется приращение аргументов:

Сведения из теории

1. Вычисляются новые значения аргументов и значение функции при них.
2. Проверяется условие: .

Если оно выполняется переход к п. 5

Иначе  и переход к п. 3.

1. Вычисляется норма и проверяется критерий окончания поиска

1. 2.     Метод наискорейшего спуска:
2. Задаются точность и начальная координата поиска
3. Вычисляется значение функции и его производных в начальной точке, норма
4. Вычисляется величина шага
5. Вычисляется приращение аргументов:

1. Вычисляются новые значения аргументов и значение функции при них.
2. Вычисляется норма и проверяется критерий окончания поиска

1. 3.     Метод Ньютона:
2. Задаются точность и начальная координата поиска
3. Вычисляется значение функции и его производных в начальной точке, норма
4. Вычисляется  
5. Определяется  
6. Вычисляется приращение аргументов: 
7. Вычисляются новые значения аргументов и значение функции при них
8. Вычисляется норма и проверяется критерий окончания поиска

Практическая часть

Задание: Найти минимум функции:

если начальные координаты [4; −1] с точностью ε = 0,3. Задачу решить методами дробления шага, наискорейшего спуска, Ньютона. Результаты сравнить.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся программным пакетом MathCAD Professional

1) Решение задачи методом дробления шага:

Задаем исходную функцию:

Задаём исходные данные (начало поиска и точность соответственно):

Находим производную исходной функции по всем аргументам:

Записываем алгоритм поиска:

Запускаем программу и получаем результат:

k             λ              Δx₁         Δx₂        x₁            x₂            f              f’_x1          f’_x2          Норма

0             0             0             0             4             -1            -1.9         1.2          5.9          6.021

1             1             -0.199    -0.98      3.801     -1.98      -5.034    0.061     -0.432    0.436

2             1             -0.139    0.99        3.662     -0.99      -2.202    0             0             0

2             0.5          -0.07      0.495     3.731     -1.485    -4.35      0             0             0

2             0.25        -0.035    0.248     3.766     -1.732    -4.907    0             0             0

2             0.125     -0.017    0.124     3.783     -1.856    -5.028    0             0             0

2             0.063     -0.0087  0.062     3.792     -1.918    -5.046    0.116     0.066     0.133 

2) Решение задачи методом наискорейшего спуска

Задаем исходную функцию:

Задаём исходные данные (начало поиска и точность соответственно):

Находим производную исходной функции по всем аргументам:

Записываем алгоритм поиска:

Запускаем программу и получаем результат:

k             λ              Δx₁         Δx₂         x₁            x₂            f              f’_x1          f’_x2          Норма

0             0             0             0             4             -1            -1.9         1.2          5.9          6.021

1             0.158     -0.189    -0.931    3.811     -1.931    -5.044    0.117     -0.024    0.119

3) Решение задачи методом Ньютона

Задаем исходную функцию:

Задаём исходные данные (начало поиска и точность соответственно):

Находим производные:

Записываем алгоритм поиска:

Запускаем программу и получаем результат:

k             Δx₁         Δx₂         x₁            x₂            f              f’_x1          f’_x2          Норма

0             0             0             4             -1            -1.9         1.2          5.9          6.021

1             0.364     -1.492    4.364     -2.492    -3.759    0             -4.672    4.672

2             -0.634    0.507     3.731     -1.985    -5.034    0             -0.54      0.54

3             -0.095    0.076     3.635     -1.908    -5.055    0             -0.012    0.012

5) Сравнение результатов: