ФЭА / АИТ / Курсовая работа "Градиентные методы"
(автор - student, добавлено - 1-05-2014, 17:09)
СКАЧАТЬ:
3. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ.
3.1. МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ.
В градиентных методах поиск оптимального значения целевой функции основан на анализе производных. Важно отметить, что под функциями понимаются только непрерывные дифференцируемые функции. К градиентным методям относятся следующие методы: метод градиента; метод релаксации; метод наискорейшего спуска, или крутого восхождения.
Сочетание основных идей методов релаксации и градиента дает метод наискорейшего спуска, который заключается в следующем. После того как в начальной точке найден градиент оптимизируемой функции и тем самым определено направление ее наибыстрейшего убывания в указанной точке, в данном направлении делается шаг спуска. Если значение функции в результате этого шага уменьшилось, то производится очередной шаг в том же направлении, и так вычисляется градиент и определяется новое направление наибыстрейшего убывания целевой функции. В сопоставлении с методом градиента метод наискорейшего спуска оказывается более выгодным из-за сокращения объема вычислений. По существу метод наискорейшего спуска по вычислительным затратам эквивалентен методу релаксации, однако выгодно отличается от него тем, что по крайней мере первые шаги после определения градиента производятся в оптимальном направлении. Очевидно, что чем менее резко изменяется направление градиента целевой функции, тем выгоднее использовать метод наискорейшего спуска по сравнению с методом градиента, т. е. вдали от оптимума. Вблизи оптимума направление градиента меняется резко, поэтому указанный метод автоматиче
На данном рисунке показаны возможная траектория движения к оптимуму при применении метода наискорейшего спуска и траектория движения к оптимуму при использовании метода градиента.
Рис. Характер движения к оптимуму в методе наискорейшего спуска.
Важной особенностью метода наискорейшего спуска является то, что при его применении каждое новое направление движения к оптимуму ортогонально предшествующему. Это объясняется тем, что движение в одном направлении производится до тех пор, пока направление движения не окажется касательным к какой-либо линии постоянного уровня (см. первый в этой части рис.). Тем самым, метод наискорейшего спуска имеет сходство с методом релаксации, для которого направление также ортогонально предшествующему, однако в отличие от метода релаксации скорость сходимости к оптимуму не зависит от ориентации системы координат. В качестве критерия окончания поиска может использоваться следующее условие:
где -- координаты начальной и конечной точек последнего отрезка спуска (второй в этой части рис.). Этот же критерий может использоваться в сочетании с контролем значений целевой функции в точках :
Совместное применение этих двух условий оправдано в тех случаях, когда оптимизируемая функция имеет резко выраженный минимум.
3.1. Практическое применение метода наискорейшего спуска. Дано: Примем в качестве целевой функции уравнение зависимости выходной температуры в испарителе (а именно, температуры ШФЛУ, возвращающейся в колонну) от расхода теплоносителя и уровня в испарителе: Твых = [(95.453 + 0.016 L )/2]+ [(114.259 - 0.679 G + 0.024 G2)/2]= = 104.856 + 0.008 L - 0.3395 G + 0.012 G2.
Найдем оптимум целевой функции методом наискорейшего спуска. Решение: Воспользуемся в качестве критерия окончания поиска формулой для оценки конроля качества целевой функции, так как вид уравнения (входные параметры можно выразить явно) позволяет сделать такое допущение. Как будет видно в дальнейшем, явный вид уравнения ведет к тому, что значения у будет мало колебаться вокруг среднего значения (оптимума). За ε возьмем 0.01, что вполне разумно, так как физический смысл переменной у -- температура на выходе испарителя, которая, как известно, может колебаться в довольно широких пределах (из режимных листов, к примеру, видно, что приблизительные пределы разброса -- 109..111°С). Зададим начальные координаты поиска.
Найдем отношение частных производных, подставив начальные значения переменных, чтобы получить пропорцию, которая нужна для определения величины шага и определения направления движения по двум координатам одновременно.
Теперь по известному алгоритму начнем вычислять: значения независимых переменных на каждом шаге, значение целевой функции, производить сравнение предыдущего и текущего значений целевой функции, в случае нарушения последовательной минимизации целевой функции -- изменять величину шагов, пользуясь отношением частных производных, производить проверку окончания поиска. Для вычислений воспользуемся программой Mathcad Профессиональная версия 2000.
Последнее выражение говорит о том, что достигнуто условие окончания поиска. Проверка верности полученного минимума целевой функции может быть произведена путем построения графика целевой функции в пространстве, что позволяет уравнение функции, зависящей от 2-х переменных.
Похожие статьи:
|
|