СКАЧАТЬ:  zanyatie1.zip [248,47 Kb] (cкачиваний: 202)

Решение задач определения оптимальной производственной программы.

Задача 1. В швейной мастерской планируется наладить выпуск четырех видов костюмов: женских, мужских,  подростковых и детских. На женский костюм  требуется 1м шерсти, 2м лавсана и 3 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм требуется 2м шерсти, 1м лавсана и 3 человеко-день трудозатрат. На подростковый костюм требуется 1м шерсти, 1м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На детский костюм требуется 1м лавсана и один человеко-день трудозатрат. Всего имеется 18м шерсти, 30м лавсана и 40 дней человеко-день трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого видов необходимо сшить для обеспечения максимальной прибыли, если прибыль от реализации женского костюма составляет 18 денежных единиц, от мужского – 7 денежных единиц, подросткового – 12 денежных единиц и от детского – 10 денежных единиц.

Построение математической модели задачи.

Введем следующие обозначения:

x₁ – количество женских костюмов;

x₂ – количество мужских костюмов;

x₃ – количество подростковых костюмов;

x₄ – количество детских костюмов.

Прибыль от реализации всех женских костюмов составляет 18 Х₁, мужских – 7 Х₂, подростковых - 12 Х₃, детских - 10 Х₄. Запишем критерий оптимальности:

F(x)=18*x₁+7*x₂+12*x₃₊10*x₄®max

Ограничения имеют вид:

1*х1+2*х₂+1*х₃+0*х₄<=18           ограничение по шерсти

2*х₁+1*х₂+1*х₃+1*х₄<= 30           ограничение по лавсану

3*х₁+3*х₂+1*х₃+2*х₄<=40            ограничение по труду

х₁>=0, х₂>=0, х₃>=0, х₄>=0.

Решение задачи.

1. Выбор и указание адресов ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

В нашей задаче х₁, х₂, х_3, х₄ обозначают количество костюмов каждого типа. Для  оптимального значения вектора Х=( х₁, х₂, х_3, х₄) зарезервируем ячейки B2:Е2, а для  оптимального значения целевой функции (максимальная прибыль) – ячейку F4.

1. Ввод исходных данных.

Введем исходные данные, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1.

Для удобства чтения будущих отчетов присвойте имена следующим ячейкам:

F6 – шерсть_м;

F7 – лавсан_м;

F8 – труд_чел_дн;

В4 – прибыль_1_жен_кост;

С4 – прибыль_1муж_кост;

D4 – прибыль_1 подр_кост;

Е4 – прибыль_1 дет_кост;

F4 – суммарная прибыль .

1. Ввод зависимости для целевой функции.

Поместите курсор в ячейку F4. С помощью мастера функций введите функцию СУММПРОИЗВ. В окне функции в строку Массив1 введите В2:Е2 (ячейки искомых переменных. Этот массив будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, сделайте на него абсолютную ссылку с помощью клавиши F4.

В строку Массив2 введите B4:E4. На экране до нажатия кнопки ОК будем иметь:

Рисунок 2.

После нажатия кнопки ОК, то есть после выполнения функции СУММПРОИЗВ вид экрана показан на рисунке 3.

Напомним, что адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, адреса которых следует ввести.

Рисунок 3.

4. Ввод зависимостей для ограничений.

Скопируйте формулу из ячейки F4 в ячейки F6:F8. Экран примет вид:

Рисунок 4.

Проверьте введенные формулы в режиме просмотра формул (см. рисунок 5).

Рисунок 5.

1. Запустите команду Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения (рисунок6):

Рисунок 6.

1. Установка целевой ячейки, указание назначения целевой функции, указание адресов изменяемых ячеек.

• В окне Установить целевую ячейку введите адрес $F$4.
• Отметьте точкой направление целевой функции в зависимости от условий вашей задачи: в данном случае равной Максимальному значению.
• В окно Изменяя ячейки ввести адреса  искомых переменных $B$2:$E$2.

1. Ввод ограничений.

• Нажмите кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения (Рисунок 8):

• В строке Ссылка на ячейку введите адрес $F$6.
• Ввести знак ограничения, в данном случае <=.
• В строке Ограничение  введите адрес  $H$6.
• Нажмите на кнопку Добавить.
• Аналогично введите остальные ограничения.
• После ввода последнего ограничения нажмите на кнопку ОК.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения ( Рисунок 7).

Рисунок 7.

1. Ввод параметров.

• В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения.
• Установите флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.
• Нажмите на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.
• Нажмите на кнопку Выполнить.

Через короткий промежуток времени появится окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками В2:Е2 для значений х_i, и ячейка F4 с максимальным значением целевой функции ( Рисунок 8).

Рисунок 8.

Укажите тип отчетов Результаты и Устойчивость. В результате получим на отдельных листах Отчет по результатам и Отчет по устойчивости.

На листе, на котором строилась модель появилось решение задачи: для обеспечения максимальной прибыли в размере 326 денежных единиц необходимо сшить 18 подростковых костюмов и 11 детских. Мужские и женские костюмы шить не следует.

Распечатайте лист, на котором строилась модель, лист с Отчетом  по результатам и лист с Отчетом по устойчивости.

Ваши отчеты будут иметь вид:

Структура отчета по результатам.

В разделе Целевая ячейка указана максимальная суммарная прибыль – 326 денежных единиц.

В разделе Изменяемые ячейки показан оптимальный план:

Х1 (количество женских костюмов) –0;

Х2 (количество мужских костюмов) – 0;

Х3 (количество подростковых костюмов) – 18;

Х4 (количество детских костюмов) – 11.

В разделе Ограничения показано, что при оптимальном плане ресурсы Шерсть и Труд используются полностью (Статус –связанное), а Лавсан недоиспользуется, о чем сообщает Статус – несвязанное.

Структура отчета по устойчивости.

В разделе Ограничения есть параметр Теневая цена, который показывает, как влияет увеличение ресурсов на единицу  на увеличение значения целевой функции. Например, если увеличить запас шерсти на 2м, то прибыль увеличится на 7х2=14 денежных единиц.

По дефицитным видам ресурсов (полностью использованными в оптимальном плане) теневая цена больше нуля, причем самым дефицитным является тот ресурс, у которого теневая цена максимальна.

У недефицитных ресурсов (Лавсан) теневая цена равна нулю.

Например, подсчитаем, как изменится суммарная прибыль (целевая функция), если запасы шерсти увеличить на 4 метра, запасы лавсана уменьшить на 2 метра,  а труд уменьшить на 4 единицы. Для этого вычислим выражение:

4´7-0´2-5´4=8

То есть, в данном случае суммарная прибыль увеличится на 8 единиц.

Двумя  правыми колонками задается допустимый диапазон изменения запаса ресурсов. При изменении запаса ресурсов в указанном диапазоне значение теневой цены сохраняется.

Для того, чтобы узнать, в какой ресурс следует вкладывать средства, то есть увеличить его запасы до предельного значения, нужно для каждого ресурса вычислить произведение его теневой цены на допустимое увеличение:

Шерсть: 7´2=14 денежных единиц

Труд: 5´2=10 денежных единиц.

Заметим, что значение 1Е+30 в допустимом увеличении для лавсана свидетельствует о том, что данный параметр не влияет на целевую функцию.

Отсюда делаем вывод, что выгоднее всего вкладывать средства в закупку ресурса Шерсть.

В разделе Изменяемые ячейки есть параметр Нормированная стоимость. С помощью этого параметра сравниваются затраты ресурсов на производство единицы продукции(путем умножения теневой цены на норму расхода) и прибыль от единицы продукции.

По тем видам изделий, где нормированная стоимость больше или равна нулю, делается вывод, что выпуск этих изделий предприятию выгоден (в нашем случае подростковые и детские костюмы). Если нормированная стоимость отрицательна, то выпуск этого изделия предприятию невыгоден, и выпуск каждой единицы этого изделия снижает суммарную прибыль на указанное значение нормированной стоимости.

Затраты ресурсов на производство единицы продукции  вычисляются путем умножения теневой цены каждого ресурса на нормы его расхода на единицу изделия и последующего суммирования их.. Например, для изделия х1 (женский костюм) затраты ресурсов на производство единицы продукции будут равны:

7´1+0´2+5´3=22

Прибыль от реализации одного женского костюма составляет 18 денежных единиц, тогда нормированная стоимость будет равна разности прибыли и затрат на одно изделие:

Прибыль-затраты=18-22 =-4.

Это означает, что производство женских костюмов предприятию не выгодно.

С помощью теневой цены можно исследовать вопрос о целесообразности выпуска нового вида изделия. Например, стоит ли предприятию выпускать изделие х5, о котором известно следующее:

• Прибыль от единицы этого изделия составляет 10 денежных единиц
• Затраты шерсти на изготовление одного изделия – 3 метра
• Затраты лавсана на изготовление одного изделия – 2 метра
• Затраты по труду 2 чел_дн.

Рассчитываем нормированную стоимость:

7´3+0´2+5´2=31          -затраты на одно изделие

10-31=-21                       - нормированная стоимость.     

Следовательно, выпускать изделие х5 предприятию не выгодно.

Три последние столбца определяют допустимый диапазон прибыли от единицы изделия. Целевая функция – это прибыль от единицы изделия.

 В нашем случае прибыль от реализации одного подросткового костюма изменяется в диапазоне от 12 до 12-4=8 денежных единиц. Прибыль от реализации одного детского костюма может изменяться от  10+14=24 до 10-6=6 денежных единиц.

Если прибыль изменяется в этом диапазоне, то структура оптимального плана не меняется, изменяется только значение прибыли в целом по предприятию, то есть значение целевой функции.

Индивидуальные задания.

Дана задача оптимального использования ресурсов с целью обеспечения максимума выпуска продукции в стоимостном выражении. Ресурсы сырья, нормы их расхода, а также цена продукции задана ниже по двенадцати вариантам.

Необходимо построить экономико-математическую модель задачи, решить ее с помощью команды Поиск решения, распечатать решение, отчет по результатам и отчет по устойчивости. На основе их определить по своему варианту следующее:

1. План выпуска продукции, обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении.
2. Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запасов ресурсов.
3. Максимальный интервал изменения запасов каждого вида ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, то есть номенклатура выпускаемой продукции , остается без изменений.
4. Суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен?
5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?
6. Интервал изменения цен на каждый вид продукции, при котором сохраняется структура оптимального плана.

Кроме того, в некоторых  вариантах необходимо ответить еще на два вопроса, приведенных в задании.

По результатам ответов на вопросы студент представляет в письменном виде развернутые ответы.

Вариант 1.

Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице:

1. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 120 и 160 единиц  соответственно и одновременном уменьшении на 60 единиц запасов сырья первого вида?
2. Целесообразно ли включать в план ценой 1ё2 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида сырья?

Вариант 2. Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице:

1. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 единицы каждого?
2. Целесообразно ли включать в план изделие Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья, и изделие Д ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Вариант3.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья . Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице:

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья  I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида?
2. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Вариант 4.

На основании информации, приведенной в таблице, решить задачу оптимального использования ресурсов для достижения максимума общей стоимости.

1. Как изменится общая стоимость выпускаемо продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.?
2. Целесообразно ли включать в план изделие IV вида, на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида ресурсов ценой 70 единиц?

Вариант 5.

На предприятии выпускается три вида изделий, и используется при этом три вида сырья.

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида – уменьшить на 9 кг?
2. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 11 ед., если нормы затрат сырья составляют 9, 4 и 6кг соответственно?

Вариант 6.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода ресурсов и цена каждого продукта приведены в таблице:

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 24 кг?
2. 8.      Целесообразно ли выпускать изделие IV ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов на его изготовление составляют 8, 4, 20 и 6 единиц соответственно? 

Вариант 7.

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты на изготовление единицы продукции приведены в таблице, в ней же указан общий фонд рабочего времени, а также цена изделия каждого вида.

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции м и план ее выпуска, если фонд времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа?
2. 8.        Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 ед. соответственно? 

Вариант 8.

На предприятии выпускается три вида изделий, на которые используется три вида сырья.

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 80 кг, а запасы сырья II  вида уменьшить на 10кг?
2. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 7 ед., если нормы затрат сырья на него составляют 2, 4 и 3 кг?

Вариант 9.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

1. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 100 кг, а сырья II вида – уменьшить на 150кг?
2. Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2,4 и 1 кг?

Вариант 10.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 2500 ед., сырье – 1400 ед., Оборудование – 900 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия (у.е.). Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.

Вариант 11.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 200 ед., сырье – 800ед., Оборудование – 950 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия (у.е.). Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.

Вариант 12.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 1500 ед., сырье – 950 ед., Оборудование – 1250 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия (у.е.). Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.