СКАЧАТЬ:  lab6.zip [820,57 Kb] (cкачиваний: 63)

Лабораторная работа №6.

Фильтрация измеряемых величин от помех.

1. Цель работы:

1. Закрепить и углубить знания по применению статистичес­ких методов при  автоматизации производства.
2. Освоить методику выбора типа фильтра и расчета его настроечных параметров, обеспечивающих требуемое  качество фильтрации при заданных параметрах помехи.
3. Определить погрешности работы фильтров  и выявить области их применимости.
4. Приобрести навыки решения на ЭВМ задач фильтрации случайных процессов.

2. Теоретические положения:

При автоматическом контроле большое значение имеет задача фильтрации выходного сигнала датчика для выделения значения измеряемой величины от искажающей ее помехи, присутствующей в полученном от датчика сигнале. Так, например, при измерении расхода газа в агрегатах на полезный сигнал накладываются пульсации газового потока, производимые газодувными устройствами. При измерении температуры материала или стенки агрегата пирометром сквозь пламя роль помехи в измеряемом сигнале играют колебания пламени и т.п.

Методы фильтрации с целью исключения случайной погрешности измерения датчика основаны на гипотезе о том, что спектр случайного процесса e(t) содержит более высокие частоты, чем спектр полезного сигнала  x(t). Внешне фильтрация проявляется в том, что реализация процесса z(t) становится более плавной, чем исходная реализация y(t). Отсюда второе название той же процедуры - сглаживание.

Схема фильтрации приведена  на рис. 1

Рис1. Схема фильтрации

Операция фильтрации может осуществляться аппаратурно, т.е. с помощью специальных технических устройств, или программно на ЦВМ, как это обычно имеет место в АСУ ТП.

 Качество фильтрации оценивается средним  квадратичным отклонением сигналов   Z (t)  и  Х (t)

                                                                               (1)

где   М - символ математического ожидания.

Различные типы фильтров дают разную погрешность восстановления полезного сигнала. Как правило, более точные фильтры являются более сложными устройствами, если они реализуются аппаратурно. Реализация более точного фильтра в УВМ ведет обычно к увеличению объема памяти, занятого подпрограммой фильтрации и ее параметрами, а также к удлинению времени работы подпрограммы. При контроле работы установки, цеха и т.д. необходимо осуществлять фильтрацию сотен и тысяч сигналов датчиков, отсюда понятна важность вопроса обоснованного выбора типа используемых фильтров. Для решения этого вопроса требуется количественно оценить погрешность выделения полезного сигнала при использовании фильтров различных типов и выделить области возможного применения используемых на практике фильтров.

Фильтры. Алгоритмы фильтрации, области применимости

Задача построения  оптимального или близкому к нему фильтра  сравнительного узкого, но практически наиболее распространенного  набора исходных данных. Корреляционная функция полезного сигнала Х (t), являющегося случайным стационарным процессом, аппроксимируется одной экспонентой

                                                                               (2)

где    - дисперсия полезного сигнала;   a - коэффи­циент экспонента.

Искажающая сигнал помеха e(t), действующая на  входе датчика, также является случайным, стационарным процессом, некоррелированным с сигналом X(t), имеющим нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию вида

                                                                                 (3)                       

где  k и  m  - коэффициенты

Рассматривается помеха более высокочастотная, чем полезный сигнал, поэтому всегда  m  > 1.

В большинстве конкретных случаев получаемые оценки стати­стических характеристик полезного сигнала и, тем более, помехи слишком приближенны, чтобы принимать для их корреляционных функций более точныe, чем экспоненты аппроксимации, поэтому эти аппроксимации и приняты для дальнейшего анализа.

 Фильтрация  методом скользящего среднего

Фильтp, осуществляющий сглаживание по методу скользящего среднего описывается  следующим  выражением

                                                                                    (4)

где  у(t)  - исходный случайный  процесс, содержащий помеху;

       Т - интервал времени усреднения (параметр наст­ройки фильтра).

Погрешность этого метода фильтрации определяется   путем подстановки выражения ( 4 ) в ( I ). В результате преобразования  получим   [1 ] 

    (5)

Оптимальное значение, интервала усреднения  Т  находится из условия минимизации погрешности фильтрации , т.е.  и

В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу скользящего среднего имеет вид

                                                                              (6)                                                                  

где  n = Т/Т_о  - число отсчетов функции  у(t) , по которому  производится

                           усреднение

        Т_о - период опроса датчика 

Простая по вычислениям  формула  (6)  занимает, к сожалению, достаточно большой обьем  V оперативной памяти УВМ для хранения промежуточных значений суммы (6)

                                                                                                    (7) 

где   u - интервал времени, через который требуется  выдавать значения Z (t).

Обычно u ³ Т₀  и   кратно ему.  Наиболее распространенным  является определение значения  Z (t)  каждый период опроса датчика. В этом случае  V = T_o и   V = n  слов.

Погрешность фильтрацией дискретного варианта фильтра скользящегоo среднего определяется путем подстановки выражения (6), и (2) и  (3) в (I). В результате преобразования получим 

               (8)

 Оптимальное значение n  находится из условия мини­мизации погрешности фильтрации . Оно зависит от заданных параметров помехи k, m, a и периода опроса То.

Фильтрация методом экспоненциального сглаживания.

В непрерывном варианте  экспоненциальный фильтр представ­ляет собой элементарно реализуемое одноемкостное звено с передаточной функцией вида

                                                                                        (9)

где g - коэффициент экспоненциального сглаживании (параметр настройки фильтра), выбираемый из условия минимизации средней квадратичной погрешности работы фильтра.

Погрешность работы фильтра определяется но формуле  [l,2]

                                                                  (10)       Используя (10), можно определить оптимальное значение параметра настройки фильтра  , т.е. значение, соответ­ствующее  условиям 

                                       и         

Реализуем экспоненциальный фильтр, должен иметь g > 0, что возможно  при условии   1 / m < k £ m .

В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу экспоненциального сглаживания представляет собой рекурентное соотноше­ние вида

                Z ( t ) = Z ( t - T_o ) +  g [ y  ( t ) - Z ( t - T_o ) ] ,                         (11)

где  y (t) -  текущее значение входа ; Z (t - Тo) - зна­чение выхода в момент предыдущего опроса.                     

Использование соотношения (11), независимо от требуемого интервала выдачи значения Z (t), позволяет для хранения промежуточных значений в оперативной памяти УВМ выделить всего одно слово.

Погрешность работы дискретного фильтра экспоненциального сглаживания определяется по формуле

    (12)

При заданном периоде опроса Т_о  значение параметра  определяется минимизацией погрешности  по  g

Области применимости фильтров скользящего среднего экспоненциального сглаживания в плоскости параметров  k  и   m   приведены на рис. 2.

Рис 2. Область  применимости фильтров скользящего среднего и экспоненциального cсглаживания

—.—— Непрерывное скользящее среднее

— х  — Дискретные  скользящее среднее

— -- -   Непрерывное экспоненциальное сглаживание

______   Дискретное экспоненциальное  сглаживание

3. Задание на работу:

1. По диаграммам k = k (m), приведенным на рис. 2, выбрать тип фильтра, обеспечивающий требуемое качество фильтрации при заданных параметрах помехи.

2. Используя формулы (5),  (8),  (10)  и  (12)  из   условий

для фильтра типа скользящего среднего

для фильтра экспоненциального сглаживания

определить оптимальные значения настроечных параметров фильтров:

- для фильтра типа скользящего среднего величины Т_опт (непрерывный вариант) и  П_опт   (дискретный вариант);

- для фильтра экспоненциального сглаживания (непрерывный и дискретный варианты)  величины.   g^н_опт

3. Подставляя значения  Т_опт в  (5),  П опт  в   (8),   g^н_опт  в (10)  и  g^Д_опт. В (12), найти минимальные значения средних квадратичных погрешностей работы фильтров.

4. Сравнить  величины погрешностей непрерывного и дискрет­ного вариантов фильтров и фильтров скользящего среднего и экспоненциального сглаживания между собой.

Сделать выводы  о точности работы  и областях возможного применения  рассматриваемых типов  фильтров. 

4. Исходные  данные  для  выполнения расчетов

1. Параметры искажающей полезный сигнал помехи, т.е.  величины k, m, a

2.  Период опроса датчика Т_о. Численное значение  величины То  берется из  расчетов, проводимых  в лабораторной работе  5.

3. Дисперсия полезного сигнала .

Численные значения величин k, m, a  и  .  сведены в таблицу.

Примечание. Расчеты оптимальных значений настроечных параметров фильтров и погрешностей их работы целесообразно проводить на ЭВМ. Алгоритмы и программы расчета на ЭВМ оптимальных настроечных параметров фильтров и погрешностей их работы приведены в приложении.

Содержание отчета:

Отчет должен содержать: номер и название лабораторной работы, цель работы, задание по вариантам, теоретические положения, листинг программы, блок-схему, результаты вычислений.

Приложение

Алгоритмы  расчета  на ЭВМ  оптимальных настроечных   параметров фильтров  и погрешностей   их   работы

Фильтрация  методом скользящего среднего

Непрерывный  вариант

1. Используя  формулу  (5), находим производную

Имеем                                                                                  (5.1)

         (5.2 )           

2. Решаем уравнение (5.2 ) и находим величину  Т =  Т_опт

Решение уравнения (5.2) проводим численным путем с исполь­зованием метода половинного деления.

Сущность метода половинного деления заключается в следующем. Если на интервале  [ В, С ]    (см. рис. 3)  отделен корень  любым математическим методом),

то есть функция на концах отрезка ВС имеет разные знаки, то, следовательно, функция  f (х)  обязательно пересечет данный отрезок в точке О, где f (х)=О, Значение  Т, обеспечивающее выполнение условия f (х)=О  и  будет  корнем уравнения ( 5.2 ).

Для решения уравнения (5.2) выполняем следующие действия.

2.1. Определяем значения функции f (х)  на концах от­резка ВС, т.е. при Т₁ = В  и Т₂ = С  (значения f₁ (х) и  f₂ (х) и в середине отрезка, т.е. при Т₃ = Д = ( В + С) / 2  (значение f₃ (х)).

2.2. Если окажется, что значение функции f₃ (х) точке Д по абсолютной величине меньше или равно наперед заданному числу e, то Т₃ будет корнем уравнения (5.2).

2.3.  При невыполнении условия по пункту 2.2 анализируем знаки функций f₁ (х) и f₃ (х). Если они имеют одинако­вые знаки, то ясно, что корня на отрезке ВД нет. Следователь­но, поиск корня надо продолжать на отрезке ДС. В этом слу­чае в качестве левой границы принимаем значение В = Д из предыдущего цикла расчета, а правую границу оставляем прежней.

2.4. Если функции f₁ (x)   f₃ (x)  имеют разные знаки, то поиск корня будем проводить на отрезке ВД.  Тогда левую границу оставляем прежней, а правую принимаем равной С = Д из предыдущего цикла расчета.

Аналогично поступаем и при дальнейшем уточнении значения Т. Таким образом, путем сужения отрезка ВС определяется зна­чение корня уравнения (5.2) с любой наперед заданной точностью  e

З. Критерием окончания расчетов является выполнение условия

                                        А В S      f ( х)  £   e

Величина e, определяющая точность расчетов, задается перед началом выполнения работы.

 4. По уравнению (5) при  Т = Т_опт определяем среднюю квадратичную погрешность работы фильтра.

                  Список  переменных  и  обозначения в программе

                                            “Фильтрация 5“

;

;

;

.

                                            Дискретный  вариант

 1. Используя формулу (8), находим  производную

                                                                              (8.1)

Имеем

                   f₁ (n)  -  f₂ (n)  + f₃ (n) = 0                                 (8.2)

где                                                                

         ;

;

2. Решаем уравнение  (8.2) методом половинного деления по описанному выше алгоритму и находим величину   n = n_опт

3. По уравнению (8) при n = n_опт  определяем среднюю квадратичную погрешность работы фильтра.

Список переменных и обозначения в программе

 “Фильтрации 8 “

                                                P [1]  =  e ^-anT_о     ;

                                                P [2]  =  e ^-aT_о     ;

                                               ; 

                                               ;

                                               ;

                                               ;

                            ; 

                            ; 

                            . 

Фильтрация  методом  экспоненциального  сглаживания

Непрерывный  вариант

1.Используя формулу (10), находим производную

                                             (10.1)

К a m ( a + g )² -  a ( a m + g )² = 0                          (10.2)

2. Решаем уравнение (10.2) методом половинного деления по описанному выше алгоритму и  находим величину   g =  g_опт

З. По уравнению (10) при   g = g_опт  определяем среднюю квадратичную погрешность работы  фильтра экспоненцильного сглаживания.

Список переменных и обозначения  

  в программе  “Фильтрация 10“

                                           Дискретный  вариант

1. Используя формулу ( 12 ), находим производную

                                                                                        (12.1)

Имеем

                                                               (12.2)                 

где

   ;

                            .

2. Решаем уравнение (12.2) методом половинного деления; по описанному выше алгоритму  и   находим   величину   g = g_опт 

3. По уравнению (12) при  g = g_опт определяет среднюю квадратичную погрешность работы  фильтра экспоненциального сгла­живания.

Список переменных и обозначения в программе

“Фильтрация 12”

;

;

;

;

.

Примечание. Для доказательства того, что при найденных оптимальных значениях настроечных параметров фильтров имеет место минимум  функции , необходимо определять  значения вторых производных   (см. пункт 2 раздел “Содержание и порядок выполнения лабораторной работы“).

Можно также исследовать поведение самой функции   при изменениях аргумента в заданном интервале или исследовать знак производной функции  вблизи точки  Х = а (см. рис. 4)

Рис. 4. Графики  функции   x = a  оптимальное значение

             параметра  настройки фильтра

Если при   х £ а  ( )‘< 0, а при   х  > а  ( )‘ > 0, то точка х = а  является точкой минимума (рис. 4 а). Если же при  х  < а  ( )‘ > 0, а при х  > а  ( )‘ < 0, то точка  х = а является точкой максимума (рис. 4 б)